NME01:Kapitola4

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu NME01

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu NME01Kunzmart 5. 6. 202116:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůKunzmart 5. 6. 202116:59
Header editovatHlavičkový souborKunzmart 5. 6. 202115:54 header.tex
Kapitola1 editovatReprezentace čísel v počítačiKunzmart 5. 6. 202115:55 01_reprezentace_cisel_v_pocitaci.tex
Kapitola2 editovatChybyKunzmart 5. 6. 202115:55 02_chyby.tex
Kapitola3 editovatÚlohy lineární algebryKunzmart 5. 6. 202116:30 03_ulohy_lin_alg.tex
Kapitola4 editovatŘešení soustav Ax - bKunzmart 5. 6. 202115:56 03a_reseni_soustav_Ax-b.tex
Kapitola5 editovatVlastní číslaKunzmart 5. 6. 202115:56 03b_vlastni_cisla.tex
Kapitola6 editovatDeterminantKunzmart 5. 6. 202115:57 03c_determinant.tex
Kapitola7 editovatAproximace funkcíKunzmart 5. 6. 202116:31 04_aproximace_funkci.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKunzmart 5. 6. 202115:57 04a_interpolace.tex
Kapitola9 editovatČebyševova aproximaceKunzmart 5. 6. 202115:58 04b_cebysevovy_aproximace.tex
Kapitola10 editovatMetoda nejmenších čtvercůKunzmart 5. 6. 202115:58 04c_metoda_nejmensich_ctvercu.tex
Kapitola11 editovatŘešení nelineárních rovnicKunzmart 5. 6. 202116:32 05_reseni_nelinearnich_rovnic.tex
Kapitola12 editovatBisekceKunzmart 5. 6. 202115:59 05a_bisekce.tex
Kapitola13 editovatMetoda sečenKunzmart 5. 6. 202115:59 05b_metoda_secen.tex
Kapitola14 editovatRegula falsiKunzmart 5. 6. 202116:00 05c_regula_falsi.tex
Kapitola15 editovatMetoda Newton-RaphsonovaKunzmart 5. 6. 202116:00 05d_newton_raphsonova_metoda.tex
Kapitola16 editovatHledání kořenu polynomuKunzmart 5. 6. 202116:00 05e_hledani_korenu_polynomu.tex
Kapitola17 editovatMullerova metodaKunzmart 5. 6. 202116:01 05f_mullerova_metoda.tex
Kapitola18 editovatProstá iteraceKunzmart 5. 6. 202116:01 05g_prosta_iterace.tex
Kapitola19 editovatMetoda Newton-Raphson pro systémy rovnicKunzmart 5. 6. 202116:01 05h_newton_raphsonova_metoda_pro_systemy_rovnic.tex
Kapitola20 editovatHledání extrémů funkcíKunzmart 5. 6. 202116:32 06_hledani_extremu_funkci.tex
Kapitola21 editovatMetoda zlatého řezuKunzmart 5. 6. 202116:03 06a_metoda_zlateho_rezu.tex
Kapitola22 editovatParabolická iterpolaceKunzmart 5. 6. 202116:04 06b_parabolicka_iterpolace.tex
Kapitola23 editovatNelder Meadova metodaKunzmart 5. 6. 202116:09 06c_nelder_meadova_metoda.tex
Kapitola24 editovatGradientní metodyKunzmart 5. 6. 202116:09 06d_gradientni_metody.tex
Kapitola25 editovatNumerická integraceKunzmart 5. 6. 202116:32 07_numericka_integrace.tex
Kapitola26 editovatKvadraturní vzorceKunzmart 5. 6. 202116:09 07a_kvadraturni_vzorce.tex
Kapitola27 editovatIntegrály se singularitamiKunzmart 5. 6. 202116:10 07b_integraly_se_singularitami.tex
Kapitola28 editovatGaussovy kvadraturyKunzmart 5. 6. 202116:20 07c_gaussovy_kvadratury.tex
Kapitola29 editovatIntegrace Monte CarloKunzmart 5. 6. 202116:20 07d_integrace_monte_carlo.tex
Kapitola30 editovatObyčejné diferenciální rovniceKunzmart 5. 6. 202116:33 08_obycejne_diferencialni_rce.tex
Kapitola31 editovatEulerova metodaKunzmart 5. 6. 202116:21 08a_eulerova_metoda.tex
Kapitola32 editovatMetoda středního boduKunzmart 5. 6. 202116:21 08b_metoda_stredniho_bodu.tex
Kapitola33 editovatHeunova metodaKunzmart 5. 6. 202116:22 08c_heunova_metoda.tex
