Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Nekonečné řady]{\fbox{Nekonečné řady}}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Nekonečná řada]
Nechť $\{a_n\}$ je číselná posloupnost. Posloupnost $\{ s_n\}$ definovanou jako $n$-tý částečný součet členů posloupnosti $s_n = \sum\limits_{k=1}^na_k$ nazveme nekonečnou číselnou řadou vytvořenou z posloupnosti $\{a_n\}$ a značíme $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$.
Existuje-li limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_n=s$, pak ji nazýváme součtem nekonečné řady. Je-li $s\in\R$, resp. $s = \pm\infty$, resp. limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_n$ neexistuje, pak říkáme, že nekonečná řada konverguje, resp. diverguje, resp. osciluje (nebo též diverguje).
\end{define}
\begin{theorem}[Geometrická řada]\oprava
\begin{align}
|x| < 1 \quad &\Rightarrow \quad \sum\limits_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \\
|x| \geq 1 \quad &\Rightarrow \quad \sum\limits_{n=0}^{+\infty} x^n \quad \hbox{diverguje}.
\end{align}
\begin{proof}
Tvrzení plyne z vlastností limity $\lim\limits_{n\to+\infty}x^n$ po provedení limitního přechodu v součtu konečné geometrické řady:
$$
\lim\limits_{n\to+\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} x^k = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Jestliže $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n = a$, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n = b$ a buď $\alpha\in\R$, pak $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(\alpha a_n + b_n) = \alpha a+b$
\end{theorem}
\subsection{Nutná podmínka konvergence řad}
\begin{theorem}[Nutná podmínka konvergence]
$$
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~konverguje} \quad\Rightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}a_n =0.
$$
\begin{proof}
Nechť řada konverguje, tj. posloupnost částečných součtů má konečnou limitu $s_n \to \ell$.
Z definice částečných součtů lze psát $a_n = s_n - s_{n-1}$ pro $\forall n=2,3,\dots$.
Potom
$$
\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = \lim\limits_{n\to+\infty} s_n - \lim\limits_{n\to+\infty} s_{n-1} = \ell - \ell = 0.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{corollary}\oprava
$$
a_n \nrightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n ~~\hbox{diverguje}
$$
\end{corollary}
\subsection{Konvergence řad s nezápornými členy}
\begin{theorem}
Řada s nezápornými členy konverguje právě tehdy, když je posloupnost částečných součtů omezená.
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item \uv{$\Rightarrow$}: Řada konverguje, tj. posloupnost $\{ s_n \}$ konverguje a proto je omezená (viz Věta~\ref{thm:konvergence_omezenost_posloupnost}).
\item \uv{$\Leftarrow$}: Posloupnost $\{ s_n \}$ neklesá, neb předpokládáme nezáporné členy $a_n$. Proto limita $s_n$ je buď konečná nebo nekonečná.
Nekonečná být ovšem nemůže, neb je $\{ s_n \}$ dle předpokladu omezená.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Integrální kritérium]
Nechť je funkce $f$ kladná, spojitá a klesající funkce na intervalu $[1,+\infty)$. Pak
$$
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} f(n) \hbox{~~konverguje} \quad
\Leftrightarrow \quad \int\limits_1^{+\infty}f(x)\ud x \hbox{~~konverguje}
$$
\begin{proof}
Z předpokládaných vlastností funkce $f$ platí nerovnost
$$
\int\limits_{k-1}^k f(x)\ud x \geq f(k) \geq \int\limits_{k}^{k+1} f(x) \ud x,
$$
kterou vysčítáním přes $k=2..n$ a limitním přechodu $n \to +\infty$ upravíme na
$$
\int\limits_1^{+\infty} f(x) \ud x \geq \sum\limits_{k=2}^{+\infty} f(k) \geq \int\limits_2^{+\infty} f(x)\ud x.
$$
Odtud již pomocí základního srovnávacího kritéria (Věta~\ref{thm:srovnavaci_integraly}) plyne tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Základní srovnávací kritérium]
Nechť pro všechna $n\in\N$ platí $0\leq a_n\leq b_n$. Pak
\begin{align*}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n \hbox{~~diverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n \hbox{~~diverguje} \\
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n \hbox{~~konverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n \hbox{~~konverguje}
\end{align*}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Limitní srovnávací kritérium]
Nechť $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ a
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n$ jsou řady s nezápornými členy. Jestliže existuje limita $L=\lim\limits\frac{a_n}{b_n}$, potom platí:
\begin{align}
&0 < L < +\infty \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje}\quad &\Leftrightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~konverguje} \\
&L < +\infty \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~konverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje} \\
&L > 0 \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~diverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~diverguje}
\end{align}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Cauchyho odmocninové kritérium]
Buď $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ řada s nezápornými členy. Nechť existuje limita $L=\lim\limits_{n=+\infty} \sqrt[n]{a_n}$. Pak platí:
\begin{align}
L<1 \quad&\Rightarrow \quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje} \\
L>1 \quad&\Rightarrow \quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~diverguje}
\end{align}
\end{theorem}
\begin{theorem}[d'Alembertovo podílové kritérium]
Buď $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ řada s kladnými členy. Nechť existuje limita $L=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Pak platí:
\begin{align}
L < 1\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~konverguje} \\
L > 1\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~diverguje}
\end{align}
\end{theorem}
\subsection{Absolutní konvergence}
\begin{define}[Absolutní konvergence]
Pokud konverguje řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} |a_n|$, říkáme, že řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ konverguje absolutně.
