\vec x^{(k+1)}=\vk x+H^{(k+1)} (\vec f-A \vk x), kde $\{H^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}$ je vhodně zvolená posloupnost matic. Vektor $\vec

Buď $A\in\mathbbm C^{m, n}$. Potom matici $A^H=\bar A^T$ nazveme maticí hermitovsky sdruženou k matici A. \item Matice $A$ se nazývá normální, je-li $A^HA=AA^H$.

%\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak \def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@

\mathcal{K} = \left\{ A : \ud(A,S) = r \right\}. Nechť $S=[x_0,y_0]$ a bod $A=[x,y]$. Pak $A\in\mathcal{K}$ když $\ud(A,S)=r$, tj.

%\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak \def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@

\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak \def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@

$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne …estability úloh, byl vyvinut postup zkracující intervaly, na niž probíhá řešení počátečních úloh. Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okra

$\Gamma$ po částech třídy $\mathcal C^1$, $L$ je eliptický parciální u^{k+1}_j=u^k_j+\frac\tau{h^2}D\left(u^k_{j+1}-2u^k_j+u^k_{j-1}\right)+\tau f^k_j.

(\ref{zakonyzachovani}) skalárně zobrazením $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ a vzniklou rovnost integrujme přes $\lan U$, které splňuje předchozí vztah pro každé zobrazení $\tucne\phi\in\mathcal

\mathcal{R}^n $. \begin{example}[Buffonův problém házení jehlou]

$$ \mathrm{H}(N,r,n) \dot = \mathrm{B}_i \left(n,\frac{r}{N}\right) $$ \item { $ X_{t+h} - X_t $ nezávisí na $ t $ }

kde $ A_j \in \mathcal{A},\ a_j \in \mathbb{R} $. Integrál takové funkce $ \varphi $ vzhledem k …\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 $. Přitom ale $ \mathcal{A}_1 \times \mathcal{A}_2 $, definovaná jako

Buď $ X \in \mathcal{L}_1 $. Potom pro každé $ \varepsilon > 0 $ platí Buď $ X \in \mathcal{L}_2 $. Potom pro každé $ \varepsilon > 0 $ platí

…_j \right)_{j=1}^{N} $ náhodné veličiny na prostorech $ \left(\Omega_j,\mathcal{A}_j, \mathrm{P}_j \right) $ s rozděleními $ \mathrm{P}^{X_j} = \mathrm{P …dehat{N} \right) = \sigma \left( \times_{k=1}^{l} A_{j_k}\ :\ A_{j_k} \in \mathcal{A}_{j_k},\ l \in \widehat{N} \right) $$

\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak \def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@

\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak \def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@

…pi}^\pi f^2$ platí, že $\int\limits_{-\pi}^\pi f$ konverguje absolutně (Hölderova nerovnost - viz FA1). \mathcal{R}^2(a,b)$, kde $b-a=2\pi$, platí:

\item Jednoznačnost: $\forall x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vecc{xy}$ \item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinn

…tné, tj. pro nekonečnou dimenzi věta neplatí. Protipříklad: Nechť $\mathcal P_{[0,1]}$ je prostor reálných polynomů definovaných na $[0,1]$, na ně L\vec h &= \lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)

\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak \def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@

\newcommand{\ham}{H} % Hamiltonian \newcommand{\hilb}{\mathscr{H}} % Hilbertuv prostor

\newcommand{\herm}{^{\mathrm{H}}} % hermitovsky sdruzena \newcommand{\px}{\mathcal{X}} % pytlickovo x

\item $G,H \subset \Rn$ otevřené, \item $\varphi: G \to H$ prosté a regulární,

…spojité náhodné veličiny $X$, která může nabývat hodnot $X = x\in\mathcal{X}$, je nezáporná funkce $w(x)$, splňující vlastnost $$\forall A\subset\mathcal{X},\quad P(X\in A) = \int\limits_A w(x)dx.$$

Uvažujme systém s mikrostavy $x\in\mathcal{X}$. Systém má zadané střední hodnoty funkcí $A_j$ definovaných na m Z(\lambda_j) = \int\limits_\mathcal{X}\exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)dx.

\newcommand{\tcal}[1]{$\mathcal{#1}$} %caligraficke pismo v textu \def\UU{{\mathcal{U}}} %universum

\newcommand{\Hil}{\mathcal H} %Hilbertův prostor

\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee \[ \mathcal{E} = \half\int(\varepsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)\d V \]

…stor nad $\mathbb{C}$. Zobrazení $\langle.|.\rangle : \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathbb{C}$ nazveme skalárním součinem, pokud splňuje axiomy: \item levá linearita: $\forall \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \mathcal{V} \wedge \alpha \in \mathbb{C} : \langle \alpha \vec{x} + \vec{y}|\vec{z}\

Dělení komlexních čísel probíhá následovně (po složkách) …):( \forall z \in H(z_0) \cap Dom(f) \backslash \{z_0\}) \implies f(z) \in H(w)

F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\ F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),

Uvažujme abstraktní Hilbertův prostor $\mathcal H$. Vektory z $\mathcal H$ budeme značit pomocí tzv. ketů - $\ket{\psi}$. Skalární součin dvou \hat H\ket{n} = E_n\ket{n},\quad E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad

%\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak \def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@

\(\mbf{B}=\mu\mbf{H}\) \fbox{$\displaystyle Z=\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.$}

\langle\hat H\rangle_\psi = \frac{11}{6}\hbar\omega. \langle\hat H\rangle_\alpha = \hbar\omega(|\alpha|^2 + \frac{1}{2}).

