Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Kuželosečky]{\fbox{Kuželosečky}}
\subsection{Kartézský systém souřadnic v $\R^2$}
\begin{remark}
Kartézský systém souřadnic $(O,x,y)$. Posunutí (přechod) do systému $(O',x', y')$, kde $O' = [x_0, y_0]$ transformacemi
\begin{align*}
x &= x_0 + x', \\
y &= y_0 + y'.
\end{align*}
\end{remark}
\begin{define}[Vzdálenost bodů]
Vzdálenost dvou bodů $A=[x_A, y_A]$ a $B=[x_B, y_B]$: $$\ud(A,B) = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}.$$
\end{define}
\begin{define}[Vzdálenost bodu a přímky]
Vzdálenost bodu $A= [x_A, y_A]$ a přímky $p$:
% o rovnici $p: ax+by+c=0$ je definována
$$\ud(p, A) = \min_{B\in p}~\ud(A,B).$$
\end{define}
\begin{theorem}[Vzdálenost přímky od počátku]\label{thm:vzdalenost}
Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od počátku $O=[0,0]$ je dána výrazem
$$
\ud(p,O) = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
$$
\begin{proof}
Vzdálenost počátku $O$ od přímky $p$ se realizuje na kolmici. Sestrojíme proto kolmici $q$ k přímce $p$, která prochází počátkem a změříme vzdálenost bodu $A$ průniku přímek $p$ a $q$ od $O$.
Připomeňme, že koeficienty $a$ a $b$ tvoří normálový (kolmý) vektor k přímce $p$. Proto přímku $q$ hledáme ve tvaru $q: bx-ay+d=0$ neb vektor $(b,-a)$ je kolmý na $(a,b)$. Nyní stačí určit koeficient $d$ podle podmínky $O \in q$, odkud $d = 0$.
Dalším krokem je nalezení průsečíku $A=[x_A,y_A]$ přímek $p$ a $q$. Řešením rovnic
\begin{align*}
ax_A+by_A+c&=0 \\
bx_A-ay_A&=0.
\end{align*}
dostaneme souřadnice průsečíku
$$
x_A = -\frac{ac}{a^2+b^2}, \quad y_A = -\frac{bc}{a^2+b^2}.
$$
Nakonec spočítáme vzdálenost bodu $A$ od počátku $O$
$$
\ud(p,O) = \ud(O,A) = \frac{\sqrt{a^2c^2+b^2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}^2} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{corollary}[Vzdálenost přímky od bodu]
Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od bodu $B=[x_B,y_B]$ je dána výrazem
$$
\ud(p,B) = \frac{|ax_B+by_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
$$
\begin{proof}
Použijeme výsledek Věty~\ref{thm:vzdalenost}, pro který posuneme počátek pomocné soustavy souřadné $(O',x',y')$ do bodu $B$, tj. počátek $O'$ má v původní souřadné soustavě souřadnice \mbox{$O'=B=[x_B,y_B]$}. Transformační vztahy posunutí $(O,x,y) \to (O',x',y')$ jsou
\begin{align*}
x &= x_B + x', \\
y &= y_B + y'.
\end{align*}
Přímka $p$ má tedy v čárkované soustavě rovnici $p: a(x_B+x') + b(y_B+y')+c=0$, tj.
$$
p: ax'+by' + \underbrace{ax_B+by_B+c}_{\hbox{ozn.~}c'} = 0.
$$
Podle Věty~\ref{thm:vzdalenost} je vzdálenost počátku $O'$ od přímky $p$ (vyjádřené v čárkované soustavě)
$$
\ud(O',p) = \frac{|c'|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|ax_B+by_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
$$
\end{proof}
\end{corollary}
\begin{figure}[hbt]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{kuzelky}
\end{figure}
\subsection{Kružnice a elipsa}
\begin{define}[Kružnice]
Kružnice se středem v bodě $S$ o poloměru $r>0$
$$
\mathcal{K} = \left\{ A : \ud(A,S) = r \right\}.
