Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Posloupnosti reálných čísel]{\fbox{Posloupnosti reálných čísel}}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Číselná posloupnost]
Posloupnost reálných čísel je funkce $a : \N \to \R$. Hodnota posloupnosti pro
dané $n \in N$ se nazývá člen posloupnosti a je možné jej značit stejně jako hodnotu funkce v bodě, tj. $a(n)$. Obvykle však budeme používat značení $a_n$.
\end{define}
\begin{define}[Monotonie posloupnosti]
Řekneme, že posloupnost $\{ a_n \}$ je
\begin{enumerate}
\item ostře rostoucí $\ekv$ $a_n < a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$,
\item rostoucí (neklesající) $\ekv$ $a_n \leq a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$,
\item ostře klesající $\ekv$ $a_n > a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$,
\item klesající (nerostoucí) $\ekv$ $a_n \geq a_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}[Omezenost posloupnosti]
Řekneme, že posloupnost $\{ a_n \}$ je
\begin{enumerate}
\item omezená shora $\ekv$ $(\exists K\in\R)(a_n \leq K)$ pro $\forall n\in\N$,
\item omezená zdola $\ekv$ $(\exists K\in\R)(a_n \geq K)$ pro $\forall n\in\N$,
\item omezená $\ekv$ $(\exists K>0)(|a_n| \leq K)$ pro $\forall n\in\N$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
Vlastnosti funkce $f:\R_+ \to \R$ se dají použít i na posloupnost $a_n = f(n)$, $n\in\N$. Pokud např. funkce $f$ ostře klesá, pak i posloupnost $f(n)$ ostře klesá. Pozor, obráceně to neplatí. Např. posloupnost $a_n = \sin{\frac\pi{n+1}}$ je klesající, ale funkce $f(x)= \sin\frac\pi{x}$ není monotonní.
\end{remark}
\subsection{Limita posloupnosti}
\begin{define}[Limita posloupnosti]\oprava
\begin{align*}
&\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = \ell &&\ekv &&(\forall\varepsilon >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(|a_n-\ell| < \varepsilon) \\
&\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = +\infty &&\ekv &&(\forall\alpha >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(a_n > \alpha) \\
&\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = -\infty &&\ekv &&(\forall\alpha >0)(\exists n_0\in N)(\forall n>n_0)(a_n < -\alpha)
\end{align*}
\end{define}
\begin{theorem}[O jednoznačnosti limity]\oprava
$$
\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = \ell \wedge \lim\limits_{n\to+\infty}a_n = m \Rightarrow \ell=m.
$$
\begin{proof}
Důkaz provedeme sporem podobně jako v případě důkazu jednoznačnosti limity v prvním semestru.
Sporem: $\ell\neq m$ a zvolme $\varepsilon = \frac12|\ell-m|>0$. Pak platí
$$
0 < \varepsilon = \frac12|\ell-m| = \frac12|\ell-a_n+a_n-m| \leq \frac12|\ell-a_n| + \frac12|m-a_n|
$$
Z definice $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = \ell$, resp. $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = m$ platí, že $\exists n_1$, resp. $\exists n_2$ tak, že $|\ell-a_n| < \varepsilon$ pro $\forall n>n_1$, resp. $|m-a_n| < \varepsilon$ pro $\forall n>n_2$. Zvolme $n_0 = \max\{n_1, n_2\}$, pak
$$
0 < \varepsilon \leq \frac12|\ell-a_n| + \frac12|m-a_n| < \frac12\varepsilon + \frac12\varepsilon = \varepsilon.
$$
A to je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}[Konvergence posloupnosti]
Posloupnost mající konečnou limitu se nazývá konvergentní, v opačném případě divergentní.
\end{define}
\begin{theorem}\label{thm:konvergence_omezenost_posloupnost}
Každá konvergentní posloupnost je omezená.
\begin{proof}
Nechť $a_n \to \ell$.
\begin{enumerate}
\item Je-li $\ell=0$, pak pro libovolné $\varepsilon>0$ existuje z definice limity takové $n_0$, že $|a_n|<\varepsilon$ pro $\forall n>n_0$. Omezující konstantu $K>0$ pak stačí zvolit jako
$$
K = \max \{ \varepsilon, a_1, a_2, \dots, a_{n_0-1}, a_{n_0} \}.
$$
\item V případě, že $\ell\neq 0$, použijeme pomocnou posloupnost $b_n = a_n-\ell$, pro kterou platí $b_n\to0$ a tudíž použijeme předchozí výsledek důkazu, že je omezená nějakou konstantou $K>0$.