…v popsán vlnovou funkcí $\psi_1(r) = C e^{-\frac{r}{a}}$. Protože $\hat H$ je ve spinovém prostoru diagonální, bude mít základní stav stejnou e Jakým vektorem z $\mathcal{H} = \mathds{C}^2$ můžeme popsat spin elektronu, jestliže víme, že má k

Nechť $\mathcal{C}$ je množina všech jednoduchých spojitých křivek a zobrazení $\psi:E\mapsto\mathcal{C}$, takové že

jako $H$ podgraf indukovaný množinou sousedů vrcholu $v$. Potom $\# V(H)\geq r(k-1,l)$. Podle indukčního předpokladu v $H$ existuje

…(Tedy obsahuje jednotku z $G$ a je uzavřená vůči násobení prvků z $H$ a jejich inverzi.) …mptyset \neq H \subset G$ je podgrupa $\lra$ $(\all x,y \in H)(xy^{-1} \in H)$.

Pro homomorfismus $\varphi$ : $G \rightarrow H$ platí:

…iřazuje lineární zobrazení $T(g)$ takové, že $(\all g,h \in G)(T(g)T(h)=T(gh))$. …cal{H}$, nazýváme $T$ \textbf{unitární} reprezentací $G$ na $\mathcal{H}$.

\newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} % funkce třídy C %\newcommand{\I}{\mathcal{I}} % interval I

kde $\alpha$ probíhá přes všechny obecné souřadnice (stupně volnosti). Fyzikální pohyb …\int \dif^3 x \mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)) = \int \dif^4 x\mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)).

\mathcal{L} = \frac{1}{2}\parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi …obecněné souřadnice, zavedeme další operátor: $\pi(x) = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \dot{\varphi}}$ (analogie zobecněné hybnosti). (Tečkou označu

i\frac{\parc \Ket{\psi_S(t)}}{\parc t} = H \Ket{\psi_S(t)}. …polí a tím zjednodušíme řešení interakce. Rozdělíme Hamiltonián $H = H_0 + H_{int}$ a necháme operátory vyvíjet známým způsobem podle vo

Uvažujte systém s Hilbertovým prostorem ${\mathcal H} = \mathds{C}^4$. K původnímu hamiltoniánu daného maticí \quad H' = E_0 \left(

\newcommand{\ham}{\mathcal{H}} \newcommand{\kam}{\mathcal{K}}

…\frac{T(t+h,t) T(t,s) - T(t,s)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{T(t+h,t)- \ident}{h} T(t,s). Definujeme-li si $\liou(t) = \lim_{h \to 0}\frac{T(t+h,t)- \ident}{h}$, je rovnost dokázána. Dokažme si ještě jednoznačnost. Pro spor měj

\[ \sigma ( \matice A) \subset \mathcal S_{\mathcal R} = \bigcup_{i = 1}^n \mathcal R_i \] \[ \mathcal R_i = \left\{ z \in \mathbbm C \; \Big | \; \lvert z - \matice A_{ii} \rver

Nechť je \( f \in \mathcal C ( \left< a, b \right> ) \). Nechť dále \( f ( a ) f ( b ) < 0 \). Potom Nechť je \( f \in \mathcal C ( \left< a, b \right> ) \). Nechť dále \( f ( a ) f ( b ) < 0 \). Inter

Mějme funkci \(f \in \mathcal C^2 ( x ) \). Vyjádříme její Lagrangeův polynom stupně 1 na intervalu …). Bude nás zajímat chyba aproximace v závislosti na~zmenšujícím se $h$. K tomu budeme potřebovat konečné diference.

\newcommand{\h}{\mathfrak{h}} \newcommand{\Cs}{\mathcal{C}}

\newcommand{\h}{\mathfrak{h}} \newcommand{\Cs}{\mathcal{C}}

…pravé akce $H$ na $G$.) Množinu levých cosetů označíme $G/H$, tj. $G/H=\{gH | g \in G\}$. …ě jednu hladkou strukturu takovou, že $(G,G/H ,\pi ; H)$, $\pi : G \to G/H$, $\pi (g) =gH$, je fibrovaný prostor.

