Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section{Polární souřadnice}
\subsection{Definice}
\begin{remark}
Kartézské souřadnice bodu značíme v této kapitole indexem $k$, tj. $[x,y]_k$.
Polární souřadnice bodu značime indexem $p$.
\end{remark}
\begin{define}[Polární souřadnice]~\\
Bod $[r, \varphi]_p$ v polárních souřadnicích leží ve vzdálenosti $|r|$ od pólu $[0, 0]_k$ na polopřímce svírající s polární osou úhel $\varphi$ pokud $r>0$ nebo úhel $\varphi+\pi$ pokud $r<0$ nebo libovolný úhel pro $r=0$.
\end{define}
\begin{remark}~\\
Základní vlastnosti polárních souřadnic:
\begin{enumerate}
\item Nejednoznačnost $[r, \varphi]_p = [r_\varphi+ 2k\pi]_p$ pro $\forall k\in\Z$.
\item Počátek (=pól) $[0,0]_k = [0, \varphi]_p$ pro $\forall \varphi\in\R$.
\item $[r, \varphi+\pi]_p = [-r, \varphi]_p$.
\end{enumerate}
\end{remark}
% \subsection{Vztah ke kartézským souřadnicím}
\begin{theorem}~\\
Bod $[r, \varphi]_p$ v polárních souřadnicích je bod $[x, y]_k$ v kartézských souřadnicích, když platí:
\begin{align}
x &= r\cos\varphi, \\
y &= r\sin\varphi.
\end{align}
\end{theorem}
\subsection{Symetrie v polárních souřadnicích}
\pzp
Symetrie dle osy $x$, dle osy $y$ a dle počátku.
\subsection{Kreslení v polárních souřadnicích}
\pzp
Viz obr. \ref{o1}, \ref{o2}, \ref{o3}, \ref{o4} a \ref{o5}.
%\begin{enumerate}
% \item[A.] A. Archimedova spirála $\{ [r, \varphi]_p : r=\varphi, \varphi \geq 0 \}$
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{A}
\caption{Archimedova spirála $\{ [r, \varphi]_p : r=\varphi, \varphi \geq 0 \}$}
\label{o1}
\end{center}
\end{figure}
% \item[B.] $K = \{ [r, \varphi]_p : r=1-2\cos\varphi \}$
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{B}
\caption{$K = \{ [r, \varphi]_p : r=1-2\cos\varphi \}$}
\label{o2}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{C}
\caption{$K = \{ [r, \varphi]_p : r=\cos(2\varphi) \}$}
\label{o3}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\subfigure[$r=1+\cos(2\varphi)$]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{E1}}
\subfigure[$r=1+\sin(2\varphi)$]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{E2}}
\subfigure[$r=1-\cos(2\varphi)$]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{E3}}
\subfigure[$r=1-\sin(2\varphi)$]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{E4}}
% \includegraphics[width=0.49\textwidth]{E2}\\
% \includegraphics[width=0.49\textwidth]{E3}
% \includegraphics[width=0.49\textwidth]{E4}\\
\caption{Kardioida (srdcovka) $K_1 = \{ [r, \varphi]_p : r=1+\cos(2\varphi) \}$,
$K_2 = \{ [r, \varphi]_p : r=1+\sin(2\varphi) \}$,
$K_3 = \{ [r, \varphi]_p : r=1-\cos(2\varphi) \}$ a
$K_3 = \{ [r, \varphi]_p : r=1-\sin(2\varphi) \}$.}
\label{o4}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\subfigure[$r=1+2\sin(\varphi)$]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{F1}}
\subfigure[$r=1+4\sin(\varphi)$]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{F2}}
\subfigure[$r=1+8\sin(\varphi)$]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{F3}}
\subfigure[$r=1+4\cos(\varphi)$]{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{F4}}
% \includegraphics[width=0.49\textwidth]{E2.eps}\\
% \includegraphics[width=0.49\textwidth]{E3.eps}
% \includegraphics[width=0.49\textwidth]{E4.eps}\\
\caption{Ulita $K= \{ [r, \varphi]_p : r=a+b\cos(\varphi) \}$ nebo $K= \{ [r, \varphi]_p : r=a+b\sin(\varphi) \}$}
\label{o5}
\end{center}
\end{figure}
%\end{enumerate}
\clearpage
\subsection{Plocha v polárních souřadnicích}
\begin{theorem}~\\
Mějme spojitou funkci $r=\rho(\varphi)$, která na $[\alpha, \beta]$ nemění znamení.
Potom plocha ve výseči od $\alpha$ do $\beta$ je $A = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta \left( \rho(\varphi) \right)^2 \ud\varphi$.
\end{theorem}
\begin{theorem}~\\
Mějme spojité funkce $\rho_1(\varphi) \geq \rho_2(\varphi)$ pro $\forall\varphi \in [\alpha, \beta]$.
Potom plocha ve výseči od $\alpha$ do $\beta$ mezi těmito funkcemi je $A = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta \left( \rho_1(\varphi) \right)^2 - \left( \rho_2(\varphi) \right)^2 \ud\varphi$.
\end{theorem}
\subsection{Vzdálenost v polárních souřadnicích}
\begin{theorem}[Cosinova věta]~\\
Vzdálenost dvou bodů $P_1 = [r_1, \varphi_1]_p$ a $P_2 = [r_2, \varphi_2]_p$ je:
\be
d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\varphi_2-\varphi_1).
\ee
\end{theorem}
