Součásti dokumentu 01VYMA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01VYMA}
\section{Fourierovy řady} % KAPITOLA 1
\subsection{Opakování} % Opakování
\begin{description}
\item[Skalární součin] \hfill \\ % skalární součin %
Nechť $\mathcal{V}$ je vektorový prostor nad $\mathbb{C}$. Zobrazení $\langle.|.\rangle : \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathbb{C}$ nazveme skalárním součinem, pokud splňuje axiomy:
\begin{enumerate}
\item levá linearita: $\forall \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \mathcal{V} \wedge \alpha \in \mathbb{C} : \langle \alpha \vec{x} + \vec{y}|\vec{z}\rangle = \alpha \langle \vec{x}|\vec{z}\rangle + \langle \vec{y}|\vec{z}\rangle$
\item hermiticita: $\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathcal{V} : \langle \vec{x}|\vec{y}\rangle = \overline{\langle \vec{y}|\vec{x}\rangle}$
\item pozitivní definitnost: $\forall \vec{x} \in \mathcal{V} : \langle \vec{x}|\vec{x}\rangle \geq 0 \wedge \langle \vec{x}|\vec{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}$
\end{enumerate}
Dvojici $\{\mathcal{V},\langle.|.\rangle \}$ nazýváme pre-Hilbertovým prostorem.
\item[Norma] \hfill \\ % norma %
Nechť $\mathcal{V}$ je vektorový prostor nad $\mathbb{C}$. Zobrazení $||.||: \mathcal{V} \to \mathbb{R}$ nazveme normou, pokud splňuje axiomy:
\begin{enumerate}
\item nulovost: $||\vec{x}||=0 \Leftrightarrow \vec{x} = \vec{0}$
\item homogenita: $\forall x \in \mathcal{V} \wedge \lambda \in \mathbb{C} : ||\lambda \vec{x}|| = |\lambda| \ ||\vec{x}||$
\item trojúhelníkouvá nerovnost: $\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathcal{V} : ||\vec{x}+\vec{y}|| \leq ||\vec{x}|| + ||\vec{y}||$
\end{enumerate}
Dvojici $\{\mathcal{V},||.||\}$ nazýváme lineárním normovaným prostorem. Na prostorech se skalárním součinem $||\vec{x}||:=\sqrt{\langle \vec{x}|\vec{x}\rangle}$. Připomeňme ještě Schwarz-Cauchy-Buňakovského nerovnost
\begin{equation}
|\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle| \leq ||\vec{x}||\cdot||\vec{y}||
\end{equation}
\item[Metrika] \hfill \\ % metrika %
Zobrazení $\varrho: \mathcal{V} \times \mathcal{V} \rightarrow \mathbb{R}$ nazveme metrikou, pokud splňuje axiomy:
\begin{enumerate}
\item nulovost: $\varrho(\vec{x},\vec{y})=0 \Leftrightarrow \vec{x} = \vec{y}$
\item symetrie: $\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathcal{V} : \varrho(\vec{x},\vec{y}) = \varrho(\vec{y},\vec{x})$
\item trojúhelníkouvá nerovnost: $\forall \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \mathcal{V} : \varrho(\vec{x},\vec{y}) \leq \varrho(\vec{x},\vec{z}) + \varrho(\vec{z},\vec{y})$
\end{enumerate}
Dvojici $\{\mathcal{V},\varrho\}$ nazýváme metrickým prostorem. Na prostorech s normou platí $||\vec{x}-\vec{y}||=:\varrho(\vec{x},\vec{y})$.