$$
\end{define}
\begin{remark}
Nechť $S=[x_0,y_0]$ a bod $A=[x,y]$. Pak $A\in\mathcal{K}$ když $\ud(A,S)=r$, tj.
$$
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2.
$$
\end{remark}
%\subsection{Elipsa}
\begin{define}[Elipsa]
Elipsa s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a délkou hlavní poloosy $a$
$$
\mathcal{E} = \left\{ A : \ud(A,F_1) + \ud(A,F_2) = 2a \right\},
$$
kde střed $S$ se nachází v polovině úsečky $\overline{F_1F_2}$ a $2a > \ud(F_1,F_2)\geq 0$.
\end{define}
\begin{remark}
Nechť $S=[0,0]$, $F_1=[-e,0]$, $F_2=[e,0]$, tj. hlavní poloosa je ve směru osy $x$.
Číslo $e$ nazýváme excentricita (výstřednost). Rovnici všech bodů $A = [x,y]\in\mathcal{E}$ dostaneme z definiční rovnice
$$
\ud(A,F_1) + \ud(A,F_2) = 2a
$$
pomocí algebraických manipulací ve tvaru
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
$$
kde mezi koeficienty $a$, $b$ a $e$ platí z Pythagorovy věty
$$
e^2 + b^2 = a^2.
$$
Koeficient $b$ se nazývá vedlejší poloosa ($b<a$).Vrcholy elipsy se nacházejí v bodech $V_{1,2}=[x_0\pm a,y_0]$, $V_{3,4}=[x_0,y_0 \pm b]$.
Analogicky lze odvodit rovnici pro elipsu s hlavní poloosou ve směru osy $y$.
\end{remark}
\begin{theorem}[Rovnice elipsy]
Rovnice elipsy se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a hlavní poloosou $a$ ve směru osy $x$
$$
\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.
$$
Rovnice elipsy se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a hlavní poloosou $a$ ve směru osy $y$
$$
\frac{(x-x_0)^2}{b^2} + \frac{(y-y_0)^2}{a^2} = 1.
$$
Pro parametry $a$, $b$ a $e$ platí $e^2 + b^2 = a^2$.
\begin{proof}
Plyne z definice a předchozí poznámky. Vrcholy $V_{1,2}=[x_0\pm a,y_0]$, $V_{3,4}=[x_0,y_0 \pm b]$.
V prvním případě, $F_{1,2}=[x_0\pm e,y_0]$. V druhém pak $F_{1,2}=[x_0,y_0\pm e]$.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Hyperbola}
\begin{define}[Hyperbola]
Hyperbola s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a délkou reálné poloosy $a>0$
$$
\mathcal{H} = \left\{ A : \Big| \ud(A,F_1) - \ud(A,F_2) \Big| = 2a \right\},
$$
kde střed $S$ se nachází v polovině úsečky $\overline{F_1F_2}$ a $2a < \ud(F_1,F_2)$.
\end{define}
\begin{remark}
Nechť $S=[0,0]$, $F_1=[-e,0]$, $F_2=[e,0]$ ($e$--excentricita), tj. reálná poloosa $a$ je ve směru osy $x$.
Rovnici všech bodů $A = [x,y]\in\mathcal{H}$ odvodíme z definiční rovnice
$$
\Big|\ud(A,F_1) - \ud(A,F_2)\Big| = 2a,
$$
kterou je též možné zapsat ve tvaru
$$
\ud(A,F_1) - \ud(A,F_2) = \pm2a,
$$
který vyjadřuje obě větve hyperboly (pro $x>0$ i $x<0$).
Po dosazení za definici vzdálenosti bodů jednu z odmocnin převedeme na druhou stranu rovnice
$$
\sqrt{(x+e)^2+y^2} - \sqrt{(x-e)^2+y^2} = \pm 2a
$$
a umocníme na druhou
$$
(x+e)^2 + y^2 = (x-e)^2 + y^2 \pm 4a\sqrt{(x-e)^2+y^2} + 4a^2.
$$
Tuto rovnici upravíme a umocníme na druhou
$$
x^2(e^2-a^2) - a^2y^2= a^2(e^2-a^2).
$$
Dle předpokladu je $0<2a<\ud(F_1,F_2)=2e$, proto $a<e$ a můžeme zavést parametr $b^2 = e^2-a^2$, který nazveme imaginární poloosou.
