Matematika2:Kapitola8

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2Fucikrad 14. 9. 201117:01
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201520:27
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 14. 9. 201116:56 header.tex
Kapitola1 editovatTechniky integraceFucikrad 18. 9. 201110:50 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZobecněný Riemannův integrálFucikrad 20. 6. 201912:18 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatKuželosečkyAdmin 26. 2. 201411:52 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPolární souřadniceFucikrad 13. 6. 201910:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKřivky dané parametrickyFucikrad 19. 3. 202008:35 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSupremum a infimumFucikrad 13. 3. 201215:41 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosloupnosti reálných číselFucikrad 20. 6. 201912:18 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatŘadyFucikrad 30. 3. 202018:33 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatTaylorův polynom a Taylorova řadaFucikrad 4. 5. 201513:46 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatMocninné řadyFucikrad 13. 5. 201911:15 kapitola10.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:kuzelky.pdf kuzelky.pdf
Image:A.png A.png
Image:B.png B.png
Image:C.png C.png
Image:D.png D.png
Image:E1.png E1.png
Image:E2.png E2.png
Image:E3.png E3.png
Image:E4.png E4.png
Image:F1.png F1.png
Image:F2.png F2.png
Image:F3.png F3.png
Image:F4.png F4.png
Image:J.png J.png
Image:K.png K.png
Image:L.png L.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Nekonečné řady]{\fbox{Nekonečné řady}}
 
 
 
	\subsection{Definice}
	\begin{define}[Nekonečná řada]
	Nechť $\{a_n\}$ je číselná posloupnost. Posloupnost $\{ s_n\}$ definovanou jako $n$-tý částečný součet členů posloupnosti $s_n = \sum\limits_{k=1}^na_k$ nazveme nekonečnou číselnou řadou vytvořenou z posloupnosti $\{a_n\}$ a značíme $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$.
	 Existuje-li limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_n=s$, pak ji nazýváme součtem nekonečné řady. Je-li $s\in\R$, resp. $s = \pm\infty$, resp. limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_n$ neexistuje, pak říkáme, že nekonečná řada konverguje, resp. diverguje, resp. osciluje (nebo též diverguje).
	\end{define}
 
 
 
	\begin{theorem}[Geometrická řada]\oprava
	\begin{align}
	|x| < 1 \quad &\Rightarrow \quad \sum\limits_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \\
	|x| \geq 1 \quad &\Rightarrow \quad \sum\limits_{n=0}^{+\infty} x^n \quad \hbox{diverguje}.
	\end{align}
	\begin{proof}
	Tvrzení plyne z vlastností limity $\lim\limits_{n\to+\infty}x^n$ po provedení limitního přechodu v součtu konečné geometrické řady:
	$$
		\lim\limits_{n\to+\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} x^k = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{1-x^{n}}{1-x}.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
	\begin{theorem}
	Jestliže $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n = a$, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n = b$ a buď $\alpha\in\R$, pak $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(\alpha a_n + b_n) = \alpha a+b$
	\end{theorem}
 
 
 
 
 
\subsection{Konvergence řad}
 
	\begin{theorem}[Nutná podmínka konvergence]
	$$
	\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~konverguje} \quad\Rightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}a_n =0.
	$$
	\begin{proof}
	Nechť řada konverguje, tj. posloupnost částečných součtů má konečnou limitu $s_n \to \ell$. 
	Z definice částečných součtů lze psát  $a_n = s_n - s_{n-1}$ pro $\forall n=2,3,\dots$. 
	Potom 
	$$
		\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = \lim\limits_{n\to+\infty} s_n - \lim\limits_{n\to+\infty} s_{n-1} = \ell - \ell = 0.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{corollary}\oprava
	$$
		a_n \nrightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n ~~\hbox{diverguje}
	$$
	\end{corollary}
 
 
 
