Matematika2:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika2} \section{Posloupnosti reálných čísel} \subsection{Definice} \begin{define}[Posloupnost]~\\ Posloupnost reálných čísel je funkce $a :...) |
|||
(Není zobrazeno 6 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{Matematika2} | %\wikiskriptum{Matematika2} | ||
− | \section{Posloupnosti reálných čísel} | + | \section[Posloupnosti reálných čísel]{\fbox{Posloupnosti reálných čísel}} |
\subsection{Definice} | \subsection{Definice} | ||
− | \begin{define}[ | + | \begin{define}[Číselná posloupnost] |
− | + | Posloupnost reálných čísel je funkce $a : \N \to \R$. Hodnota posloupnosti pro | |
− | + | dané $n \in N$ se nazývá člen posloupnosti a je možné jej značit stejně jako hodnotu funkce v bodě, tj. $a(n)$. Obvykle však budeme používat značení $a_n$. | |
− | \end{define} | + | \end{define} |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Monotonie posloupnosti] | ||
+ | Řekneme, že posloupnost $\{ a_n \}$ je | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item ostře rostoucí $\ekv$ $a_n < a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$, | ||
+ | \item rostoucí (neklesající) $\ekv$ $a_n \leq a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$, | ||
+ | \item ostře klesající $\ekv$ $a_n > a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$, | ||
+ | \item klesající (nerostoucí) $\ekv$ $a_n \geq a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{define}[Omezenost posloupnosti] | ||
+ | Řekneme, že posloupnost $\{ a_n \}$ je | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item omezená shora $\ekv$ $(\exists K\in\R)(a_n \leq K)$ pro $\forall n\in\N$, | ||
+ | \item omezená zdola $\ekv$ $(\exists K\in\R)(a_n \geq K)$ pro $\forall n\in\N$, | ||
+ | \item omezená $\ekv$ $(\exists K>0)(|a_n| \leq K)$ pro $\forall n\in\N$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Vlastnosti funkce $f:\R_+ \to \R$ se dají použít i na posloupnost $a_n = f(n)$, $n\in\N$. Pokud např. funkce $f$ ostře klesá, pak i posloupnost $f(n)$ ostře klesá. Pozor, obráceně to neplatí. Např. posloupnost $a_n = \sin{\frac\pi{n+1}}$ je klesající, ale funkce $f(x)= \sin\frac\pi{x}$ není monotonní. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
\subsection{Limita posloupnosti} | \subsection{Limita posloupnosti} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \begin{ | + | \begin{define}[Limita posloupnosti]\oprava |
− | + | \begin{align*} | |
− | \ | + | &\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = \ell &&\ekv &&(\forall\varepsilon >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(|a_n-\ell| < \varepsilon) \\ |
− | + | &\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = +\infty &&\ekv &&(\forall\alpha >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(a_n > \alpha) \\ | |
− | \ | + | &\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = -\infty &&\ekv &&(\forall\alpha >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(a_n < -\alpha) |
− | \end{theorem} | + | \end{align*} |
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[O jednoznačnosti limity]\oprava | ||
+ | $$ | ||
+ | \lim\limits_{n\to+\infty}a_n = \ell \wedge \lim\limits_{n\to+\infty}a_n = m \Rightarrow \ell=m. | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Důkaz provedeme sporem podobně jako v případě důkazu jednoznačnosti limity v prvním semestru. | ||
+ | |||
+ | Sporem: $\ell\neq m$ a zvolme $\varepsilon = \frac12|\ell-m|>0$. Pak platí | ||
+ | $$ | ||
+ | 0 < \varepsilon = \frac12|\ell-m| = \frac12|\ell-a_n+a_n-m| \leq \frac12|\ell-a_n| + \frac12|m-a_n| | ||
+ | $$ | ||
+ | Z definice $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = \ell$, resp. $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = m$ platí, že $\exists n_1$, resp. $\exists n_2$ tak, že $|\ell-a_n| < \varepsilon$ pro $\forall n>n_1$, resp. $|m-a_n| < \varepsilon$ pro $\forall n>n_2$. Zvolme $n_0 = \max\{n_1, n_2\}$, pak | ||
+ | $$ | ||