\item[Limita ve $\mathcal{V}$] \hfill \\
Posloupnost vektorů $(\vec{x_n})$ z $\mathcal{V}$ má limitu $\vec{x} \in \mathcal{V} \Leftrightarrow$
\begin{equation*}
(\forall \varepsilon > 0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(\forall n > n_0): \varrho(\vec{x_n},\vec{x})<\varepsilon
\end{equation*}
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty} \varrho(\vec{x_n},\vec{x})=0
\end{equation*}
\end{description}
\subsubsection{Věta}
Pokud $(\vec{x_n}) \to \vec{x}$ a $(\vec{y_n}) \to \vec{y}$ ve $\mathcal{V}$, potom
\begin{align*}
\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle & \to \langle \vec{x}|\vec{y}\rangle \\
\lim_{n \to \infty} \langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle & = \langle \lim_{n \to \infty} \vec{x_n}|\lim_{n \to \infty} \vec{y_n}\rangle
\end{align*}
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item budeme upravovat následující výraz (chceme aby šel k nule)
\begin{equation*}
|\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle-\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle|
\end{equation*}
\item nejprve přičteme a odečteme 1, tím dostaneme
\begin{equation*}
=|\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle-\langle \vec{x_n}|\vec{y}\rangle+\langle \vec{x_n}|\vec{y}\rangle-\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle|
\end{equation*}
\item použijeme trojúhelníkovou nerovnost
\begin{equation*}
\leq |\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}-\vec{y}\rangle|+|\langle \vec{x_n}-\vec{x}|\vec{y}\rangle|
\end{equation*}
\item nakonec upravíme pomocí Schwarz-Cauchy-Buňakovského nerovnosti
\begin{equation} \label{eq:posledni}
\leq ||\vec{x_n}||\cdot||\vec{y_n}-\vec{y}||+||\vec{x_n}-\vec{x}||\cdot||\vec{y}||
\end{equation}
\item z předpokladů víme, že
\begin{equation*}
||\vec{y_n}-\vec{y}|| \ \mathrm{a} \ ||\vec{x_n}-\vec{x}|| \to 0 \qquad ||\vec{y}||= \ \mathrm{konst.}
\end{equation*}
dále platí podle nějaké věty
\begin{equation*}
\vec{x_n} \to \vec{x} \implies ||\vec{x_n}|| \ \mathrm{omezená}
\end{equation*}
\item poslední nerovnost \eqref{eq:posledni} tedy jde k nule a tudíž platí
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} |\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle-\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle|=0 \iff \lim_{n \to \infty} \langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle=\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle
\end{equation*}
\end{itemize}
\subsection{Obecné Fourierovy řady} % obecné Fourierky
%
\subsubsection{Definice - Ortogonální systém}
Systém vektorů $\{\vec{x_i}\}^k_{i=1}$ z $\mathcal{V}$ je ortogonální
\begin{equation*}
\iff \langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = 0 \ \mathrm{ pro } \ i \neq j
\end{equation*}
respektive ortonormální
\begin{equation*}
\iff \langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = \delta_{ij}
\end{equation*}
Pokud je systém vektorů $\{\vec{x_i}\}^k_{i=1}$ ortonormální, $k \leq$ dim$\mathcal{V}$. Pro $k=$ dim$\mathcal{V}$ tvoří soubor $\{\vec{x_i}\}^k_{i=1}$ ortonormální bázi prostoru $\mathcal{V}$.
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $\{\vec{x_i}\}^k_{i=1}$ je ortogonální báze $\mathcal{V}$ ($k=$ dim$\mathcal{V}$) a $\vec{x} \in \mathcal{V}$. Potom existují koeficienty $(\alpha_1,\dots,\alpha_k) \in \mathbb{C}$ takové, že
\begin{equation} \label{eq:vektor_z_baze}
\vec{x}=\sum^k_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}
\end{equation}
\emph{Jak najít koeficienty $\alpha_i$?}
\begin{itemize}
\item vztah \eqref{eq:vektor_z_baze} vynásobíme zprava vektorem $\vec{x_j}$
\begin{equation*}
\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle = \langle \sum^k_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = \sum^k_{i=1} \alpha_i \langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle
\end{equation*}
\item v posledním skalárním součinu jsou všechny členy pro $i \neq j$ nulové, zbyde nám
\begin{equation*}
\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle = \alpha_j \langle \vec{x_j}|\vec{x_j}\rangle = \alpha_j ||\vec{x_j}||^2
\end{equation*}
\item dostáváme tedy vztah pro koeficient $\alpha_j$ (v případě OG souboru)
\begin{equation}
\alpha_j=\frac{\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle}{||\vec{x_j}||^2}
\end{equation}
\end{itemize}
%
\subsubsection{Věta}
Předchozí větu se pokusíme zobecnit na prostor $\mathcal{H}$ se skalárním součinem nekonečné dimenze. Pojem ortogonální báze je nahrazen pojmem {\bf úplný soubor ortogonálních vektorů} $\{\vec{x_i}\}_{i\in \mathbb{N}}$ a platí pro něj
\begin{itemize}
\item $\langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle=0$ pro $i \neq j$
\item každý vektor z $\mathcal{H}$ lze nakombinovat ze systému $\{\vec{x_i}\}_{i\in \mathbb{N}}$
\begin{equation} \label{eq:uplny_soubor}
\vec{x}=\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i} = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}
\end{equation}
přesněji: neexistuje $\vec{x}\neq\vec{0}$ takový, že $\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle = 0 \ \forall i \in \mathbb{N}$.