Kapitola34 editovatRunge Kuttovy metodyKunzmart 5. 6. 202116:22 08d_runge_kuttovy_metody.tex
Kapitola35 editovatMetoda leap frogKunzmart 5. 6. 202116:22 08e_metoda_leap_frog.tex
Kapitola36 editovatMetoda prediktor korektorKunzmart 5. 6. 202116:22 08f_metoda_prediktor_korektor.tex
Kapitola37 editovatMetoda střelbyKunzmart 5. 6. 202116:23 08g_metoda_strelby.tex
Kapitola38 editovatMetoda konečných diferencíKunzmart 5. 6. 202116:23 08h_metoda_konecnych_diferenci.tex
Kapitola39 editovatVariační metodyKunzmart 5. 6. 202116:23 08i_variacni_metody.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{NME01}
 
\subsection{Řešení soustav \texorpdfstring{\(\mathbb{A}\vec{x}=\vec{b}\)}{Ax = b}}
\begin{itemize}
	\item \underline{metody:} přímé, iterační, gradientní
\end{itemize}
\subsubsection{Přímé metody}
\begin{itemize}
	\item = spočívají v příslušné úpravě matice na \( \triangle \) tvar (diagonální), tj. \underline{přímý běh},
	      potom řešení soustavy s horní \( \triangle \) maticí \( \mathbb{U} \) nebo dolní \( \triangle \) \( \mathbb{L} \), tj. \underline{zpětný běh}
	\item \underline{řešení soustav s \(  \mathbb{U} \) resp. \( \mathbb{L} \):} (zpětný běh)
	      \[
		      \begin{aligned}\mathbb{U} = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & \ldots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & \ldots & u_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & u_{nn}\end{pmatrix}, \mathbb{U}\vec{x} = \vec{b} \implies & x_{n} = \frac{b_n}{u_{nn}} \land u_{n-1}\text{\stackunder{\( x_{n-1} + u_{nn} x_{n} = b_{n-1} \)}{\( \hookrightarrow x_{n-1} = \frac{b_{n-1}}{u_{n-1}}- \frac{1}{u_{n-1}}x_{n}u_{nn} \)}} \\\\
                                                                                            & \qquad\implies
               \text{\stackengine{\stackgap}{\( \boxed{x_k = \frac{1}{u_{kk}}\left(b_k-\sum_{j = k+1}^{n} u_{kj}x_j\right)} \)}
	               {\scriptsize\( \hookrightarrow \)  \underline{zpětný běh} - postupujeme ve směru \underline{klesání \( k \)}}{U}{l}{F}{T}{S}}
		      \end{aligned}
	      \]
	      \vspace{-7em}
	      \begin{itemize}
		      \item \underline{složitost}  \( \sim n^2 \) (\( n \) násobení a \( n \) sčítání)
	      \end{itemize}
	      \vspace{1em}
	\item \underline{Gaussova a Gauss-Jordanova eliminace:}
	      \begin{itemize}
		      \item převod soustavy \( \mathbb{A}\vec{x}=\vec{b} \) na soustavu s \( \mathbb{U} \) nebo \( \mathbb{D} \)
		      \item základem je tzv. \underline{pivoting} \( \rightarrow \)  \underline{pivot}, hlavní prvek, volíme tak, aby byl v dané iteraci na prvním místě \( \impliedby \) nechceme kvůli chybám při odečtení dostat špatné výsledky
		            \[
			            \begin{aligned}   & \mathbb{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \rightarrow
                 \text{\stackengine{\stackgap}{upravíme přenásobením 1. řádku \( a_{i1} \) a násobením \( \frac{-1}{a_{11}} \)}
                 {\( \implies \) sečteme řádky a provedeme úpravu na jenotkové matici \( \implies \) získáme \( \mathbb{D}_1 \)}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}} \\&
                 \text{tj. } \mathbb{D}_1 \mathbb{A}\vec{x} = \mathbb{D}_1\vec{b}\text{, kde }\mathbb{D}_1 =
                 \begin{pmatrix}
					            \phantom{-}1           & 0 & 0 \\
					            -\frac{a_{21}}{a_{11}} & 1 & 0 \\
					            -\frac{a_{21}}{a_{11}} & 0 & 1