Tvrzení pak plyne z použití trojúhelníkové nerovnosti:
$$
|a_n| = |a_n + \ell - \ell| \leq |a_n + \ell| + |\ell| \leq K + |\ell| =: C,
$$
tj. existuje omezující konstanta $C>0$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{corollary}
Každá neomezená posloupnost diverguje.
\end{corollary}
\begin{theorem}[Supremum / infimum jako limita posloupnosti]
Omezená neklesající, resp. nerostoucí posloupnost konverguje k nejmenší horní, resp. největší dolní závoře.
\end{theorem}
\subsection{Limes superior a limes inferior}
\begin{define}[Vybraná posloupnost]
Řekneme, že posloupnost $\{ b_n \}$ je vybraná z posloupnosti $\{ a_n \}$ právě tehdy, když existuje ostře rostoucí posloupnost indexů $\{ k_n \} \subset \N$, $\lim\limits_{n\to+\infty} k_n=+\infty$, taková, že $b_n = a_{k_n}$ pro $\forall n\in\N$.
\end{define}
\begin{define}[Hromadná hodnota posloupnosti]
Bod $a\in\R\cup\{+\infty, -\infty\}$ nazveme hromadnou hodnotou posloupnosti $\{ a_n \}$ právě tehdy, když existuje posloupnost $\{ a_{k_n} \}$ vybraná z $\{ a_n \}$, pro kterou
$$
\lim\limits_{n\to+\infty} a_{k_n} = a.
$$
\end{define}
\begin{theorem}
Každá posloupnost má hromadnou hodnotu, přičemž množina všech hromadných hodnot má svůj největší i nejmenší prvek (připouštíme i $\pm\infty$).
\end{theorem}
\begin{define}[Limes superior]
Největší hromadnou hodnotu posloupnosti $\{ a_n \}$ nazýváme \textbf{limes superior} a značime $\limsup\limits_{n\to+\infty} a_n$.
\end{define}
\begin{define}[Limes inferior]
Nejmenší hromadnou hodnotu posloupnosti $\{ a_n \}$ nazýváme \textbf{limes inferior} a značime $\liminf\limits_{n\to+\infty} a_n$.
\end{define}
\begin{theorem}
Pro každou reálnou posloupnost $\{ a_n \}$ platí
$$
\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = \ell \ekv \limsup\limits_{n\to+\infty} a_n = \liminf\limits_{n\to+\infty} a_n = \ell.
$$
\end{theorem}
\subsection{Počítání limit}
\begin{theorem}[Počítání limit]
Nechť $a_n\to \ell$, $b_n\to m$ a $\alpha\in\R$. Pak platí
\begin{itemize}
\item $a_n+b_n \to \ell + m$,
\item $\alpha a_n \to \alpha \ell$,
\item $a_nb_n \to \ell m$,
\item $\frac{a_n}{b_n} \to \frac{\ell}{m}$,
\end{itemize}
mají-li výrazy na pravých stranách smysl (nejsou $\ind$).
\end{theorem}
\begin{theorem}\oprava
$$a_n \to l ~~\Leftrightarrow~~ (a_n - l) \to 0 ~~\Leftrightarrow~~ |a_n - l| \to 0.$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[O sevřené posloupnosti - sendvičová]
Nechť $(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(a_n \leq b_n \leq c_n)$. Pokud $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n = \ell$ a $\lim\limits_{n\to+\infty}c_n = \ell$, pak $\lim\limits_{n\to+\infty}b_n = \ell$.
\begin{proof}
Důkaz se provede podoně jak u sendvičové věty v zimním semestru.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{corollary}\oprava
$$
(\exists n_0\in\N)(\forall n> n_0)(|b_n| \leq c_n) (c_n\to0) \Rightarrow b_n \to 0.
$$
\end{corollary}
\begin{theorem}
Buď $c_n \to c$ a $(\forall n \in \N)(c_n \in D_f)$, kde funkce $f$ je spojitá v bodě $c$. Potom $\lim\limits_{n\to+\infty} f(c_n) = f(c)$.