\end{itemize}
%
Máme ortogonální systém $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ vektorů v $\mathcal{H}$. Každý vektor $\vec{x} \in \mathcal{H}$ lze tedy nakombinovat z OG systému podle \eqref{eq:uplny_soubor}. Snažíme se najít koeficienty $\alpha_j$
\begin{align*}
\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle & = \langle \sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = \langle \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle \\
& = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1} \langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = \alpha_j ||x_j||^2 \\
\implies \alpha_j & = \frac{\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle}{||\vec{x_j}||^2}
\end{align*}
%
\subsubsection{Definice - Fourierova řada}
Koeficienty $\alpha_j=\frac{\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle}{||\vec{x_j}||^2}$ se nazývají Fourierovy koeficienty prvku $\vec{x}$ vzhledem k ortogonálnímu systému $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$. Řada $\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ se nazývá Fourierova řada prvku $\vec{x}$ vzhledem k ortogonálnímu systému $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$. $S_n(\vec{x})=\sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ se nazývá $n$-tý částečný součet Fourierovy řady.
%
\subsubsection{Věta - o nejlepší aproximaci}
Nechť $T_n(\vec{x})=\sum^n_{i=1} c_i \vec{x_i}$, kde $c_i, i = \widehat{n}$ jsou libovolná čísla. Pak
\begin{enumerate}
\item $||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2 = ||\vec{x}||^2 - \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2$
\item $||\vec{x}-T_n||^2 = ||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2 + \sum^n_{i=1} |\alpha_i-c_i|^2 ||\vec{x_i}||^2$
\end{enumerate}
Důsledek: $||\vec{x}-T_n||^2 \geq ||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2$, rovnost nastává právě tehdy, když $\alpha_i=c_i \ \forall i$
\hfill \\
\emph{Důkaz}
\begin{itemize}
\item 1. plyne ze 2. pro $c_i=0 \ \forall i$
\item dokážeme 2.
\begin{align*}
||\vec{x}-T_n||^2 & = \underset{+S_n(\vec{x}) - S_n(\vec{x})}{\langle \vec{x}-T_n|\vec{x}-T_n \rangle} \\
& = ||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2 + \underbrace{\langle S_n(\vec{x})-T_n|\vec{x}-S_n(\vec{x}) \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle \vec{x}-T_n|S_n(\vec{x})-T_n \rangle}_{=0} + ||S_n(\vec{x})-T_n||^2
\end{align*}
\item tím je důkaz dokončen
\end{itemize}
%
\subsubsection{Důsledky věty o aproximaci}
\begin{enumerate}
\item $||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2 \geq 0 \implies ||\vec{x}||^2 - \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 \geq 0 \implies ||\vec{x}||^2 \geq \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 \quad / \lim_{n \to \infty}$ \\
Dostáváme Besselovu nerovnost
\begin{equation} \label{eq:bessel}
\sum^{\infty}_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 \leq ||\vec{x}||^2
\end{equation}
\item $\sum^{\infty}_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2$ konverguje (řada s kladnými členy, částečné součty má omezené). Plyne z toho konvergence řady $\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ v $\mathcal{H}$? Na úplných prostorech ano.
\subsubsection{Bolzano-Cauchyho podmínka}
\begin{equation*}
(\forall \varepsilon >0)(\exists n_0 \in \mathbb{N}): (\forall n > n_0)(\forall p \in \mathbb{N}): ||\sum^{n+p}_{i=n+1} \alpha_i \vec{x_i}|| < \varepsilon
\end{equation*}
Na úplných prostorech plyne z této podmínky konvergence.