				            \end{pmatrix}
                 \text{  a ozn. \stackengine{\stackgap}{\underline{\( \mathbb{A}^{(1)} \coloneqq\mathbb{D}_1\mathbb{A}\) },  \( \underline{\vec{b}^{(1)}\coloneqq\mathbb{D}_1\vec{b}} \)}
	                 {\( \implies \) pokračujeme dále v iteracích}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}}\end{aligned}\]
		            \vspace{-1em}
		      \item \underline{složitost} \( \sim n^3 \)
		      \item při Gauss-Jordanově eliminaci upravujeme \( \forall \) prvky mimo diagonálu \( \implies \) převedeme \( \mathbb{A} \) na \( \mathbb{I} \) a\\ \(  \mathbb{D} =  \mathbb{A}^{-1} = \mathbb{D}_n\cdot\ldots\cdot\mathbb{D}_2\cdot\mathbb{D}_1\cdot\mathbb{I} \)
		      \item \underline{problémy metody:} postupná ztráta přesnosti vlivem zaokrouhlování, mohou vznikat singulární matice, což vede na špatně podmíněnou úlohu\ldots
	      \end{itemize}
	      \pagebreak
	\item \underline{L-U dekompozice:}
	      \begin{itemize}
		      \item využívá faktu, že každou regulární matici lze rozložit na součin \(  \mathbb{A} =  \mathbb{L}\cdot\mathbb{U} \)
		      \item \underline{výhody:} lze si \underline{\( \mathbb{L} \) a \( \mathbb{U} \) předpočítat}, pokud nám chodí \underline{nová data} (vektor \( \vec{b} \)), obě matice lze kompaktně zapsat do jedné, lze iterativně zpřesnit výsledek
		      \item \underline{řešení:} \( \mathbb{A}\vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow (\mathbb{L}\cdot\mathbb{U}) \vec{x} = \vec{b} \Leftrightarrow \text{\stackengine{\stackgap - 1em}{\( \underbrace{\mathbb{L}\cdot(\mathbb{U}\vec{x}) = \vec{b}} \)}{2 soustavy s \( \triangle \) maticí:
				            \stackengine{\stackgap}{\( \left.\begin{aligned}&\mathbb{L}\vec{y}=\vec{b}\\&\mathbb{U}\text{\underline{{\( \vec{x} \)}}} = \vec{y}\end{aligned}\right\} \) 2 \( \times \) zpětný běh}
				            {\hspace{1em}\( \hookrightarrow \) \underline{\scriptsize hledáme}}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}} \)
		            \vspace{-1em}
		      \item hledání matic \( \mathbb{L} \) a \( \mathbb{U} \) :
		            \begin{itemize}
			            \item  \underline{Croutův algoritmus} - z definice násobení matic:
			            \item [\underline{př.:}] \(  \mathbb{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 8 & 14 \\ 2 & 6 & 13 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}}_{\mathbb{L}}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}}_{\mathbb{U}} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = (\mathbb{L}\backslash \mathbb{U}) \)
		            \end{itemize}
		      \item \underline{složitost} \( \sim n^3 \) (2 zpětné chody)
	      \end{itemize}
 
\end{itemize}
 
\subsubsection{Iterační metody}
\begin{itemize}
	\item \underline{postup}
	      \begin{enumerate}
		      \item odhadneme řešení soustavy \( \mathbb{A}\vec{x} = \vec{b} \rightarrow \) \underline{odhad} \(  \vec{x}^{(0)} \), \( \vec{c}_0 = \vec{b} \)
		      \item přiblížení k přesnému řešení získáme vztahem \( \boxed{\vec{x}^{(k+1)} = \mathbb{B}_k \cdot\vec{x}^{(k)} + \vec{c}_k} \)
	      \end{enumerate}
	\item  \( \begin{aligned}  & \text{\( \mathbb{B}_{k} = \mathbb{B} \) (konstantní) \( \implies\) \underline{stacionární metody}} \\
                 & \text{\( \mathbb{B}_k \) v každém kroku jiná \( \implies \) \underline{nestacionární metody}}\end{aligned} \)
	\item konvergence nestacionárních metod:
	      \begin{itemize}
		      \item pro \( \forall \) vl. čísla \( \mathbb{B} \) musí platit \underline{\( |\lambda|\stackon{<}{!}1 \)} \( \Leftrightarrow \) \underline{spektrální poloměr:} \( \boxed{\rho(\mathbb{B}) = \max_{i \in \hat{n}} |\lambda_i| < 1} \) \( \leftarrow \) nutná a posatčující podmínka
		      \item nebo poukud v některé normě platí \( \|\mathbb{B}\| < 1 \) \( \implies \) konverguje
	      \end{itemize}
	\item \underline{chyba:} iterujeme, dokud \( \|\vec{x}^{(n)} - \vec{x}\| \le \varepsilon \Leftrightarrow \|\vec{x}^{(k)} - \vec{x}\| = \|\vec{x}^{(k)}-\mathbb{A}^{-1}\vec{b}\| = \|\mathbb{A}^{-1}(\mathbb{A}\vec{x}^{(k)} - \vec{b})\| \le \|\mathbb{A}^{-1}\|\cdot\|\mathbb{A}\vec{x}^{(k)}-\vec{b}\| \le \varepsilon \)
	\item\underline{prostá iterace:}
	      \begin{itemize}
		      \item rovnici \( \mathbb{A}\vec{x}=\vec{b} \) upravíme: \( \mathbb{I}\vec{x} + \mathbb{A}\vec{x} = \mathbb{I}\vec{x} + \vec{b} \Leftrightarrow \vec{x} = \underbrace{(\mathbb{I}-\mathbb{A})}_{\text{\reflectbox{\( \coloneqq \)}}\mathbb{B}}\vec{x} + \vec{b} \)
		            \vspace{-1.5em}
		      \item \underline{iterujeme} \( \boxed{\vec{x}^{(k+1)} = \mathbb{B}\vec{x}^{(k)} + \vec{b}} \), \( \vec{x}^{(0)} \) \ldots první odhad
		      \item \underline{v praxi nepoužívaná} - nepřesná a často diverguje
	      \end{itemize}
	\item \underline{Jakobiho a Gauss-Sidelova metoda:}
	      \begin{itemize}
		      \item odvození:
		            \begin{enumerate}[label=\roman*)]
			            \item přepíšeme soustavu rovnic \( \mathbb{A}\vec{x} = \vec{b}:\begin{aligned}  & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\
                 & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\
                 & a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\end{aligned} \)
			            \item v každém řádku vyjádříme 1 neznámou:
			                  \[
				                  \begin{aligned}
					                   & x_1 = \frac{1}{a_{11}}(b_1-a_{12}x_2-a_{13}x_3) \\
					                   & x_2 = \frac{1}{a_{22}}(b_2-a_{21}x_1-a_{23}x_3) \\
					                   & x_3 = \frac{1}{a_{33}}(b_3-a_{31}x_1-a_{32}x_2)
				                  \end{aligned}
				                  \text{\stackengine{\stackgap}{\( \longrightarrow \)}
					                  {\hspace{1em}\scriptsize\underline{iterujeme}\hspace{1em}}{O}{c}{F}{F}{\stacktype}}
				                  \begin{aligned}
					                   & x_1^{(k+1)} = \frac{1}{a_{11}}(b_1-a_{12}x_2^{(k)}-a_{13}x_3^{(k)}) \\
					                   & x_2^{(k+1)} = \frac{1}{a_{22}}(b_2-a_{21}x_1^{(k)}-a_{23}x_3^{(k)}) \\
					                   & x_3^{(k+1)} = \frac{1}{a_{33}}(b_3-a_{31}x_1^{(k)}-a_{32}x_2^{(k)})
				                  \end{aligned}
			                  \]
			            \item \(\underbrace{\begin{pmatrix}
					                  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
					                  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
					                  a_{31} & a_{32} & a_{33}
				                  \end{pmatrix} }_{=\mathbb{A}} =
			                  \underbrace{\begin{pmatrix}
					                  0      & 0      & 0 \\
					                  a_{21} & 0      & 0 \\
					                  a_{31} & a_{32} & 0
				                  \end{pmatrix} }_{\mathbb{L}} +
			                  \underbrace{\begin{pmatrix}