+ | 0 < \varepsilon \leq \frac12|\ell-a_n| + \frac12|m-a_n| < \frac12\varepsilon + \frac12\varepsilon = \varepsilon. | ||
+ | $$ | ||
+ | A to je spor. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Konvergence posloupnosti] | ||
+ | Posloupnost mající konečnou limitu se nazývá konvergentní, v opačném případě divergentní. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}\label{thm:konvergence_omezenost_posloupnost} | ||
+ | Každá konvergentní posloupnost je omezená. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Nechť $a_n \to \ell$. Je-li $\ell=0$, pak pro libovolné $\varepsilon>0$ existuje z definice limity takové $n_0$, že $|a_n|<\varepsilon$ pro $\forall n>n_0$. Omezující konstantu $K>0$ pak stačí zvolit jako | ||
+ | $$ | ||
+ | K = \max \{ \varepsilon, a_1, a_2, \dots, a_{n_0-1}, a_{n_0} \}. | ||
+ | $$ | ||
+ | V případě, že $\ell\neq 0$, použijeme pomocnou posloupnost $b_n = a_n-\ell$, pro kterou platí $b_n\to0$ a tudíž použijemen předchozí výsledek důkazu. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{corollary} | ||
+ | Každá neomezená posloupnost diverguje. | ||
+ | \end{corollary} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Supremum / infimum jako limita posloupnosti] | ||
+ | Omezená neklesající, resp. nerostoucí posloupnost konverguje k nejmenší horní, resp. největší dolní závoře. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \subsection{Limes superior a limes inferior} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Vybraná posloupnost] | ||
+ | Řekneme, že posloupnost $\{ b_n \}$ je vybraná z posloupnosti $\{ a_n \}$ právě tehdy, když existuje ostře rostoucí posloupnost indexů $\{ k_n \} \subset \N$, $\lim\limits_{n\to+\infty} k_n=+\infty$, taková, že $b_n = a_{k_n}$ pro $\forall n\in\N$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{define}[Hromadná hodnota posloupnosti] | ||
+ | Bod $a\in\R\cup\{+\infty, -\infty\}$ nazveme hromadnou hodnotou posloupnosti $\{ a_n \}$ právě tehdy, když existuje posloupnost $\{ a_{k_n} \}$ vybraná z $\{ a_n \}$, pro kterou | ||
+ | $$ | ||
+ | \lim\limits_{n\to+\infty} a_{k_n} = a. | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Každá posloupnost má hromadnou hodnotu, přičemž množina všech hromadných hodnot má svůj největší i nejmenší prvek (připouštíme i $\pm\infty$). | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Limes superior] | ||
+ | Největší hromadnou hodnotu posloupnosti $\{ a_n \}$ nazýváme \textbf{limes superior} a značime $\limsup\limits_{n\to+\infty} a_n$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Limes inferior] | ||
+ | Nejmenší hromadnou hodnotu posloupnosti $\{ a_n \}$ nazýváme \textbf{limes inferior} a značime $\liminf\limits_{n\to+\infty} a_n$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Pro každou reálnou posloupnost $\{ a_n \}$ platí | ||
+ | $$ | ||
+ | \lim\limits_{n\to+\infty} a_n = \ell \ekv \limsup\limits_{n\to+\infty} a_n = \liminf\limits_{n\to+\infty} a_n = \ell. | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \subsection{Počítání limit} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Počítání limit] | ||
+ | Nechť $a_n\to \ell$, $b_n\to m$ a $\alpha\in\R$. Pak platí | ||
+ | \begin{itemize} | ||
+ | \item $a_n+b_n \to \ell + m$, | ||
+ | \item $\alpha a_n \to \alpha \ell$, | ||
+ | \item $a_nb_n \to \ell m$, | ||
+ | \item $\frac{a_n}{b_n} \to \frac{\ell}{m}$, | ||
+ | \end{itemize} | ||
+ | mají-li výrazy na pravých stranách smysl (nejsou $\ind$). | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}\oprava | ||
+ | $$a_n \to l ~~\Leftrightarrow~~ (a_n - l) \to 0 ~~\Leftrightarrow~~ |a_n - l| \to 0.$$ | ||
+ | \end{theorem} | ||
− | \ | + | \begin{theorem}[O sevřené posloupnosti - sendvičová] |
+ | Nechť $(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(a_n \leq b_n \leq c_n)$. Pokud $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = \ell$ a $\lim\limits_{n\to+\infty}c_n = \ell$, pak $\lim\limits_{n\to+\infty}b_n = \ell$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Důkaz se provede podoně jak u sendvičové věty v zimním semestru. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{corollary}\oprava | ||