\subsubsection{Věta}
Nechť $\mathcal{H}$ je úplný prostor, dim$\mathcal{H}=\infty$, $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je ortogonální systém na $\mathcal{H}$ a $\alpha_i$ jsou Fourierovy koeficienty prostoru $\mathcal{H}$ vzhledem k $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$. Potom řada
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}
\end{equation*}
konverguje v prostoru $\mathcal{H}$.
\item konverguje $\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ vždy k $\vec{x}$?
\begin{align} \label{eq:Parseval}
S_n(\vec{x}) & = \sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i} \xrightarrow[\text{v } \mathcal{H}]{\text{?}} \vec{x}\nonumber \\
\iff & \lim_{n \to \infty} ||\vec{x}-\sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}||^2 = 0\nonumber \\
\iff & ||\vec{x}||^2 - \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 \to 0\nonumber \\
\iff & \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 = ||\vec{x}||^2\nonumber \\
\iff & \sum^{\infty}_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 = ||\vec{x}||^2
\end{align}
Poslední rovnost se nazývá Parsevalova (jde o rovnost v Besselově nerovnosti \eqref{eq:bessel}) a platí pokud suma $\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ konverguje k $\vec{x}$
\end{enumerate}
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $\mathcal{H}$ je Hilbertův prostor, dim$\mathcal{H}=\infty$, $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je ortogonální systém na $\mathcal{H}$, $\vec{x} \in \mathcal{H}$. Potom
\begin{equation*}
S_n(\vec{x}) \xrightarrow[]{n \to \infty} \vec{x} \in \mathcal{H}
\end{equation*}
$\iff$ platí Parsevalova rovnost \eqref{eq:Parseval}.
%
\subsubsection{Věta - Riesz-Fisherova}
Nechť číselná řada $\sum^{\infty}_{i=1} |c_i|^2 ||\vec{x_i}||^2$ konverguje v $\mathbb{R}$, kde $c_i \in \mathbb{R}$ jsou libovolná čísla a $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je ortogonální systém na $\mathcal{H}$. Potom řada $\sum^{\infty}_{i=1} c_i \vec{x_i}$ konverguje v $\mathcal{H}$ a je Fourierovou řadou svého součtu.
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item platí Bolzano-Cauchyho podmínka
\begin{equation*}
(\forall \varepsilon >0)(\exists n_0 \in \mathbb{N}): (\forall n > n_0)(\forall p \in \mathbb{N}): ||\sum^{n+p}_{i=n+1} c_i \vec{x_i}|| < \varepsilon
\end{equation*}
\item upravíme poslední sumu pomocí Pythagorovy věty
\begin{equation*}
||\sum^{n+p}_{i=n+1} c_i \vec{x_i}||^2 = \sum^{n+p}_{i=n+1} |c_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 < \varepsilon
\end{equation*}
\item výsledná suma je úsek konvergentní řady, proto také konverguje.
\item z toho plyne, že konverguje i suma
\begin{equation*}
\sum^{n+p}_{i=n+1} c_i \vec{x_i} = \vec{x}
\end{equation*}
\item a koeficienty $c_i$ jsou Fourierovy koeficienty
\begin{equation*}
c_i=\frac{\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle}{||\vec{x_j}||^2}
\end{equation*}
\end{itemize}
\hfill \\
\emph{Otázka:}
Konverguje Fourierova řada prvku $\vec{x}$ vždy k $\vec{x}$? Obecně ne. Pro úplné ortogonální systémy ano. Připomeňme, že ortogonální systém je úplný právě tehdy, když jediný vektor kolmý na všechny prvky $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je vektor nulový.
%
\subsubsection{Věta}
Nechť platí
\begin{enumerate}
\item $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je úplný ortogonální systém
\item $S_n(\vec{x}) \xrightarrow[\text{v } \mathcal{H}]{n \to \infty} \vec{x} \quad \forall \vec{x} \in \mathcal{H}$
\item $\forall \vec{x} \in \mathcal{H}$ platí Parsevalova rovnost \eqref{eq:Parseval}.
\end{enumerate}
Pak jsou tyto podmínky navzájem ekvivalentní.