					                  a_{11} & 0      & 0      \\
					                  0      & a_{22} & 0      \\
					                  0      & 0      & a_{33}
				                  \end{pmatrix} }_{\mathbb{D}} +
			                  \underbrace{\begin{pmatrix}
					                  0 & a_{12} & a_{13} \\
					                  0 & 0      & a_{23} \\
					                  0 & 0      & 0
				                  \end{pmatrix} }_{\mathbb{U}}
			                  \)
			            \item celkem: \(\boxed{\vec{x}^{(k+1)}=\mathbb{D}^{-1}(\vec{b}-(\mathbb{L}+\mathbb{U})\vec{x}^{(k)})}\) \ldots\underline{Jakobiho metoda}
			            \item jelikož už ale složky \(\vec{x}^{(k+1)}\) známe z předchozích iterací, můžeme je využít k dašímu zpřesnění\\ \(\implies\) \underline{Gauss-Sidelova metoda}
			                  \[
				                  \text{maticově } \implies
				                  \text{\stackengine{\stackgap }{\( \mathbb{D}\cdot\vec{x}^{(k+1)}+\mathbb{L}\cdot\vec{x}^{(k+1)} = \vec{b} - \mathbb{U}\cdot\vec{x}^{(k)} \)}
					                  {\( \Leftrightarrow\boxed{\vec{x}^{(k+1)}=(\mathbb{D}+\mathbb{L})^{-1}\cdot(\vec{b}-\mathbb{U}\cdot\vec{x}^{(k)})} \)}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}
				                  }
			                  \]
		            \end{enumerate}
		      \item \underline{konvergence Jacobiho metody:} \(\mathbb{A}\) je  \underline{diagonálně dominantní}
		      \item \underline{konvergence Gauss-Sidelovy metody:} \(\mathbb{A}\) je \underline{diagonálně dominantní} \(\lor\) \(\mathbb{A}\) je \underline{pozitivně definitní}
		      \item \underline{problém Gauss-Sidelovy metody:}
		            \begin{itemize}
			            \item konverguje sice pro hodně matic, ale \underline{pomalu konverguje}
			            \item[\(\implies\)] metoda \underline{superrelaxace:}
			                  \begin{itemize}
				                  \item slouží k urychlení konvergence G.-S. metody
				                  \item dána vztahem \(\boxed{x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}+\omega\Delta x_{i}^{(k)}}\), kde \(\Delta x_{i}^{(k)}=x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}\), \( \omega\)\ldots \underline{relaxační faktor}, \(\omega \in (0,2)\), \(\boxed{\omega_{\text{opt}} = \frac{2}{1+\sqrt{1-\rho^2(\mathbb{B})} }}\), \underline{\(\omega_{\text{opt}}\)\ldots optimální \(\omega\)}, \(\mathbb{B}\) je iterační matice G.-S. tj. \underline{\(\mathbb{B}=-(\mathbb{D}+\mathbb{L})^{-1}\cdot\mathbb{U}\)}
			                  \end{itemize}
		            \end{itemize}
	      \end{itemize}
	\item \uwave{další:}
	      \begin{itemize}
		      \item \underline{soustava s tridiagonální maticí:} \[\mathbb{A}\vec{x}=\vec{f}\implies
			            \begin{pmatrix}
				            a_1    & b_1              & \phantom{\vdots} &         & \ldots           & 0       \\
				            c_2    & a_1              & b_2              &         &                  & \vdots  \\
				                   & c_3              & a_3              & b_3     & \phantom{\vdots} &         \\
				                   & \phantom{\vdots} & \ddots           & \ddots  & \ddots           &         \\
				            \vdots &                  &                  & c_{n-1} & a_{n-1}          & b_{n-1} \\
				            0      & \ldots           & \phantom{\vdots} &         & a_n              & b_n