+ | $$ | ||
+ | (\exists n_0\in\N)(\forall n> n_0)(|b_n| \leq c_n) (c_n\to0) \Rightarrow b_n \to 0. | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{corollary} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buď $c_n \to c$ a $(\forall n \in \N)(c_n \in D_f)$, kde funkce $f$ je spojitá v bodě $c$. Potom $\lim\limits_{n\to+\infty} f(c_n) = f(c)$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Ze spojitosti funkce $f$ v bodě $c$ víme, že pro nějaké $\varepsilon>0$ existuje $\delta>0$ tak, že | ||
+ | $$ | ||
+ | |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(c)| < \varepsilon. | ||
+ | $$ | ||
+ | Zároveň z definice limity $c_n\to c$ nalezneme pro dané $\delta>0$ takové $n_0\in\N$, že $\forall n> n_0$ je $|c_n-c| < \delta$. Proto pro $\forall n>n_0$ platí $| f(c_n)-f(c)|<\varepsilon$, což bylo dokázati. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
− | \begin{theorem}[ | + | |
− | Buď $\{a_n\}$ posloupnost kladných reálných čísel a nechť existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Potom existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n}$ a platí $$ \lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$ | + | \begin{define}[Hromadný bod množiny] |
− | \end{theorem} | + | Nechť $M$ je podmnožina reálných čísel. Bod $a$ nazveme hromadným bodem množiny $M$ (značíme $a\in M^\prime$), pokud platí $(\forall \varepsilon>0)(\exists x \in M)(|a-x|<\varepsilon)$ |
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Heine] | ||
+ | Buď $f$ reálná funkce a $a \in (D_f)^\prime$, tj. $a$ je hromadným bodem $D_f$. Pak platí | ||
+ | $$ | ||
+ | \lim\limits_{x\to a} f(x) = \ell \quad\Leftrightarrow \quad \lim\limits_{n\to+\infty} f(x_n)=\ell \quad \hbox{pro~~} \forall \{x_n \} \subset D_f: x_n \neq a ~~\wedge~~ x_n \to a | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Důkaz ekvivalence provedeme ve dvou krocích. | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item \uv{$\Rightarrow$}: Předpokládáme, že $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell$, tj. | ||
+ | $$ | ||
+ | (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta>0)(\forall x\in D_f\setminus\{a\})(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon) | ||
+ | $$ | ||
+ | a chceme ukázat, že pro dané $\varepsilon>0$ existuje $n_0$ takové, že $\forall n>n_0$ platí | ||
+ | $$ | ||
+ | |f(x_n)-\ell| < \varepsilon. | ||
+ | $$ | ||
+ | Zřejmě tedy stačí zvolit $n_0$ tak, aby $\forall n>n_0$ bylo $|x_n-a|<\delta$. | ||
+ | \item \uv{$\Leftarrow$}: Sporem. Předpokládejme, že $\lim\limits_{n\to+\infty}f(x_n)=\ell$ a $\neg\lim\limits_{x\to a}f(x) = \ell$, tj. | ||
+ | $$ | ||
+ | (\exists\varepsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x\in D_f\setminus \{a\})(|x-a|<\delta \wedge |f(x)-\ell|\geq \varepsilon). | ||
+ | $$ | ||
+ | Označme pomocnou množinu $M = \{ x \in D_f: |f(x)-\ell| \geq \varepsilon \}$. | ||
+ | Ujasněme si, že $a\in M^\prime$, neboť $(\forall \delta>0)(\exists x)(|x-a|<\delta \wedge |f(x)-\ell|\geq \varepsilon)$ (proto $M\neq \emptyset$). | ||
+ | |||
+ | Nyní zvolme nějakou posloupnost $\{ x_n \}$ takovou, že $\forall n\in\N$ platí: $x_n \in D_f\setminus \{a\}$, $x_n\to a$ a $x_n \in M$ (to lze, neb $a$ je hromadným bodem $M$) . | ||
+ | Podle předpokladu platí pro takto zvolenou posloupnost $\{x_n\}$, že $\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\ell$, což je ale spor s konstrukcí množiny $M$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Cauchyho vzorec] | ||
+ | Buď $\{a_n\}$ posloupnost kladných reálných čísel a nechť existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Potom existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n}$ a platí $$ \lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$ | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Stolzův vzorec] | ||