…y$ je vhodné uvažovat $\mathscr{H}$ a $\phi : G \to \mathscr{B}(\mathscr{H})$. Reprezentace $\mathfrak{so}(3)$ na $\mathcal{C}^{\infty}(\R^3)$: $\phi(X_i)=\varepsilon_{ijk}x_k\partial_{j}$ (sumace po

…\forall x \in M,\ \exists U = U^\circ,\ \pi^{(-1)}(U)=\bigcup_{\alpha \in \mathcal{I}}U_\alpha,\ U_\alpha = U_{\alpha}^\circ \subset \overline{M},\ U_\alpha \ …_h \right] \equiv \left[ \gamma_g \cdot L_g(\gamma_h) \right], \ \forall g,h \in G$, kde $L_g(\gamma_h)(t) = g \cdot \gamma_h(t),\ \forall t$

…d_{\overline{S}} = q\left( \ad_S \right) \rimpl \exists \widetilde{p} \in \mathcal{P}[x],\ \ad_{\overline{S}} = q\left( \ad_S \right) = \widetilde{p}\left( \a Připomeňme $\h^\perp=\{X \in \g | K(X,Y)=0, \forall Y \in \h \}$.

…ovy formy, pro libovolné $X_\alpha \in \g_\alpha,\ X_\beta \in \g_\beta,\ H \in \g_0$ platí: …\beta \right) = K \left( [H,X_\alpha],X_\beta \right) + K \left( X_\alpha,[H,X_\beta] \right) = 0

Konečné prvky $(K,\mathcal P,\en)$ a $(K,\mathcal P, \widetilde{\en})$ jsou interpolačně ekvivalentní právě tehdy, když Nechť pro $(K,\mathcal P,\en)$ platí:

…\infty$, takže $\rho(g_0) = \{ \rho(H) | H \in \g_0 \}$ je podprostor v $\mathcal{L}(V)$ tvořený komutujícími operátory. Potřebujeme ukázat, že jsou …_\lambda,\qquad V_\lambda = \bigcap_{H\in\g_0}\ker\left( \rho(H) - \lambda(H)\mathbb{1} \right)

\def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@ \newcommand{\Ci}{{\mathcal{C}}^{\infty}}

…echť $\{x_n \} _{n\in\mathbb{N}} \subset \H$ taková, že $x_n \to x \in \H$. Pak …y \rangle \to \langle x,y\rangle$ pro $n \to + \infty$ pro všechna $y\in \H$.

…x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$. …2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.

…$f\in \mathcal{C}(\left[0,a\right]) $ právě jedno řešení $\phi(x)\in\mathcal{C}(\left[0,a\right])$. …ální (ON), resp. ortogonální (OG) bází Hilbertova prostoru $\mathcal{H}$, jestliže

…$ \Omega $ základní množina a mějme systém podmnožin $ \sa \subset \mathcal{P}(\Omega) $, který splňuje následující axiomy: …{$ \sigma $-algebrou} jevů (množin) na množině $ \Omega $. Symbolem $ \mathcal{P}(\Omega) $ značíme potenční množinu množiny $ \Omega $.

…e $ \Omega \in \tau $ a je uzavřený na konečné průniky. Buď dále $ \mathcal{C} $ je nejmenší systém (ve smyslu inkluze), který splňuje následují \item $ \tau \subset \mathcal{C} $,

a píšeme $ X \sim \mathcal{U}_{\{x_1, \ldots, x_n\}} $, kde $ \mathcal{U} $ znamená uniformní (rovnoměrné). Buď $ t \geq 0$ čas, $ t_0 = 0 $, $ h >0 $. Nechť $ A $ je sledovaný jev a $ X_t $ je náhodná veličina vyjad

\begin{figure}[h] % \begin{subfigure}[h]

Můžeme uvažovat i konvergenci na prostoru $ \mathcal{L}_p $, ale limitní prvek bude jednoznačný \emph{až na množinu míry n …(\forall\, n \in \mathbb{N})(|X_n| \leq Y \text{ s.~j.}) $. Potom $ X \in \mathcal{L}_p $ a~$ X_n \klp X $.

…kroku \( \textnormal{d}h \) \\ \underline{nahradíme konečným krokem \( h \) } …veličiny \( x \) úměrná \( \delta x \sim h^{\alpha} \sim \mathcal{O}(h^{\alpha}) \implies \) \underline{číslo \( \alpha \) nazýváme řádem

…\) a proveďme její Taylorův rozvoj na okolí \(\vec{x}=\vec{x}_{0} \in \mathcal{U}(\vec{0})\)\ldots počáteční bod …)))^{\intercal}\cdot \vec{x} + \frac{1}{2}\vec{x}^{\intercal}\cdot \mathbb{H}_{\vec{x}_{0}}\cdot \vec{x},

…počet integrálu na konečnou sumu \(\sum_{i=0}^{n} c_i f(x_{i}) \approx \mathcal{I}\) …\implies \underline{\int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x = h \cdot f_1 + \mathcal{O}(h^{?})} \)

…k) \annotateabove{\approx}{Taylor} y(x_k) + h_k \frac{\d y}{\d x} (x_k) + \mathcal{O}(h_k^2)\) …frac{\d f}{\d x} (x_k,y(x_k))} \rightarrow \text{chyba 1 kroku úměrná \(h^2\)}

…= y_n + h\cdot f(x_n,y_n) + \frac{h^2}{2} \cdot f'(x_n,y_n) + \mathcal{O}(h^3) \\ …= y_n - h\cdot f(x_n,y_n) + \frac{h^2}{2} \cdot f'(x_n,y_n) + \mathcal{O}(h^3)