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item nejprve dokážeme implikaci 1. $\implies$ 2. sporem
\item Nechť $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je úplný ortogonální systém v $\mathcal{H}$ a existuje $\vec{x} \in \mathcal{H}$ takové, že
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} S_n(\vec{x})=\vec{y} \neq \vec{x}
\end{equation*}
\begin{equation*}
S_n(\vec{x}) = \sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}
\end{equation*}
kde $\alpha_i$ jsou Fourierovy koeficienty $\vec{x}$.
\begin{equation*}
\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}=\vec{y}
\end{equation*}
kde $\alpha_i$ jsou Fourierovy koeficienty $\vec{y}$.
\item vyšetřujeme vektor $\vec{y}-\vec{x} \in \mathcal{H}$, který má všechny Fourierovy koeficienty vzhledem k $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ rovny 0.
\item potom ale rovnost
\begin{equation*}
\langle \vec{y}-\vec{x}|\vec{x_i}\rangle = 0 \ \forall i \in \mathbb{N}
\end{equation*}
implikuje, že $\vec{x}=\vec{y}$ což je spor.
\item nyní dokážeme implikaci 2. $\implies$ 1. opět sporem
\item předpokládejme, že platí 2. a neplatí 1., tedy že
\begin{equation*}
(\exists \vec{x} \in \mathcal{H})(\forall i \in \mathbb{N}): \langle \vec{x}|\vec{x_i} \rangle = 0 \wedge \vec{x} \neq \vec{0}
\end{equation*}
\item Fourierovy koeficienty pro $\vec{x} \neq \vec{0}$ vzhledem k $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ jsou
\begin{equation*}
\alpha_i=0 \ \forall i \in \mathbb{N}
\end{equation*}
protože $\langle \vec{x}|\vec{x_i} \rangle = 0$.
\item z toho vyplývá
\begin{equation*}
\sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i} = \vec{x} = \vec{0}
\end{equation*}
což je spor s předpokladem, že $\vec{x} \neq \vec{0}$
\end{itemize}
%
\subsection{Prostor $\mathcal{L}^2(a,b)$} % prostory L^2 (a,b)
\subsubsection{Definice}
\begin{equation*}
\mathrm{Prostor} \ \mathcal{L}^2(a,b):=\{f:(a,b) \to \mathbb{R} \ | \int^b_a |f(x)|^2\ud x < +\infty \}
\end{equation*}
Jako vlastní podmnožinu obsahuje všechny funkce spojité nebo po částech spojité na $\langle a,b\rangle$. \\
Platí:
\begin{itemize}
\item $f,g \in \mathcal{L}^2(a,b) \implies c_1f+c_2g \in \mathcal{L}^2(a,b)$
\item existují $\int_a^b f(x)\cdot g(x)\ud x$ a $\int_a^b |f(x)|\cdot|g(x)| \ud x$
\item $\langle f(x)|g(x) \rangle := \int_a^b f(x)\cdot \overline{g(x)} \ud x$
\item $||f(x)||^2 := \langle f(x)|f(x) \rangle$
\item $\varrho^2(f(x),g(x)):=\int_a^b |f(x)-g(x)|^2 \ud x$
\end{itemize}
Poslední tři definice ovšem nesplňují některé axiomy, například nulovost normy. Aby byly axiomy splněny, je třeba definovat nulovou funkci jako takovou, jejíž integrál je roven nule. Dále v prostoru $\mathcal{L}^2(a,b)$ prohlašujeme za stejné funkce takové, pro které
\begin{equation*}
\int_a^b |f(x)-g(x)|^2 \ud x = 0
\end{equation*}
%
\subsubsection{Příklad}
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ na (0,1)
\begin{equation}
\int_0^1 \frac{1}{x} \ud x = [\ln x]_0^1 = +\infty \implies f(x) \notin \mathcal{L}^2(0,1)
\end{equation}
%
\subsubsection{Příklad}
$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ na (0,1)
\begin{equation}
\int_0^1 \frac{1}{x^{2/3}} \ud x = [3x^{1/3}]_0^1 = 3 \implies f(x) \in \mathcal{L}^2(0,1)
\end{equation}
%
\subsubsection{Věta - konvergence podle normy (středu)}
Řekneme, že funkční posloupnost $f_n(x)$ konverguje k funkci $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,b)$ podle středu (normy) právě tehdy, když
