Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Integrace racionálních funkcí]{\fbox{Integrace racionálních funkcí}}
\begin{define}[Racionální funkce]
Racionální funkcí nazýváme funkci $f = \frac{p}{q}$, kde $p$ a $q$ jsou polynomy.
\end{define}
\begin{remark}
Chceme spočítat $\int\frac{p(x)}{q(x)}\ud x$ umíme-li spočítat $\int\frac{\ud x}{(x-a)^k}$, $\int\frac{2x+b}{(x^2+bx+c)^k}\ud x$, $\int\frac{\ud x}{(x^2+bx+c)^k}$.
\end{remark}
\begin{theorem}[Rovnost polynomů]\label{thm:rovnost:polynomu}
Dva polynomy $p(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k$ a $q(x)=\sum\limits_{k=0}^mb_kx^k$ se na $\C$ (tj. i na $\R$) rovnají právě tehdy, když mají stejný stupeň ($n=m$) a $a_k=b_k$ pro všechna $k=0,1,\dots,n$.
\end{theorem}
\begin{define}[Ireducibilní polynom nad $\R$]
Polynom $p$ nazýváme ireducibilním nad $\R$, pokud nemá žádný reálný kořen.
\end{define}
\begin{remark}
Polynom $(ax^2+bx+c)^k$ je ireducibilní nad $\R$, právě když $b^2-4ac < 0$.
\end{remark}
\begin{postup}[Postup integrace racionální funkce pomocí rozkladu na parciální zlomky]\label{postup:1}
Postup integrace racionální funkce $\int\frac{p(x)}{q(x)}\ud x$, kde $\st{p} < \st{q}$.
\begin{enumerate}
\item Faktorizace polynomu $q$ na ireducibilní polynomy nad $\R$:
$$
q(x) = a_n \prod\limits_{i=1}^{k} (x-a_i)^{n_i} \prod\limits_{i=1}^{\ell} (x^2+b_ix+c_i)^{m_i}
$$
\item Rozložení $\frac{p(x)}{q(x)}$ na parciální zlomky podle následujících pravidel:
\begin{enumerate}
\item Faktor typu $(x-a)^n$ ve jmenovateli vede na parciální zlomky
$$
\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots +\frac{A_n}{(x-a)^n}.
$$
\item Faktor typu $(x^2+bx+c)^m$ ve jmenovateli vede na parciální zlomky
$$
\frac{B_1x+C_1}{x^2+bx+c} + \frac{B_2x+C_2}{(x^2+bx+c)^2}+ \dots +\frac{B_mx+C_m}{(x^2+bx+c)^m}.
$$
\end{enumerate}
\item Neznámé koeficienty (viz $A_i$, $B_i$ a $C_i$) v čitatelích všech parciálních zlomků je nutné spočítat pomocí zpětného sloučení parciálních zlomků na společný jmenovatel.
\item Porovnáním výsledného polynomu v čitateli pomocí věty~\ref{thm:rovnost:polynomu} s původním polynomem $p(x)$ podle koeficientů u jednotlivých mocnin $x^k$ dostaneme soustavu lineárních rovnic.
\item Řešením soustavy lineárních rovnic dostaneme rozklad racionální funkce na parciální zlomky.
\item Postupná integrace jednotlivých parciálních zlomků.
\end{enumerate}
\end{postup}