Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Zobecněný Riemannův integrál]{\fbox{Zobecněný Riemannův integrál}}
\subsection{Definice a výpočet}
\begin{remark}
Pro spojitou funkci $f$ na intervalu $[a,b]$ jsme v zimním semestru definovali určitý (vlastní) Riemannův integrál. V této kapitole budeme pro tento integrál používat symbol $\rint\limits_a^b$.
\end{remark}
\begin{define}[Zobecněný a nevlastní Riemannův integrál]
Buď $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Nechť pro funkci $f$ platí, že
$\Big(\forall x \in [a,b)\Big)\Big(\exists \rint\limits_a^x f(t)\ud t\Big)$, resp.
$\Big(\forall x \in (a,b]\Big)\Big(\exists \rint\limits_x^b f(t)\ud t\Big)$.
Existuje-li limita
$\lim\limits_{x \to b-} \rint\limits_a^x f(t)\ud t$, resp.
$\lim\limits_{x \to a+} \rint\limits_x^b f(t)\ud t$,
nazýváme tuto limitu \textbf{zobecněným} nebo \textbf{nevlastním} (v případě $b=+\infty$, resp. $a=-\infty$) \textbf{Riemannovým integrálem}, který
značíme $\int\limits_a^b f(t)\ud t$.
Dále říkáme, že pokud je tato limita konečná, integrál konverguje. V opačném případě integrál diverguje.
\end{define}
\begin{define}[Kritický bod]
Bod $a \in \R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ nazveme kritickým bodem integrálu $\int\limits_a^b f(x) \ud x$, kde $b \in \R$, jestliže $a=+\infty$ nebo $a=-\infty$ nebo $a \notin D_f$.
\end{define}
\begin{define}
Buď funkce $f$ spojitá na intervalu $[a,b]$ kromě bodu $c\in(a,b)$ a nechť $\lim\limits_{x\to c} |f(x)| = +\infty$. Řekneme, že nevlastní integrál $\int\limits_a^b f$ konverguje,
právě když konvergují integrály $\int\limits_a^c f $ a $\int\limits_c^b f$.
\end{define}
%\subsection{Výpočet zobecněného integrálu}
\begin{theorem}[Newtonova formule]
Buď $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Nechť
$\exists \rint\limits_a^x f(t)\ud t$ pro $ \forall x \in [a,b)$, resp.
$\exists \rint\limits_x^b f(t)\ud t$ pro $ \forall x \in (a,b]$. Nechť k funkci $f$ existuje primitivní funkce $F$ na intervalu $(a,b)$.
Pokud existuje konečná limita $\lim\limits_{x\to a+} F(x)$, resp. $\lim\limits_{x\to b-} F(x)$, pak integrál $\int\limits_a^b f(t) \ud t$ konverguje a platí
$$
\int\limits_a^b f(t) \ud t = \lim\limits_{x\to b-}F(x) - \lim\limits_{x\to a+}F(x).
$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Metoda per partes]
Buď $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Nechť pro funkce $fg'$ a $f'g$ platí:
$$\Big(\forall x \in [a,b)\Big)\Big(\exists \rint\limits_a^x f(t)g'(t) \ud t ~\wedge~ \exists \rint\limits_a^x f'(t)g(t) \ud t \Big),$$
resp.
$$\Big(\forall x \in (a,b]\Big)\Big(\exists \rint\limits_x^b f(t)g'(t) \ud t ~\wedge~ \exists \rint\limits_x^b f'(t)g(t) \ud t \Big),$$
a nechť existují a jsou konečné limity $\lim\limits_{x \to a+} f(x)g(x)$, resp. $\lim\limits_{x \to b-} f(x)g(x)$.
\noindent
Pokud existuje alespoň jeden z integrálů $\int\limits_a^b f(t)g'(t) \ud t$ a $\int\limits_a^b f'(t)g(t) \ud t$, potom existuje i druhý a platí:
$$
\int\limits_a^b f'(t)g(t) \ud t = \lim\limits_{x \to b-} f(x)g(x) - \lim\limits_{x \to a+} f(x)g(x) -
\int\limits_a^b f(t)g'(t) \ud t.
$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Metoda substituce]
Buď $b$ jediným kritickým bodem integrálu $\int\limits_a^b f$ a nechť pro funkce $f$ a $\varphi$ platí:
\begin{enumerate}
\item $f$ je spojitá na $(a,b)$,
\item $\varphi$ je ryze monotonní a má spojitou derivaci na $[\alpha, \beta)$.
\item $\varphi([\alpha,\beta)) = [a,b)$ tak, že $a=\varphi(\alpha)$ a $b=\lim\limits_{\xi \to \beta-}\varphi(\xi)$.