\begin{equation*}
\int_a^b|f_n(x)-f(x)|^2 \ud x \xrightarrow[]{n \to \infty} 0
\end{equation*}
ekvivalentně lze psát
\begin{equation*}
(\forall \varepsilon >0)(\exists n_0 \in \mathbb{N}):(\forall n > n_0) \implies \int_a^b|f_n(x)-f(x)|^2 \ud x < \varepsilon
\end{equation*}
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} ||f_n(x)-f(x)|| = 0
\end{equation*}
Z konvergence podle středu {\bf neplyne} bodová konvergence a naopak. Funkci $f(x)$ lze změnit v konečném počtu bodů $x \in (a,b)$ a při tom
\begin{equation*}
f_n(x) \xrightarrow[]{s}f(x) \wedge f_n(x) \xrightarrow[]{s} \tilde{f}(x) \wedge (\exists c \in (a,b)): f(c)\neq\tilde{f}(c)
\end{equation*}
%
\subsubsection{Věta}
Nechť posloupnost funkcí $f_n(x) \in \mathcal{L}^2(a,b)$ konverguje k funkci $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,b)$ stejnoměrně na $(a,b)$. Pak $f_n(x)$ konverguje k $f(x)$ podle středu na $(a,b)$.
%
\subsubsection{Definice - ortogonální systém funkcí}
Ortogonální systém funkcí $(\varphi_k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ na $\mathcal{L}^2(a,b)$ je takový, pro který platí
\begin{equation*}
\langle \varphi_j(x)|\varphi_k(x)\rangle = \int_a^b \varphi_j(x) \cdot \overline{\varphi_k(x)} \ud x = 0 \qquad \forall j \neq k
\end{equation*}
Ortonormální systém funkcí $(\psi_k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ na $\mathcal{L}^2(a,b)$ je potom jednoduše
\begin{equation*}
\psi_k:=\frac{\varphi_k}{||\varphi_k||}
\end{equation*}
Pokud v $\mathcal{L}^2(a,b)$ budeme mít nějaký ortogonální systém, budeme moci vyšetřovat konvergenci Fourierových řad
\begin{equation*}
f(x) \in \mathcal{L}^2(a,b) \to \sum_{k=1}^{\infty} \alpha_k \varphi_k(x) \quad \mathrm{kde} \ \alpha_k = \frac{\langle f(x) | \varphi_k(x) \rangle}{||\varphi_k(x)||^2}
\end{equation*}
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $(\varphi_k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ je úplný ortogonální systém v $\mathcal{L}^2(a,b)$. Pak Fourierova řada funkce $f(x)$ vzhledem k systému $(\varphi_k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ konverguje k $f(x)$ podle středu.
%
\subsubsection{Poznámka}
Předchozí věta mluví pouze o konvergenci podle středu, obecně řada nekonverguje bodově, natož stejnoměrně.
%
\subsubsection{Věta - trigonometrický systém}
Systém funkcí $1, \sin(x), \cos(x), \sin(2x), \cos(2x), \dots$ je v $\mathcal{L}^2(-\pi,\pi)$ ortogonální a úplný.
\hfill \\
\emph{Důkaz ortogonality:}
\begin{align*}
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(px) \cdot \cos(qx) \ud x & = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(\sin(px+qx)+\sin(px-qx))\ud x = 0 \\
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(px) \cdot \sin(qx) \ud x & = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(\cos(px-qx)-\cos(px+qx))\ud x = 0 \\
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(px) \cdot \cos(qx) \ud x & = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(\cos(px+qx)+\cos(px-qx))\ud x = 0 \\
\end{align*}
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $L>0$, $a \in \mathbb{R}$. Potom systém funkcí
\begin{equation*}
\{1\} \cup \left\{\sin(\frac{2\pi nx}{L})\right\}_{n=1}^{\infty} \cup \left\{\cos(\frac{2\pi nx}{L})\right\}_{n=1}^{\infty}
\end{equation*}
je ortogonální a úplný v $\mathcal{L}^2(a,a+L)$.