\begin{proof}
Ze spojitosti funkce $f$ v bodě $c$ víme, že pro nějaké $\varepsilon>0$ existuje $\delta>0$ tak, že
$$
|x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(c)| < \varepsilon.
$$
Zároveň z definice limity $c_n\to c$ nalezneme pro dané $\delta>0$ takové $n_0\in\N$, že $\forall n> n_0$ je $|c_n-c| < \delta$. Proto pro $\forall n>n_0$ platí $| f(c_n)-f(c)|<\varepsilon$, což bylo dokázati.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}[Hromadný bod množiny]
Nechť $M$ je podmnožina reálných čísel. Bod $a$ nazveme hromadným bodem množiny $M$ (značíme $a\in M^\prime$), pokud platí $(\forall \varepsilon>0)(\exists x \in M)(|a-x|<\varepsilon)$
\end{define}
\begin{theorem}[Heine]
Buď $f$ reálná funkce a $a \in (D_f)^\prime$, tj. $a$ je hromadným bodem $D_f$. Pak platí
$$
\lim\limits_{x\to a} f(x) = \ell \quad\Leftrightarrow \quad \lim\limits_{n\to+\infty} f(x_n)=\ell \quad \hbox{pro~~} \forall \{x_n \} \subset D_f: x_n \neq a ~~\wedge~~ x_n \to a
$$
\begin{proof}
Důkaz ekvivalence provedeme ve dvou krocích.
\begin{enumerate}
\item \uv{$\Rightarrow$}: Předpokládáme, že $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell$, tj.
$$
(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta>0)(\forall x\in D_f\setminus\{a\})(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon)
$$
a chceme ukázat, že pro dané $\varepsilon>0$ existuje $n_0$ takové, že $\forall n>n_0$ platí
$$
|f(x_n)-\ell| < \varepsilon.
$$
Zřejmě tedy stačí zvolit $n_0$ tak, aby $\forall n>n_0$ bylo $|x_n-a|<\delta$.
\item \uv{$\Leftarrow$}: Sporem. Předpokládejme, že $\lim\limits_{n\to+\infty}f(x_n)=\ell$ a $\neg\lim\limits_{x\to a}f(x) = \ell$, tj.
$$
(\exists\varepsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x\in D_f\setminus \{a\})(|x-a|<\delta \wedge |f(x)-\ell|\geq \varepsilon).
$$
Označme pomocnou množinu $M = \{ x \in D_f: |f(x)-\ell| \geq \varepsilon \}$.
Ujasněme si, že $a\in M^\prime$, neboť $(\forall \delta>0)(\exists x)(|x-a|<\delta \wedge |f(x)-\ell|\geq \varepsilon)$ (proto $M\neq \emptyset$).
Nyní zvolme nějakou posloupnost $\{ x_n \}$ takovou, že $\forall n\in\N$ platí: $x_n \in D_f\setminus \{a\}$, $x_n\to a$ a $x_n \in M$ (to lze, neb $a$ je hromadným bodem $M$) .
Podle předpokladu platí pro takto zvolenou posloupnost $\{x_n\}$, že $\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\ell$, což je ale spor s konstrukcí množiny $M$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Cauchyho vzorec]
Buď $\{a_n\}$ posloupnost kladných reálných čísel a nechť existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Potom existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n}$ a platí $$ \lim\limits_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Stolzův vzorec]
Buďte $\{ a_n\}$ a $\{b_n \}$ posloupnosti takové, že $b_{n+1} > b_n > 0$ pro všechna $n \in \N$ a $\lim\limits_{n\to+\infty} b_n = +\infty$. Nechť existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$. Potom existuje $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n}$ a platí $$\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.$$
\end{theorem}
\subsection{Číslo e}
\begin{theorem}
Pro $\forall n\in\N$ platí
$$
\left(1+\frac1n \right)^n \leq \e \leq \left( 1+\frac1n \right)^{n+1},
$$
přičemž posloupnost $\left(1+\frac1n \right)^n$ ostře roste k $\e$ a posloupnost $\left( 1+\frac1n \right)^{n+1}$ ostře klesá k $\e$:
$$
\lim\limits_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = \e ,
\quad \hbox{a} \quad
\lim\limits_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} = \e.
$$
\begin{proof}
Při důkazu vyjdeme z definice obecné mocniny a použijeme definici přirozeného logaritmu
$\ln x = \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t}$, kde $t>0$.