Celkem rovnici hyperboly zapisujeme ve tvaru
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.
$$
Vrcholy hyperboly se nacházejí v bodech $V_{1,2} = [\pm a,0]$.
Analogicky lze odvodit rovnici pro hyperbolu s reálnou poloosou ve směru osy $y$.
\end{remark}
\begin{theorem}[Rovnice hyperboly]
Rovnice hyperboly se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a reálnou poloosou $a$ ve směru osy $x$
$$
\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.
$$
Rovnice hyperboly se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a reálnou poloosou $a$ ve směru osy $y$
$$
-\frac{(x-x_0)^2}{b^2} + \frac{(y-y_0)^2}{a^2} = 1.
$$
Pro parametry $a$, $b$ a $e$ platí $e^2 = a^2 + b^2$.
\begin{proof}
Plyne z definice a předchozí poznámky.
V prvním případě, $F_{1,2}=[x_0\pm e,y_0]$ a $V_{1,2}=[x_0\pm a,y_0]$. V druhém pak $F_{1,2}=[x_0,y_0\pm e]$ a $V_{1,2}=[x_0,y_0 \pm a]$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Asymptoty hyperboly]
Hyperbola o rovnici
$$
\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1
$$
má v $\pm \infty$ asymptoty
$$
y = y_0\pm \frac{b}{a}(x-x_0).
$$
\begin{proof}
Z rovnice hyperboly umíme vyjádřit dva funkční předpisy
$$
f_{1,2}(x) = y_0\pm \sqrt{\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)^2 - b^2},
$$
které popisují horní ($y>y_0$) a spodní ($y<y_0$) část grafu hyperboly. Snadno nahlédneme, že
$$
\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)^2 - b^2}- \frac{b}{a}(x-x_0) = 0.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Parabola}
\begin{define}[Parabola]
Parabola s ohniskem $F$ a řídící přímkou $p$
$$
\mathcal{P} = \left\{ A : \ud(A,F) = \ud(A,p) \right\}.
$$
Vrchol paraboly $V$ se nachází v polovině vzdálenosti $\ud(F,p)$ od ohniska $F$ na normále k řídící přímce procházející ohniskem $F$.
\end{define}
\begin{remark}
Nechť $V=[0,0]$, $F=[0,e]$, $p: y=-e$ a $e>0$, tj. parabola je otevřena v kladném směru osy $y$.
Rovnici všech bodů $A = [x,y]\in\mathcal{P}$ dostaneme z definiční rovnice
$$
\ud(A,F) = \ud(A,p),
$$
tj.
$$
\sqrt{x^2+(y-e)^2} = \sqrt{(y+e)^2},
$$
odkud pomocí algebraických manipulací dostaneme rovnici paraboly ve tvaru
$$
x^2 = 4ey.
$$
Analogicky lze odvodit rovnici pro parabolu otevřenou v kladném směru osy $x$: $y^2=4ex$. Pokud $e<0$, je parabola otevřena v záporném směru os.
\end{remark}
\begin{theorem}[Rovnice paraboly]
Parabola s vrcholem v bodě $V=[x_0, y_0]$ a excentricitou $e$ položená v kladném ($e>0$) nebo záporném ($e<0$) směru osy $x$ má rovnici
$$
(y-y_0)^2 = 4e(x-x_0).
$$
Parabola s vrcholem v bodě $V=[x_0, y_0]$ a excentricitou $e$ položená v kladném ($e>0$) nebo záporném ($e<0$) směru osy $y$ má rovnici
$$
(x-x_0)^2 = 4e(y-y_0).
$$ \end{theorem}