+ | Buďte $\{ a_n\}$ a $\{b_n \}$ posloupnosti takové, že $b_{n+1} > b_n > 0$ pro všechna $n \in \N$ a $\lim\limits_{n\to+\infty} b_n = +\infty$. Nechť existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$. Potom existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n}$ a platí $$\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.$$ | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Číslo e} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Pro $\forall n\in\N$ platí | ||
+ | $$ | ||
+ | \left(1+\frac1n \right)^n \leq \e \leq \left( 1+\frac1n \right)^{n+1}, | ||
+ | $$ | ||
+ | přičemž posloupnost $\left(1+\frac1n \right)^n$ ostře roste k $\e$ a posloupnost $\left( 1+\frac1n \right)^{n+1}$ ostře klesá k $\e$: | ||
+ | $$ | ||
+ | \lim\limits_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = \e , | ||
+ | \quad \hbox{a} \quad | ||
+ | \lim\limits_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} = \e. | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Při důkazu vyjdeme z definice obecné mocniny a použijeme definici přirozeného logaritmu | ||
+ | $\ln x = \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t}$, kde $t>0$. | ||
+ | |||
+ | Pro $\forall n\in\N$ a $\forall t\in [1,1+\frac1n]$ | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{1}{1+\frac1n} \leq \frac1t \leq 1. | ||
+ | $$ | ||
+ | Nyní tuto nerovnost zintegrujeme přes interval $[1,1+\frac1n]$ | ||
+ | $$ | ||
+ | \int\limits_{1}^{1+\frac1n} \frac{1}{1+\frac1n}\ud t \leq | ||
+ | \int\limits_{1}^{1+\frac1n} \frac1t \ud t \leq | ||
+ | \int\limits_{1}^{1+\frac1n} 1 \ud t, | ||
+ | $$ | ||
+ | a po úpravě dostaneme (s využitím definice přirozeného logaritmu) | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{1}{n+1} \leq \ln\left( 1 + \frac1n \right) \leq \frac1n. | ||
+ | $$ | ||
+ | Tato nerovnost je klíčem k důkazu věty, neb po vložení do argumentu exponenciální funkce dostáváme | ||
+ | $$ | ||
+ | \e^{\frac{1}{n+1}} \leq \left(1+\frac1n \right) \leq \e^{\frac1n}, | ||
+ | $$ | ||
+ | odkud | ||
+ | $$ | ||
+ | \e \leq \left(1+\frac1n \right)^{n+1} | ||
+ | $$ | ||
+ | a | ||
+ | $$ | ||
+ | \e \geq \left(1+\frac1n \right)^n. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Pomocí sendvičové věty nakonec dokážeme, že limitou obou posloupností je $\e$: | ||
+ | $$ | ||
+ | \e \longleftarrow \frac{\e}{1+\frac1n} \leq \left(1+\frac1n \right)^n \leq \e, | ||
+ | $$ | ||
+ | resp. | ||
+ | $$ | ||
+ | \e \leq \left(1+\frac1n \right)^{1+n}\leq \left(1+\frac1n \right)\e \longrightarrow \e. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Důkaz monotonie je obtížnější a proto jej vynecháme. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
− | \begin{theorem} | + | |
− | + | \begin{theorem} | |
− | \end{ | + | Pro všechna $x\in\R$ platí |
+ | $$ | ||
+ | \lim_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = \e^x. | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Důkaz provedeme přímo pomocí funkce $\ln$. Pro pevné $x\in\R$ upravme výraz | ||
+ | $$ | ||
+ | \ln\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = n\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right) = x \frac{\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right) - \ln(1)}{\frac{x}{n}} | ||
+ | $$ | ||
+ | a označme $h = \frac{x}{n}$. Zřejmě $h\to 0$ pro $n\to+\infty$ a v limitním přechodu dostaneme | ||
+ | $$ | ||
+ | x \underbrace{\lim\limits_{h\to0}\frac{ \ln(1+h) - \ln(1)}{h}}_{\hbox{derivace~}\ln{z}} = x \left( \ln{z} \right)^\prime_{(z=1)} = x \frac{1}{1} = x. | ||
+ | $$ | ||
+ | Celkem | ||
+ | $$ | ||
+ | \lim\limits_{n\to+\infty}\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = x, | ||
+ | $$ | ||
+ | odkud již plyne tvrzení věty. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \subsection{Důležité příklady} | ||
+ | \begin{lemma} | ||
+ | Nechť $|x|<1$, pak $x^n\to 0$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Vyjdeme z nerovnosti | ||
+ | $$ | ||
+ | -|x|^n \leq x^n \leq |x|^n, | ||
+ | $$ | ||