\subsubsection{Konvergence řad s nezápornými členy}
 
	\begin{theorem}
	Řada s nezápornými členy konverguje právě tehdy, když je posloupnost částečných součtů omezená.
	\begin{proof}~
	\begin{enumerate} 
		\item \uv{$\Rightarrow$}: Řada konverguje, tj. posloupnost $\{ s_n \}$ konverguje a proto je omezená (viz Věta~\ref{thm:konvergence_omezenost_posloupnost}).
		\item \uv{$\Leftarrow$}: Posloupnost $\{ s_n \}$ neklesá, neb předpokládáme nezáporné členy $a_n$. Proto limita $s_n$ je buď konečná nebo nekonečná. 
		Nekonečná být ovšem nemůže, neb je $\{ s_n \}$ dle předpokladu omezená. 
	\end{enumerate}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Integrální kritérium]
	Nechť je funkce $f$ kladná, spojitá a klesající funkce na intervalu $[1,+\infty)$. Pak 
	$$
	\sum\limits_{n=1}^{+\infty} f(n) \hbox{~~konverguje} \quad
	\Leftrightarrow \quad \int\limits_1^{+\infty}f(x)\ud x \hbox{~~konverguje}
	$$
	\begin{proof}
	Z předpokládaných vlastností funkce $f$ platí nerovnost
	$$
		\int\limits_{k-1}^k f(x)\ud x \geq f(k) \geq \int\limits_{k}^{k+1} f(x) \ud x,
	$$
	kterou vysčítáním přes $k=2..n$ a limitním přechodu $n \to +\infty$ upravíme na
	$$
		\int\limits_1^{+\infty} f(x) \ud x \geq \sum\limits_{k=2}^{+\infty} f(k) \geq \int\limits_2^{+\infty} f(x)\ud x.
	$$
	Odtud již pomocí základního srovnávacího kritéria (Věta~\ref{thm:srovnavaci_integraly}) plyne tvrzení věty.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
	\begin{theorem}[Základní srovnávací kritérium]
	Nechť pro všechna $n\in\N$ platí $0\leq a_n\leq b_n$. Pak
	\begin{align*}
	\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n \hbox{~~diverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n \hbox{~~diverguje} \\
	\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n \hbox{~~konverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n \hbox{~~konverguje}
	\end{align*}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Limitní srovnávací kritérium]
	Nechť $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ a 
	$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n$ jsou řady s nezápornými členy. Jestliže existuje limita $L=\lim\limits\frac{a_n}{b_n}$, potom platí:
	\begin{align}
	&0 < L < +\infty \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje}\quad &\Leftrightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~konverguje} \\
	&L < +\infty \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~konverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje} \\
	&L > 0 \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~diverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~diverguje}
	\end{align}
	\end{theorem}
 
 
 
	\begin{theorem}[Cauchyho odmocninové kritérium]
	Buď $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ řada s nezápornými členy. Nechť existuje limita $L=\lim\limits_{n=+\infty} \sqrt[n]{a_n}$. Pak platí:
	\begin{align}
	L<1 \quad&\Rightarrow \quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje} \\
	L>1 \quad&\Rightarrow \quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~diverguje}
	\end{align} 
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[d'Alembertovo podílové kritérium]
	Buď $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ řada s kladnými členy. Nechť existuje limita $L=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Pak platí:
	\begin{align}
	L < 1\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~konverguje} \\
	L > 1\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~diverguje} 
	\end{align}
	\end{theorem}
 