			            \end{pmatrix}\cdot
			            \begin{pmatrix}
				            x_1\phantom{\vdots}     \\
				            x_2\phantom{\vdots}     \\
				            x_3\phantom{\vdots}     \\
				            \vdots                  \\
				            x_{n-1}\phantom{\vdots} \\
				            x_{n}\phantom{\vdots}
			            \end{pmatrix} =
			            \begin{pmatrix}
				            f_1\phantom{\vdots}     \\
				            f_2\phantom{\vdots}     \\
				            f_3\phantom{\vdots}     \\
				            \vdots                  \\
				            f_{n-1}\phantom{\vdots} \\
				            f_n\phantom{\vdots}
			            \end{pmatrix}
		            \]
		            \vspace{-1em}
		            \begin{itemize}
			            \item předpokládáme zpětný běh:
			                  \begin{enumerate}[label=\roman*)]
				                  \item \( x_{i} = \mu_i x_{i+1} + \rho_i \rightarrow\) dosadíme do \(j\)-tého řádku  \( c_jx_{j-1} + a_j x_j + b_j x_{j+1} = f_j\)
				                  \item po dosazení dostaneme: \(c_j (\mu_{j-1} x_j + \rho_{j-1}) + a_j x_j + b_j \hookannotateunder{x_{j+1}}{známe z předchozí iterace} = f_j \implies\) získáme \underline{koeficienty \(\mu_j\) a \(\rho_j\)}\\ \(\implies\) \underline{dostaneme \(x_j\)}
			                  \end{enumerate}
		            \end{itemize}
	      \end{itemize}
	\item pro řídké matice používáme \underline{gradientní metody}
 
\end{itemize}
 
\subsubsection{Podmíněnost řešení \texorpdfstring{\( \mathbb{A}\vec{x} = \vec{b} \)}{Ax = b} }
\begin{itemize}
	\item nechť \(\Delta\mathbb{A}, \Delta\vec{b}\) jsou změny dat. Zajímá nás změna řešení \(\frac{\|\Delta\vec{x}\|}{\|\vec{x}\|}\)
	      \begin{itemize}
		      \item[\( \hookrightarrow \)] řešíme problém: \((\mathbb{A} + \Delta\mathbb{A})(\vec{x}+\Delta\vec{x}) = \vec{b} + \Delta\vec{b}\)
		      \item [\(\implies\)] 2 případy:
		            \begin{enumerate}
			            \item \uwave{\(\Delta\mathbb{A} = \mathbb{O}\)}
			                  \begin{enumerate}[label= \roman*)]
				                  \item \(\implies \mathbb{A}\cdot\vec{x} + \mathbb{A}\cdot\Delta\vec{x} = \vec{b} + \Delta\vec{b} \Leftrightarrow \Delta\vec{x} = \mathbb{A}^{-1} \cdot \Delta \vec{b}\)
				                  \item platí \(\|\Delta\vec{x}\| \le \|\mathbb{A}^{-1}\| \cdot \left\|\Delta\vec{b}\right\| \land \|\vec{x}\|\le\|\mathbb{A}^{-1}\| \cdot \left\|\vec{b}\right\|\)\\
				                        \(\implies\) relativní změna \(\frac{\|\Delta\vec{x}\|}{\vec{x}}\le\text{\stackengine{\stackgap}{\(\underbrace{\|\mathbb{A}\| \cdot \|\mathbb{A}^{-1}\|} \cdot \frac{\left\|\Delta\vec{b}\right\|}{\left\|\vec{b}\right\|}\)}{\scriptsize\underline{\(C_{p}\)}\ldots \underline{podmíněnost matice}}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}}\)
			                  \end{enumerate}
			            \item \uwave{\(\Delta\mathbb{A} \neq \mathbb{O}\)}
			                  \begin{itemize}
				                  \item[\(\implies\)] \(\frac{\|\Delta\vec{x}\|}{\|\vec{x}\|} \le C_{p} \frac{\frac{\|\Delta\mathbb{A}\|}{\|\mathbb{A}\|}+\frac{\|\Delta\vec{b}\|}{\|\vec{b}\|}}{1-C_{p}\frac{\|\Delta\mathbb{A}\|}{\|\mathbb{A}\|}}\)
			                  \end{itemize}
		            \end{enumerate}
		      \item[\(\implies\)] podmíněnost úlohy záleží pouze na \underline{matici \(\mathbb{A}\), nikoliv na \(\vec{b}\)}
	      \end{itemize}
\end{itemize}