Matematika2:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 38: | Řádka 38: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item[1.] vlastnost suprema : $(\forall x \in M)( x \leq s)$. | \item[1.] vlastnost suprema : $(\forall x \in M)( x \leq s)$. | ||
− | \item[2.] vlastnost suprema : $(\forall s' \in | + | \item[2.] vlastnost suprema : $(\forall s' \in \R)( s' < s)(\exists x \in M)(s' < x)$. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 46: | Řádka 46: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item[1.] vlastnost infima : $(\forall x \in M)( x \geq i)$. | \item[1.] vlastnost infima : $(\forall x \in M)( x \geq i)$. | ||
− | \item[2.] vlastnost infima : $(\forall i' \in | + | \item[2.] vlastnost infima : $(\forall i' \in \R)( i' > i)(\exists x \in M)(i' > x)$. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} |
Aktuální verze z 13. 3. 2012, 15:41
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 17:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 20:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 16:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 15:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 09:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 12:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 11:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Supremum a infimum]{\fbox{Supremum a infimum}} \begin{define}[Spočetná množina] Řekneme, že množina $M$ je spočetná právě tehdy, když existuje funkce $f: \N \to M$, která je prostá a na, tj. $f(\N)=M$. \end{define} \begin{define}[Supremum] Nejmenší horní závora množiny $M$ se nazývá supremum $M$ a značí $\sup M$. \end{define} \begin{define}[Infimum] Největší dolní závora množiny $M$ se nazývá infimum $M$ a značí $\inf M$. \end{define} \begin{theorem}[O existenci suprema a infima] Každá neprázdná shora, resp. zdola omezená množina $M \subset \R$ má své supremum, resp. infimum. \end{theorem} \begin{theorem}[O blízkosti suprema k M] Buď $s=\sup M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(s-\varepsilon < x \leq s)$. \begin{proof} Nerovnost $x \leq s$ plyne rovnou z definice suprema neb $s$ je horní závora. \\ Nerovnost $s-\varepsilon < x$ dokážeme sporem. Nechť $\exists\varepsilon>0$ tak, že $\forall x$ $s-\varepsilon \geq x$. To je rovnou spor s tím, že $s$ je nejmenší horní závora a přitom $s-\varepsilon$ je ještě menší než $s$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[O blízkosti infima k M] Buď $i=\inf M$. Pak $(\forall\varepsilon >0)(\exists x\in M)(i \leq x < i+\varepsilon)$. \begin{proof} Důkaz se provede podobně jako v předchozí větě. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[O supremu] Buď $M$ neprázdná a shora omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $s$ takové, že platí: \begin{enumerate} \item[1.] vlastnost suprema : $(\forall x \in M)( x \leq s)$. \item[2.] vlastnost suprema : $(\forall s' \in \R)( s' < s)(\exists x \in M)(s' < x)$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem}[O infimu] Buď $M$ neprázdná a zdola omezená množina. Potom existuje právě jedno číslo $i$ takové, že platí: \begin{enumerate} \item[1.] vlastnost infima : $(\forall x \in M)( x \geq i)$. \item[2.] vlastnost infima : $(\forall i' \in \R)( i' > i)(\exists x \in M)(i' > x)$. \end{enumerate} \end{theorem}