\end{enumerate}
Potom platí:
$$
\int\limits_a^b f(x) \ud x = \int\limits_\alpha^\beta f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\ud t.
$$
\end{theorem}
\subsection{Konvergence}
\begin{lemma}[Referenční integrály]\label{lemma:referencni}
\begin{tabular}{ll}
$\int\limits_0^1 \frac{1}{x^p} \ud x $ & konverguje pro $p<1$ a diverguje pro $p \geq 1$. \\
$\int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \ud x $ & konverguje pro $p>1$ a diverguje pro $p \leq 1$.
\end{tabular}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[a)] 0 je pro $p>0$ kritický bod.
$$
\int\limits_0^1 \frac{1}{x^p} = \lim\limits_{x\to0+}\int\limits_x^1 \frac{\ud t}{t^p} =
\left\{
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to0+} \Big[ \frac{1}{1-p} t^{1-p} \Big]_x^1 = \frac{1}{1-p} - \lim\limits_{x\to0+} \frac{1}{1-p} x^{1-p} =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{1-p} & p<1 \\
&\\
+\infty & p>1
\end{array}
\right.
\\
~\\
\lim\limits_{x\to0+} \Big[ \ln{t} \Big]_x^1 = +\infty \quad\quad p=1
\end{array}
\right.
$$
\item[b)] $+\infty$ je kritický bod.
$$
\int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} = \lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_1^{x} \frac{\ud t}{t^p} =
\left\{
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to+\infty} \Big[ \frac{1}{1-p} t^{1-p} \Big]_1^{x} = -\frac{1}{1-p} + \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{1-p} x^{1-p} =
\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & p<1 \\
&\\
-\frac{1}{1-p} & p>1
\end{array}
\right.
\\
~\\
\lim\limits_{x\to+\infty} \Big[ \ln{t} \Big]_1^x = +\infty \quad\quad p=1
\end{array}
\right.
$$ \end{itemize}
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{theorem}[Základní srovnávací kritérium konvergence (ZSK)]\label{thm:srovnavaci_integraly}
Buď $b$ jediným kritickým bodem integrálů $\int\limits_a^b f$ a $\int\limits_a^b g$. Nechť $\exists \rint\limits_a^x f$ a $\exists \rint\limits_a^x g$ pro $\forall x \in [a,b)$ a
$0 \leq f(x) \leq g(x)$ pro $\forall x \in (a,b)$.
Potom
\begin{enumerate}
\item $\int\limits_a^b g$ konverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b f$ konverguje,
\item $\int\limits_a^b f$ diverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b g$ diverguje.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Označme integrály jakožto funkce horní meze $F(x) = \rint\limits_a^xf(t)\ud t$ a $G(x) = \rint\limits_a^xg(t)\ud t$, kde snadno nahlédneme, že
$0 \leq F(x) < G(x)$ pro $\forall x\in(a,b)$.
\begin{enumerate}
\item Ukážeme, že $\lim\limits_{x\to b-} F(x)$ existuje a je konečná.
Funkce $F$ je spojitá a nerostoucí funkce, protože je definovaná jako funkce horní meze integrálu z nezáporné funkce $f$.
Odtud plyne, že limita $\lim\limits_{x\to b-} F(x)$ existuje a to buď konečná nebo nekonečná. Nekonečná být nemůže, neb dle předpokladu $\lim\limits_{x\to b-} G(x)$ konverguje.
\item $\int\limits_a^b f$ diverguje, proto $\lim\limits_{x\to b-}F(x)=+\infty$. Z nerovnosti $F(x)<G(x)$ a limitního přechodu $\lim\limits_{x\to b-}$ plyne $\lim\limits_{x\to b-}G(x)=+\infty$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Limitní srovnávací kritérium konvergence (LSK)]
Buď $b$ jediným kritickým bodem integrálů $\int\limits_a^b f$ a $\int\limits_a^b g$. Nechť $\exists \rint\limits_a^x f$ a $\exists \rint\limits_a^x g$ pro $\forall x \in [a,b)$ a
$f(x)\geq 0$ a $g(x) \geq 0$ pro $\forall x\in(a,b)$. Nechť existuje limita
$\lim\limits_{x\to b-} \frac{f(x)}{g(x)} = c \in \R\cup\{+\infty\}$.
\noindent
Potom platí:
\begin{enumerate}
\item Pokud $0<c<+\infty$, pak \quad $\int\limits_a^b f$ konverguje $\Leftrightarrow$ $\int\limits_a^b g$ konverguje.
\item Pokud $c>0$, pak \quad $\int\limits_a^b g$ diverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b f$ diverguje.
\item Pokud $c<+\infty$, pak \quad $\int\limits_a^b g$ konverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b f$ konverguje.
\end{enumerate}
\end{theorem}