+ | a ukážeme, že $|x|^n \to 0$, tj. dle definice limity | ||
+ | $$ | ||
+ | (\forall \varepsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(|x|^n<\varepsilon). | ||
+ | $$ | ||
+ | Hledáme tedy takové $n_0$, aby pro dané $\varepsilon$ a $\forall n>n_0$ platilo $|x|<\varepsilon^{\frac1n}$. Protože $\varepsilon^{\frac1n}\to 1$ a $|x|<1$, takové $n_0$ lze vždy najít. | ||
+ | Ze sendvičové věty o limitě sevřené posloupnosti pak již plyne důkaz. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | |||
+ | \begin{lemma} | ||
+ | $\forall x\in\R$ platí $\frac{x^n}{n!}\to0$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Pro libovolné $k\in\N$ takové, že $k>|x|$ a $n>k$ platí | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{k^n}{n!} = \frac{k^k}{k!} \left( \underbrace{\frac{k}{k+1}}_{<1} \underbrace{\frac{k}{k+2}}_{<1} \dots \underbrace{\frac{k}{n-2}}_{<1} \underbrace{\frac{k}{n-1}}_{<1} \right) \frac{k}{n} | ||
+ | < \underbrace{\frac{k^{k+1}}{k!}}_{\hbox{nezávisí na n}} \frac{1}{n} \to 0. | ||
+ | $$ | ||
+ | Ze sendvičové věty tedy plyne tvrzení věty | ||
+ | $$ | ||
+ | 0 < \frac{|x|^n}{n!} < \frac{k^n}{n!} < \frac{k^{k+1}}{k!}\frac{1}{n} \to 0. | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | |||
+ | \begin{lemma} | ||
+ | $\alpha>0$ platí $\frac{1}{n^\alpha} \to 0$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Pro dané $\alpha$ platí, že $\exists p\in\N$ takové, že $\frac{1}{p}< \alpha$. Pak | ||
+ | $$ | ||
+ | 0<\frac{1}{n^\alpha} = \left(\frac{1}{n}\right)^\alpha \leq \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac1p} \to 0 | ||
+ | $$ | ||
+ | neboť $f(x) = x^{\frac1p}$ je spojitá v $0$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{lemma} |
Verze z 20. 6. 2019, 12:18
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 17:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 20:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 16:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 15:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 09:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 12:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 11:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Posloupnosti reálných čísel]{\fbox{Posloupnosti reálných čísel}} \subsection{Definice} \begin{define}[Číselná posloupnost] Posloupnost reálných čísel je funkce $a : \N \to \R$. Hodnota posloupnosti pro dané $n \in N$ se nazývá člen posloupnosti a je možné jej značit stejně jako hodnotu funkce v bodě, tj. $a(n)$. Obvykle však budeme používat značení $a_n$. \end{define} \begin{define}[Monotonie posloupnosti] Řekneme, že posloupnost $\{ a_n \}$ je \begin{enumerate} \item ostře rostoucí $\ekv$ $a_n < a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$, \item rostoucí (neklesající) $\ekv$ $a_n \leq a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$, \item ostře klesající $\ekv$ $a_n > a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$, \item klesající (nerostoucí) $\ekv$ $a_n \geq a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$. \end{enumerate} \end{define} \begin{define}[Omezenost posloupnosti] Řekneme, že posloupnost $\{ a_n \}$ je \begin{enumerate} \item omezená shora $\ekv$ $(\exists K\in\R)(a_n \leq K)$ pro $\forall n\in\N$, \item omezená zdola $\ekv$ $(\exists K\in\R)(a_n \geq K)$ pro $\forall n\in\N$, \item omezená $\ekv$ $(\exists K>0)(|a_n| \leq K)$ pro $\forall n\in\N$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} Vlastnosti funkce $f:\R_+ \to \R$ se dají použít i na posloupnost $a_n = f(n)$, $n\in\N$. Pokud např. funkce $f$ ostře klesá, pak i posloupnost $f(n)$ ostře klesá. Pozor, obráceně to neplatí. Např. posloupnost $a_n = \sin{\frac\pi{n+1}}$ je klesající, ale funkce $f(x)= \sin\frac\pi{x}$ není monotonní. \end{remark} \subsection{Limita posloupnosti} \begin{define}[Limita posloupnosti]\oprava \begin{align*} &\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = \ell &&\ekv &&(\forall\varepsilon >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(|a_n-\ell| < \varepsilon) \\ &\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = +\infty &&\ekv &&(\forall\alpha >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(a_n > \alpha) \\ &\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = -\infty &&\ekv &&(\forall\alpha >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(a_n < -\alpha) \end{align*} \end{define} \begin{theorem}[O jednoznačnosti limity]\oprava $$ \lim\limits_{n\to+\infty}a_n = \ell \wedge \lim\limits_{n\to+\infty}a_n = m \Rightarrow \ell=m. $$ \begin{proof} Důkaz provedeme sporem podobně jako v případě důkazu jednoznačnosti limity v prvním semestru. Sporem: $\ell\neq m$ a zvolme $\varepsilon = \frac12|\ell-m|>0$. Pak platí $$ 0 < \varepsilon = \frac12|\ell-m| = \frac12|\ell-a_n+a_n-m| \leq \frac12|\ell-a_n| + \frac12|m-a_n| $$ Z definice $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = \ell$, resp. $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = m$ platí, že $\exists n_1$, resp. $\exists n_2$ tak, že $|\ell-a_n| < \varepsilon$ pro $\forall n>n_1$, resp. $|m-a_n| < \varepsilon$ pro $\forall n>n_2$. Zvolme $n_0 = \max\{n_1, n_2\}$, pak $$ 0 < \varepsilon \leq \frac12|\ell-a_n| + \frac12|m-a_n| < \frac12\varepsilon + \frac12\varepsilon = \varepsilon. $$ A to je spor. \end{proof} \end{theorem} \begin{define}[Konvergence posloupnosti] Posloupnost mající konečnou limitu se nazývá konvergentní, v opačném případě divergentní. \end{define} \begin{theorem}\label{thm:konvergence_omezenost_posloupnost} Každá konvergentní posloupnost je omezená. \begin{proof} Nechť $a_n \to \ell$. Je-li $\ell=0$, pak pro libovolné $\varepsilon>0$ existuje z definice limity takové $n_0$, že $|a_n|<\varepsilon$ pro $\forall n>n_0$. Omezující konstantu $K>0$ pak stačí zvolit jako $$ K = \max \{ \varepsilon, a_1, a_2, \dots, a_{n_0-1}, a_{n_0} \}. $$ V případě, že $\ell\neq 0$, použijeme pomocnou posloupnost $b_n = a_n-\ell$, pro kterou platí $b_n\to0$ a tudíž použijemen předchozí výsledek důkazu. \end{proof} \end{theorem} \begin{corollary} Každá neomezená posloupnost diverguje. \end{corollary} \begin{theorem}[Supremum / infimum jako limita posloupnosti] Omezená neklesající, resp. nerostoucí posloupnost konverguje k nejmenší horní, resp. největší dolní závoře. \end{theorem} \subsection{Limes superior a limes inferior} \begin{define}[Vybraná posloupnost] Řekneme, že posloupnost $\{ b_n \}$ je vybraná z posloupnosti $\{ a_n \}$ právě tehdy, když existuje ostře rostoucí posloupnost indexů $\{ k_n \} \subset \N$, $\lim\limits_{n\to+\infty} k_n=+\infty$, taková, že $b_n = a_{k_n}$ pro $\forall n\in\N$. \end{define} \begin{define}[Hromadná hodnota posloupnosti] Bod $a\in\R\cup\{+\infty, -\infty\}$ nazveme hromadnou hodnotou posloupnosti $\{ a_n \}$ právě tehdy, když existuje posloupnost $\{ a_{k_n} \}$ vybraná z $\{ a_n \}$, pro kterou $$ \lim\limits_{n\to+\infty} a_{k_n} = a. $$ \end{define} \begin{theorem} Každá posloupnost má hromadnou hodnotu, přičemž množina všech hromadných hodnot má svůj největší i nejmenší prvek (připouštíme i $\pm\infty$). \end{theorem} \begin{define}[Limes superior] Největší hromadnou hodnotu posloupnosti $\{ a_n \}$ nazýváme \textbf{limes superior} a značime $\limsup\limits_{n\to+\infty} a_n$. \end{define} \begin{define}[Limes inferior] Nejmenší hromadnou hodnotu posloupnosti $\{ a_n \}$ nazýváme \textbf{limes inferior} a značime $\liminf\limits_{n\to+\infty} a_n$. \end{define} \begin{theorem} Pro každou reálnou posloupnost $\{ a_n \}$ platí $$ \lim\limits_{n\to+\infty} a_n = \ell \ekv \limsup\limits_{n\to+\infty} a_n = \liminf\limits_{n\to+\infty} a_n = \ell. $$ \end{theorem} \subsection{Počítání limit} \begin{theorem}[Počítání limit] Nechť $a_n\to \ell$, $b_n\to m$ a $\alpha\in\R$. Pak platí \begin{itemize} \item $a_n+b_n \to \ell + m$, \item $\alpha a_n \to \alpha \ell$, \item $a_nb_n \to \ell m$, \item $\frac{a_n}{b_n} \to \frac{\ell}{m}$, \end{itemize} mají-li výrazy na pravých stranách smysl (nejsou $\ind$). \end{theorem} \begin{theorem}\oprava $$a_n \to l ~~\Leftrightarrow~~ (a_n - l) \to 0 ~~\Leftrightarrow~~ |a_n - l| \to 0.