 
\subsubsection{Absolutní konvergence}
 
	\begin{define}[Absolutní konvergence]
	Pokud konverguje řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} |a_n|$, říkáme, že řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ konverguje absolutně. 
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Konvergentním řadám, které nekonvergují absolutně říkáme neabsolutně konvergentní.
	\end{remark}
 
	\begin{theorem}
	Jestliže řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|a_n|$ konverguje, pak konverguje i řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$.
	\begin{proof}
	Vyjdeme z nerovnosti 
	$$
		-|a_n| \leq a_n \leq |a_n|,
	$$
	kterou upravíme na 
	$$
		0 \leq |a_n| + a_n \leq 2|a_n|.
	$$
	Ze srovnávacího kritéria dostávame tvrzení věty, neboť
	$$
		\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\underbrace{a_n + |a_n|}_{\hbox{K ze srov. krit.}} - \underbrace{|a_n|}_{\hbox{K dle předp.}}.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{corollary}
	Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní.
	\end{corollary}
 
 
	\begin{theorem}[Riemann 1867]
	Absolutně konvergentní řady dávají po přerovnání stejný součet. Neabsolutně konvergentní řady lze přeuspořádat tak, aby jejich součet bylo libovolné reálné číslo.
	\end{theorem}
 
 
 
\subsubsection{Alternující řady}
 
	\begin{define}[Alternující řada]
	Řadu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} b_n$, kde $b_n >0$ pro $\forall n\in\N$ nazýváme alternujicí řadou.
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[Leibnitzovo kritérium]
	Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel, tj. $0 < b_{n+1} \leq b_n$ pro $\forall n\in\N$. Pak platí: 
	$$
	\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n \hbox{~~konverguje}
	\quad \Leftrightarrow \quad  \lim_{n\to+\infty}b_n = 0.
	$$
	\begin{proof}~
	\begin{enumerate}
		\item  \uv{$\Rightarrow$}: Přímo nutná podmínka konvergence.
		\item \uv{$\Leftarrow$}: Budeme zkoumat posloupnost částečných součtů a to nejprve sudé a pak liché členy. 
		Všechny sudé členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří rostoucí posloupnost, neboť
		$$
			s_{2n} = s_{2n-1} - b_{2n}  = s_{2n-2}+ \underbrace{b_{2n-1}-b_{2n}}_{\geq0} \geq s_{2n-2}.
		$$
		Všechny liché členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří naopak klesající posloupnost, protože
		$$
			s_{2n+1} = s_{2n} + b_{2n+1}  = s_{2n-1}+ \underbrace{b_{2n+1}-b_{2n}}_{\leq0} \leq s_{2n-1}.
		$$
		Posloupnost $\{ s_{2n+1} \}$ je navíc zdola omezená $0$ a proto existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_{2n+1}$, kterou označme $\ell$.
		Stejnou limitu má i rotoucí posloupnost sudých členů
		$$	
			s_{2n} = s_{2n-1}-b_{2n} \to \ell - 0 = \ell
		$$
		a protože obě posloupnosti pokrývají všechny prvky posloupnosti $\{ s_n \}$, platí $s_n \to \ell$.
	\end{enumerate}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Odhad součtu alternující řady]
	Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel takovou, že  $b_n \to 0$ a buď $s\in\R$ součet alternující řady $s=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n$. Potom platí 
	$$
		s_{2n} < s < s_{2n+1} \quad \forall n\in\N
	$$
	a navíc $n$-tý částečný součet $s_n$ aproximuje $s$ s přesností $b_{n+1}$, tj. $|s-s_n| < b_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$.
	\begin{proof}
	Využijeme výsledků předchozího důkazu
	\begin{align*}
	s_{2n+2} &= s_{2n} + b_{2n+1}-b_{2n+2} \geq s_{2n} \quad \hbox{roste k~} s\\
	s_{2n+1} &= s_{2n-1} - b_{2n}+b_{2n+1} \leq s_{2n-1} \quad \hbox{klesá k~} s,
	\end{align*}
 	odkud 
	$$
		s_{2n}\leq s \leq s_{2n+1} = s_{2n}+b_{n+1} \ekv |s-s_{2n}| |\leq b_{2n+1}
	$$
	a
	$$
		s_{2n+1} - b_{2n+2} = s_{2n+2} \leq s \leq s_{2n+1} \ekv |s-s_{2n+1}| | \leq b_{2n+2}.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}