%
\subsubsection{Definice}
Nechť $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,a+L)$, kde $a \in \mathbb{R}$, $L>0$. Řada
\begin{equation} \label{eq:f_rada}
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos(\frac{2\pi nx}{L})+b_n\sin(\frac{2\pi nx}{L}) \right)
\end{equation}
je Fourierova řada funkce $f(x)$, kde
\begin{align*}
a_n & =\frac{2}{L}\int_a^{a+L} f(x)\cdot \cos(\frac{2\pi nx}{L})\ud x \\
b_n & =\frac{2}{L}\int_a^{a+L} f(x)\cdot \sin(\frac{2\pi nx}{L})\ud x \\
a_0 & =\frac{2}{L}\int_a^{a+L} f(x)\ud x
\end{align*}
%
\subsubsection{Poznámka}
Speciální případ $a=-\pi$, $L=2\pi$
\begin{align*}
\frac{a_0}{2} & + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos(nx)+b_n\sin(nx) \right) \\
a_n & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot \cos(nx)\ud x \\
b_n & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot \sin(nx)\ud x \\
a_0 & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\ud x
\end{align*}
%
\subsubsection{Poznámka}
\begin{align*}
\int_a^{a+L} \cos(\frac{2\pi nx}{L})\ud x =\int_a^{a+L} \sin(\frac{2\pi nx}{L})\ud x= \frac{L}{2} \\
\int_a^{a+L} 1\ud x = L
\end{align*}
%
\subsubsection{Věta - Besselova nerovnost pro trigonometrickou řadu}
Nechť $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,a+L)$, $a \in \mathbb{R}$, $L>0$. Nechť $f(x)$ má na $(a,a+L)$ Fourierovu řadu. Potom platí $\forall n \in \mathbb{N}$
\begin{equation} \label{eq:bessel2}
\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^n ( a_k^2 + b_k^2 ) \leq \frac{2}{L}\int_a^{a+L} f^2(x)\ud x
\end{equation}
%
\subsubsection{Věta}
Protože trigonometrický systém je úplný v $\mathcal{L}^2(a,a+L)$, platí Parsevalova rovnost
\begin{equation} \label{eq:parseval2}
\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} ( a_k^2 + b_k^2 ) = \frac{2}{L}\int_a^{a+L} f^2(x)\ud x
\end{equation}
pro každou funkci $f(x)$ z prostoru $\mathcal{L}^2(a,b)$.
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,a+L)$, $a \in \mathbb{R}$, $L>0$. Potom trigonometrická Fourierova řada funkce $f(x)$ konverguje k $f(x)$ podle středu na $(a,a+L)$.
%
\subsection{Konvergence Fourierových řad} % konvergence Fourierových řad
\subsubsection{Poznámka}
Konverguje-li řada bodově, její součet je funkce $L$-periodocká. Jinak: máme funkci $f(x)$ definovanou na $(a,a+L)$, najdeme Fourierovy koeficienty $a_0, a_n, b_n$, sestavíme Fourierovu řadu \eqref{eq:f_rada}, která je $L$-periodická $\implies$ nezávisí na chování funkce $f(x)$ mimo interval $(a,a+L)$.
%
\subsubsection{Definice}
Normalizované periodické prodloužení funkce $f(x)$ definované na $\langle a,a+L)$ lze definovat pro funkce, které mají v každém bodě $x \in \langle a,a+L\rangle$ konečné jednostranné limity
\begin{equation*}
\lim_{t \to x^{\pm}} f(t) \qquad \lim_{t \to a^+} f(t) \qquad \lim_{t \to a+L^-} f(t)
\end{equation*}
Potom pro každé $x \in (-\infty,+\infty)$ definuji
\begin{align*}
\overline{f}(x) & =\frac{1}{2} \left[ \lim_{t \to x^+} f(t) + \lim_{t \to x^-} f(t) \right] \quad \mathrm{pro} \ x \in (a,a+L) \\
& = \frac{1}{2} \left[ \lim_{t \to a^+} f(t) + \lim_{t \to a+L^-} f(t) \right] \quad \mathrm{pro} \ x =a \\
& = f(x+kL) \quad k \in \mathbb{Z} \quad \mathrm{pro} \ x \notin \langle a,a+L)
\end{align*}
V každém bodě $x \in (a,a+L)$, kde je funkce $f(x)$ spojitá, platí $\overline{f}(x)=f(x)$. Pokud je $f(x)$ v bodě $x$ nespojitá, pak se jedná o nespojitost maximálně 1. druhu (odstranitelnou nebo konečný skok) a hodnotu $\overline{f}(x)$ pokládáme rovnou aritmetickému průměru limit zleva a zprava.