$$ \end{theorem} \begin{theorem}[O sevřené posloupnosti - sendvičová] Nechť $(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(a_n \leq b_n \leq c_n)$. Pokud $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = \ell$ a $\lim\limits_{n\to+\infty}c_n = \ell$, pak $\lim\limits_{n\to+\infty}b_n = \ell$. \begin{proof} Důkaz se provede podoně jak u sendvičové věty v zimním semestru. \end{proof} \end{theorem} \begin{corollary}\oprava $$ (\exists n_0\in\N)(\forall n> n_0)(|b_n| \leq c_n) (c_n\to0) \Rightarrow b_n \to 0. $$ \end{corollary} \begin{theorem} Buď $c_n \to c$ a $(\forall n \in \N)(c_n \in D_f)$, kde funkce $f$ je spojitá v bodě $c$. Potom $\lim\limits_{n\to+\infty} f(c_n) = f(c)$. \begin{proof} Ze spojitosti funkce $f$ v bodě $c$ víme, že pro nějaké $\varepsilon>0$ existuje $\delta>0$ tak, že $$ |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(c)| < \varepsilon. $$ Zároveň z definice limity $c_n\to c$ nalezneme pro dané $\delta>0$ takové $n_0\in\N$, že $\forall n> n_0$ je $|c_n-c| < \delta$. Proto pro $\forall n>n_0$ platí $| f(c_n)-f(c)|<\varepsilon$, což bylo dokázati. \end{proof} \end{theorem} \begin{define}[Hromadný bod množiny] Nechť $M$ je podmnožina reálných čísel. Bod $a$ nazveme hromadným bodem množiny $M$ (značíme $a\in M^\prime$), pokud platí $(\forall \varepsilon>0)(\exists x \in M)(|a-x|<\varepsilon)$ \end{define} \begin{theorem}[Heine] Buď $f$ reálná funkce a $a \in (D_f)^\prime$, tj. $a$ je hromadným bodem $D_f$. Pak platí $$ \lim\limits_{x\to a} f(x) = \ell \quad\Leftrightarrow \quad \lim\limits_{n\to+\infty} f(x_n)=\ell \quad \hbox{pro~~} \forall \{x_n \} \subset D_f: x_n \neq a ~~\wedge~~ x_n \to a $$ \begin{proof} Důkaz ekvivalence provedeme ve dvou krocích. \begin{enumerate} \item \uv{$\Rightarrow$}: Předpokládáme, že $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell$, tj. $$ (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta>0)(\forall x\in D_f\setminus\{a\})(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon) $$ a chceme ukázat, že pro dané $\varepsilon>0$ existuje $n_0$ takové, že $\forall n>n_0$ platí $$ |f(x_n)-\ell| < \varepsilon. $$ Zřejmě tedy stačí zvolit $n_0$ tak, aby $\forall n>n_0$ bylo $|x_n-a|<\delta$. \item \uv{$\Leftarrow$}: Sporem. Předpokládejme, že $\lim\limits_{n\to+\infty}f(x_n)=\ell$ a $\neg\lim\limits_{x\to a}f(x) = \ell$, tj. $$ (\exists\varepsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x\in D_f\setminus \{a\})(|x-a|<\delta \wedge |f(x)-\ell|\geq \varepsilon). $$ Označme pomocnou množinu $M = \{ x \in D_f: |f(x)-\ell| \geq \varepsilon \}$. Ujasněme si, že $a\in M^\prime$, neboť $(\forall \delta>0)(\exists x)(|x-a|<\delta \wedge |f(x)-\ell|\geq \varepsilon)$ (proto $M\neq \emptyset$). Nyní zvolme nějakou posloupnost $\{ x_n \}$ takovou, že $\forall n\in\N$ platí: $x_n \in D_f\setminus \{a\}$, $x_n\to a$ a $x_n \in M$ (to lze, neb $a$ je hromadným bodem $M$) . Podle předpokladu platí pro takto zvolenou posloupnost $\{x_n\}$, že $\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\ell$, což je ale spor s konstrukcí množiny $M$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Cauchyho vzorec] Buď $\{a_n\}$ posloupnost kladných reálných čísel a nechť existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Potom existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n}$ a platí $$ \lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$ \end{theorem} \begin{theorem}[Stolzův vzorec] Buďte $\{ a_n\}$ a $\{b_n \}$ posloupnosti takové, že $b_{n+1} > b_n > 0$ pro všechna $n \in \N$ a $\lim\limits_{n\to+\infty} b_n = +\infty$. Nechť existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$. Potom existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n}$ a platí $$\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.