\end{define}
\begin{remark}
Konvergentním řadám, které nekonvergují absolutně říkáme neabsolutně konvergentní.
\end{remark}
\begin{theorem}
Jestliže řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|a_n|$ konverguje, pak konverguje i řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$.
\begin{proof}
Vyjdeme z nerovnosti
$$
-|a_n| \leq a_n \leq |a_n|,
$$
kterou upravíme na
$$
0 \leq |a_n| + a_n \leq 2|a_n|.
$$
Ze srovnávacího kritéria dostávame tvrzení věty, neboť
$$
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\underbrace{a_n + |a_n|}_{\hbox{K ze srov. krit.}} - \underbrace{|a_n|}_{\hbox{K dle předp.}}.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{corollary}
Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní.
\end{corollary}
\begin{theorem}[Riemann 1867]
Absolutně konvergentní řady dávají po přerovnání stejný součet. Neabsolutně konvergentní řady lze přeuspořádat tak, aby jejich součet bylo libovolné reálné číslo.
\end{theorem}
\subsection{Alternující řady}
\begin{define}[Alternující řada]
Řadu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} b_n$, kde $b_n >0$ pro $\forall n\in\N$ nazýváme alternujicí řadou.
\end{define}
\begin{theorem}[Leibnizovo kritérium]
Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel, tj. $0 < b_{n+1} \leq b_n$ pro $\forall n\in\N$. Pak platí:
$$
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n \hbox{~~konverguje}
\quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n\to+\infty}b_n = 0.
$$
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item \uv{$\Rightarrow$}: Přímo nutná podmínka konvergence.
\item \uv{$\Leftarrow$}: Budeme zkoumat posloupnost částečných součtů a to nejprve sudé a pak liché členy.
Všechny sudé členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří rostoucí posloupnost, neboť
$$
s_{2n} = s_{2n-1} - b_{2n} = s_{2n-2} + \underbrace{b_{2n-1}-b_{2n}}_{\geq0} \geq s_{2n-2}.
$$
Všechny liché členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří naopak klesající posloupnost, protože
$$
s_{2n+1} = s_{2n} + b_{2n+1} = s_{2n-1}+ \underbrace{b_{2n+1}-b_{2n}}_{\leq0} \leq s_{2n-1}.
$$
Posloupnost $\{ s_{2n+1} \}$ je navíc zdola omezená $0$ a proto existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_{2n+1}$, kterou označme $\ell$.
Stejnou limitu má i rostoucí posloupnost sudých členů
$$
s_{2n} = s_{2n-1}-b_{2n} \to \ell - 0 = \ell
$$
a protože obě posloupnosti pokrývají všechny prvky posloupnosti $\{ s_n \}$, platí $s_n \to \ell$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Odhad součtu alternující řady]
Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel takovou, že $b_n \to 0$ a buď $s\in\R$ součet alternující řady $s=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n$. Potom platí
$$
s_{2n} < s < s_{2n+1} \quad \forall n\in\N
$$
a navíc $n$-tý částečný součet $s_n$ aproximuje $s$ s přesností $b_{n+1}$, tj. $|s-s_n| < b_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$.
\begin{proof}
Využijeme výsledků předchozího důkazu
\begin{align*}
s_{2n+2} &= s_{2n} + b_{2n+1}-b_{2n+2} \geq s_{2n} \quad \hbox{roste k~} s\\
s_{2n+1} &= s_{2n-1} - b_{2n}+b_{2n+1} \leq s_{2n-1} \quad \hbox{klesá k~} s,
\end{align*}
odkud
$$
s_{2n}\leq s \leq s_{2n+1} = s_{2n}+b_{n+1} \ekv |s-s_{2n}| |\leq b_{2n+1}
$$
a
$$
s_{2n+1} - b_{2n+2} = s_{2n+2} \leq s \leq s_{2n+1} \ekv |s-s_{2n+1}| | \leq b_{2n+2}.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