Pro každou funkci $f(x)$ po částech spojitou na $(a,a+L)$ lze vytvořit její normalizované periodické prodloužení.
%
\subsubsection{Definice}
Funkce $f(x)$ je po částech spojitá na $\langle a,b\rangle$, má-li v $\langle a,b\rangle$ nejvýše konečný počet bodů nespojitosti -- buď odstranitelné nebo konečné skoky. Takové funkce jsou vždy omezené a mají v každém bodě konečné jednostranné limity.
%
\subsubsection{Věta}
Fourierova řada funkce $\overline{f}(x)$ pro interval $\langle a,a+L\rangle$ se shoduje s trigonometrickou Fourierovou řadou funkce $f(x)$ pro $\langle a,a+L\rangle$.
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item funkce $f(x)$ je po částech spojitá.
\item $\implies f(x)$ a $\overline{f}(x)$ se na $\langle a,a+L\rangle$ liší jen v konečném počtu bodů.
\item $\implies$ integrály pro koeficienty jsou stejné
\end{itemize}
%
\subsubsection{Věta - o bodové konvergenci Fourierových řad}
Nechť $f(x)$ je definovaná na $\langle a,a+L\rangle$ a nechť $f(x)$ a $f'(x)$ jsou po částech spojité na $\langle a,a+L\rangle$, řada \eqref{eq:f_rada} je Fourierova řada funkce $f(x)$ pro interval $\langle a,a+L\rangle$. Potom řada konverguje bodově na $\mathbb{R}$ k limitní funkci $\overline{f}(x)$
%
\subsubsection{Věta - o stejnoměrné konvergenci}
Nechť $f(x)$ je spojitá na $\langle a,a+L\rangle$, její derivace $f'(x)$ je po částech spojitá na $\langle a,a+L\rangle$, $f(a)=f(a+L)$. Potom Fourierova řada funkce $f(x)$ konverguje stejnoměrně na $\mathbb{R}$ k funkci $\overline{f}(x)$.
%
\subsubsection{Věta - o lokálně stejnoměrné konvergenci}
Nechť $f(x)$ je po částech spojitá i se svojí první derivací $f'(x)$ na $\langle a,a+L\rangle$. Potom Fourierova řada konverguje stejnoměrně k funkci $\overline{f}(x)$ na každém uzavřeném podintervalu intervalu $(a,a+L)$, ve kterém funkce $f(x)$ nemá nespojitosti.
%
\subsubsection{Definice}
Řekneme, že funkci $f(x)$ lze rozvinout do trigonometrické řady, pokud existuje
\begin{equation*}
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos(\frac{2\pi nx}{L})+b_n\sin(\frac{2\pi nx}{L}) \right)
\end{equation*}
jejíž součet $s(x)=f(x) \ \forall x \in \mathbb{R}$.
%
\subsubsection{Věta - o rozvoji funkce do řady}
Nechť funkce $f(x)$ splňuje:
\begin{enumerate}
\item $f(x)$ je definovaná na $\mathbb{R}$ a $L$-periodická ($(\exists L >0):(\forall x \in \mathbb{R}) \implies f(x+L)=f(x)$)
\item $f(x)$ je po částech spojitá na $\langle a,a+L\rangle$, $a \in \mathbb{R}$, pro každý bod nespojitosti $x_0$ funkce $f(x)$ platí
\begin{equation*}
f(x_0)= \frac{1}{2} \left[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) + \lim_{x \to x_0^-} f(x) \right]
\end{equation*}
\item $f'(x)$ je po částech spojitá na $\langle a,a+L\rangle$.
\end{enumerate}
Potom funkci $f(x)$ lze rozvinout do trigonometrické řady na $\mathbb{R}$, za kterou lze volit Fourierovu trigonometrickou řadu funkce $f(x)$ pro $(a,a+L)$.
%
\subsubsection{Poznámka}
Do trigonometrické řady lze rozvinout daleko víc funkcí než do mocninné řady.
