Součásti dokumentu 02KVANCV
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV}
\chapter{Poruchová teorie}
\begin{cvi}
Uvažujte systém s Hilbertovým prostorem ${\mathcal H} = \mathds{C}^4$. K původnímu hamiltoniánu daného maticí
$$
H_0 = E_0 \left(
\begin{array}{cccc}
15 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
\end{array}
\right)$$
přidáme poruchu tvaru
$$
\quad H' = E_0 \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right).
$$
Určete vlastní čísla celkového hamiltoniánu
$$
\hat H = \hat H_0 + \varepsilon \hat H',
$$
a porovnejte je s výsledkem poruchového výpočtu do 1. řádu.
\end{cvi}
\navod
Vlastní čísla neporušeného hamiltoniánu jsou
$$
E_1^{(0)} = 15 E_0,\quad E_2^{(0)} = 3E_0,
$$
kde $E_1^{(0)}$ je nedegenerovaná, $E_2^{(0)}$ má degeneraci 3. Odpovídající vlastní vektory jsou vektory standardní báze
$$
|\phi_1\rangle = \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right),\quad |\phi_2\rangle = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right), \quad |\phi_3\rangle = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right), \quad |\phi_4\rangle = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)
$$
Přesná vlastní čísla celkového hamiltoniánu jsou rovna
$$
E_1 = 15 E_0,\quad E_2 = 3 E_0, \quad E_3 = (3-\varepsilon)E_0,\quad E_4 = (3+\varepsilon)E_0.
$$
Pro poruchový výpočet musíme použít zvlášt postup pro prostou vlastní hodnotu $E_1^{(0)}$ a pro degenerovanou hodnotu $E_2^{(0)}$. V případě prosté vlastní hodnoty $E_1^{(0)}$ dostaneme do 1. řádu poruchového rozvoje
$$
E_1(\varepsilon) = E_1^{(0)} + \varepsilon \langle\phi_1|\hat H'|\phi_1\rangle = 15 E_0.
$$
Pro degenerovanou hodnotu musíme nejprve určit matici operátoru poruchy v podprostoru odpovídajícím hodnotě $E_2^{(0)}$,
$$
H'_{E_2^{(0)}} = \left(\langle\phi_i|\hat H'|\phi_j\rangle\right),\quad i,j=2,3,4.
$$
V tomto případě dostaneme
$$
H'_{E_2^{(0)}} = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & E_0 & 0 \\
E_0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right).
$$
Vlastní čísla této matice jsou
$$
\lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = -E_0,\quad \lambda_3 = E_0.
$$
Odtud dostaneme energie $E_2^{(0)}$ do 1. řádu
\begin{eqnarray}
\nonumber E_2(\varepsilon) & = & E_2^{(0)} + \varepsilon \lambda_1 = 3 E_0, \\
\nonumber E_3(\varepsilon) & = & E_2^{(0)} + \varepsilon \lambda_2 = (3-\varepsilon)\ E_0, \\
\nonumber E_4(\varepsilon) & = & E_2^{(0)} + \varepsilon \lambda_3 = (3+\varepsilon)\ E_0.
\end{eqnarray}
1. řád poruchové teorie zde dává přesné výsledky.
\begin{cvi}
Lineární harmonický oscilátor je v homogenním gravitačním poli. Určete energie oscilátoru do 2. řádu poruchového rozvoje.
\end{cvi}
\navod
Porucha je $\hat{H}' = F\hat{Q}$. Při výpočtu maticových elementů $\langle n|\hat{H}'| m\rangle$ je vhodné rozepsat operátor polohy pomocí posunovacích operátorů. První oprava $n$-té hladiny $E_n^{(1)} = \langle n|\hat{H}' |n\rangle$ je rovna nule. Oprava druhého řádu je pro všechny hladiny stejná
$$
E_n^{(2)} = \sum_{j\neq n} \frac{\left|\langle j|\hat{H}'|n\rangle\right|^2}{E_n - E_j} = - \frac{F^2}{2M\omega^2}.
$$
Energie oscilátoru v homogenním poli jsou do druhého řádu rovny
$$
E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega - \frac{F^2}{2M\omega^2}.
$$
Ve skutečnosti je to přesný výsledek, protože celkový hamiltonián lze upravit na čtverec
$$
\hat{H} = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2\hat{Q}^2 + F\hat{Q} = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2\left(\hat{Q} + \frac{F}{M\omega^2} \right)^2 - \frac{F^2}{2M\omega^2}.
$$
\begin{cvi}
Najděte v 1. řádu poruchové teorie energii základního stavu atomu helia.
\end{cvi}
\navod \\
Neporušený systém $\ldots$ 2 elektrony v poli jádra.\\
Porucha $\ldots$ elektrostatická interakce mezi elektrony $\hat H'={\tilde e}^2/|{\vec x}^{(1) }- {\vec x}^{(2)}|$. \\
Základní stav neporušeného $\hat H_0$ (zdůvodněte a ověřte normalizaci)
$$\phi({\vec x}^{(1)},{\vec x}^{(2)}, \xi^{(1)}, \xi^{(2)}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \psi^{(1)}_0({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \psi^{(-1)}_0({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) - \left( ({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \leftrightarrow ({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) \right) \right),$$
kde
$$ \psi^{(\alpha)}_0({\vec x},\xi) = \pi^{-1/2} (Z/a)^{3/2} \exp(-Zr/a) \delta_{\xi,\alpha}, \quad \xi=\pm 1. $$
Při výpočtu $E_0^{(1)}=\langle \phi | \hat H' | \phi \rangle$ využijte (viz Formánek: úvod do kvantové teorie)
$$ \frac{1}{|{\vec x} - {\vec y}|} = \frac{1}{R} \sum_{l=0}^{\infty} \left(\frac{r}{R}\right)^l P^0_l(\cos \theta), \qquad r<R,\ r=|\vec x|,\ R=|\vec y|, \, {\vec x}\cdot{\vec y}=rR\cos \theta $$
a
$$ P^0_l({\vec n}_1\cdot {\vec n}_2) = \frac{4 \pi}{ 2 l +1} \sum_{m=-l}^{l} Y_{lm}^*({\vec n}_1) Y_{lm}({\vec n}_2), \quad |{\vec n}_j|=1 . $$
Integrály pro $m \neq 0$, resp. $l \neq 0$ vymizí (proč?), zbývá provést triviální integraci přes úhly a per partes v $r_1,r_2$. Výsledek:
$$E_0^{(1)}= \frac{5 {\tilde e}^2}{4 a}, \quad E_0=E_0^{(0)}+E_0^{(1)}+\ldots \simeq -74,8 {\rm eV}.$$