$$ \end{theorem} \subsection{Číslo e} \begin{theorem} Pro $\forall n\in\N$ platí $$ \left(1+\frac1n \right)^n \leq \e \leq \left( 1+\frac1n \right)^{n+1}, $$ přičemž posloupnost $\left(1+\frac1n \right)^n$ ostře roste k $\e$ a posloupnost $\left( 1+\frac1n \right)^{n+1}$ ostře klesá k $\e$: $$ \lim\limits_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = \e , \quad \hbox{a} \quad \lim\limits_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} = \e. $$ \begin{proof} Při důkazu vyjdeme z definice obecné mocniny a použijeme definici přirozeného logaritmu $\ln x = \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t}$, kde $t>0$. Pro $\forall n\in\N$ a $\forall t\in [1,1+\frac1n]$ $$ \frac{1}{1+\frac1n} \leq \frac1t \leq 1. $$ Nyní tuto nerovnost zintegrujeme přes interval $[1,1+\frac1n]$ $$ \int\limits_{1}^{1+\frac1n} \frac{1}{1+\frac1n}\ud t \leq \int\limits_{1}^{1+\frac1n} \frac1t \ud t \leq \int\limits_{1}^{1+\frac1n} 1 \ud t, $$ a po úpravě dostaneme (s využitím definice přirozeného logaritmu) $$ \frac{1}{n+1} \leq \ln\left( 1 + \frac1n \right) \leq \frac1n. $$ Tato nerovnost je klíčem k důkazu věty, neb po vložení do argumentu exponenciální funkce dostáváme $$ \e^{\frac{1}{n+1}} \leq \left(1+\frac1n \right) \leq \e^{\frac1n}, $$ odkud $$ \e \leq \left(1+\frac1n \right)^{n+1} $$ a $$ \e \geq \left(1+\frac1n \right)^n. $$ Pomocí sendvičové věty nakonec dokážeme, že limitou obou posloupností je $\e$: $$ \e \longleftarrow \frac{\e}{1+\frac1n} \leq \left(1+\frac1n \right)^n \leq \e, $$ resp. $$ \e \leq \left(1+\frac1n \right)^{1+n}\leq \left(1+\frac1n \right)\e \longrightarrow \e. $$ Důkaz monotonie je obtížnější a proto jej vynecháme. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Pro všechna $x\in\R$ platí $$ \lim_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = \e^x. $$ \begin{proof} Důkaz provedeme přímo pomocí funkce $\ln$. Pro pevné $x\in\R$ upravme výraz $$ \ln\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = n\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right) = x \frac{\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right) - \ln(1)}{\frac{x}{n}} $$ a označme $h = \frac{x}{n}$. Zřejmě $h\to 0$ pro $n\to+\infty$ a v limitním přechodu dostaneme $$ x \underbrace{\lim\limits_{h\to0}\frac{ \ln(1+h) - \ln(1)}{h}}_{\hbox{derivace~}\ln{z}} = x \left( \ln{z} \right)^\prime_{(z=1)} = x \frac{1}{1} = x. $$ Celkem $$ \lim\limits_{n\to+\infty}\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = x, $$ odkud již plyne tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Důležité příklady} \begin{lemma} Nechť $|x|<1$, pak $x^n\to 0$. \begin{proof} Vyjdeme z nerovnosti $$ -|x|^n \leq x^n \leq |x|^n, $$ a ukážeme, že $|x|^n \to 0$, tj. dle definice limity $$ (\forall \varepsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(|x|^n<\varepsilon). $$ Hledáme tedy takové $n_0$, aby pro dané $\varepsilon$ a $\forall n>n_0$ platilo $|x|<\varepsilon^{\frac1n}$. Protože $\varepsilon^{\frac1n}\to 1$ a $|x|<1$, takové $n_0$ lze vždy najít. Ze sendvičové věty o limitě sevřené posloupnosti pak již plyne důkaz. \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} $\forall x\in\R$ platí $\frac{x^n}{n!}\to0$. \begin{proof} Pro libovolné $k\in\N$ takové, že $k>|x|$ a $n>k$ platí $$ \frac{k^n}{n!} = \frac{k^k}{k!} \left( \underbrace{\frac{k}{k+1}}_{<1} \underbrace{\frac{k}{k+2}}_{<1} \dots \underbrace{\frac{k}{n-2}}_{<1} \underbrace{\frac{k}{n-1}}_{<1} \right) \frac{k}{n} < \underbrace{\frac{k^{k+1}}{k!}}_{\hbox{nezávisí na n}} \frac{1}{n} \to 0. $$ Ze sendvičové věty tedy plyne tvrzení věty $$ 0 < \frac{|x|^n}{n!} < \frac{k^n}{n!} < \frac{k^{k+1}}{k!}\frac{1}{n} \to 0. $$ \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} $\alpha>0$ platí $\frac{1}{n^\alpha} \to 0$. \begin{proof} Pro dané $\alpha$ platí, že $\exists p\in\N$ takové, že $\frac{1}{p}< \alpha$. Pak $$ 0<\frac{1}{n^\alpha} = \left(\frac{1}{n}\right)^\alpha \leq \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac1p} \to 0 $$ neboť $f(x) = x^{\frac1p}$ je spojitá v $0$. \end{proof} \end{lemma}