Pro $\forall n\in\N$ a $\forall t\in [1,1+\frac1n]$
$$
\frac{1}{1+\frac1n} \leq \frac1t \leq 1.
$$
Nyní tuto nerovnost zintegrujeme přes interval $[1,1+\frac1n]$
$$
\int\limits_{1}^{1+\frac1n} \frac{1}{1+\frac1n}\ud t \leq
\int\limits_{1}^{1+\frac1n} \frac1t \ud t \leq
\int\limits_{1}^{1+\frac1n} 1 \ud t,
$$
a po úpravě dostaneme (s využitím definice přirozeného logaritmu)
$$
\frac{1}{n+1} \leq \ln\left( 1 + \frac1n \right) \leq \frac1n.
$$
Tato nerovnost je klíčem k důkazu věty, neb po vložení do argumentu exponenciální funkce dostáváme
$$
\e^{\frac{1}{n+1}} \leq \left(1+\frac1n \right) \leq \e^{\frac1n},
$$
odkud
$$
\e \leq \left(1+\frac1n \right)^{n+1}
$$
a
$$
\e \geq \left(1+\frac1n \right)^n.
$$
Pomocí sendvičové věty nakonec dokážeme, že limitou obou posloupností je $\e$:
$$
\e \longleftarrow \frac{\e}{1+\frac1n} \leq \left(1+\frac1n \right)^n \leq \e,
$$
resp.
$$
\e \leq \left(1+\frac1n \right)^{1+n}\leq \left(1+\frac1n \right)\e \longrightarrow \e.
$$
Důkaz monotonie je obtížnější a proto jej vynecháme.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Pro všechna $x\in\R$ platí
$$
\lim_{n\to+\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = \e^x.
$$
\begin{proof}
Důkaz provedeme přímo pomocí funkce $\ln$. Pro pevné $x\in\R$ upravme výraz
$$
\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = n\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right) = x \frac{\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right) - \ln(1)}{\frac{x}{n}}
$$
a označme $h = \frac{x}{n}$. Zřejmě $h\to 0$ pro $n\to+\infty$ a v limitním přechodu dostaneme
$$
x \underbrace{\lim\limits_{h\to0}\frac{ \ln(1+h) - \ln(1)}{h}}_{\hbox{derivace~}\ln{z}} = x \left( \ln{z} \right)^\prime_{(z=1)} = x \frac{1}{1} = x.
$$
Celkem
$$
\lim\limits_{n\to+\infty}\ln\left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = x,
$$
odkud již plyne tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Důležité příklady}
\begin{lemma}
Nechť $|x|<1$, pak $x^n\to 0$.
\begin{proof}
Vyjdeme z nerovnosti
$$
-|x|^n \leq x^n \leq |x|^n,
$$
a ukážeme, že $|x|^n \to 0$.
Jedna z možností je použít definici obecné mocniny (pro $|x|\neq0$): $|x|^n = \e^{n \ln |x| }$, odkud je pro $|x|<1$ tvrzení $|x|^n \to 0$ patrné.
Druhá možnost je tvrzení $|x|^n \to 0$ dokázat z definice limity
$$
(\forall \varepsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(|x|^n<\varepsilon).
$$
Hledáme tedy takové $n_0$, aby pro dané $\varepsilon$ a $\forall n>n_0$ platilo $|x|<\varepsilon^{\frac1n}$. Protože $\varepsilon^{\frac1n}\to 1$ a $|x|<1$, takové $n_0$ lze vždy najít.
Ze sendvičové věty o limitě sevřené posloupnosti pak již plyne důkaz.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{lemma}
$\forall x\in\R$ platí $\frac{x^n}{n!}\to0$.
\begin{proof}
Pro libovolné $k\in\N$ takové, že $k>|x|$ a $n>k$ platí
$$
\frac{k^n}{n!} = \frac{k^k}{k!} \left( \underbrace{\frac{k}{k+1}}_{<1} \underbrace{\frac{k}{k+2}}_{<1} \dots \underbrace{\frac{k}{n-2}}_{<1} \underbrace{\frac{k}{n-1}}_{<1} \right) \frac{k}{n}
< \underbrace{\frac{k^{k+1}}{k!}}_{\hbox{nezávisí na n}} \frac{1}{n} \to 0.
$$
Ze sendvičové věty tedy plyne tvrzení věty
$$
0 < \frac{|x|^n}{n!} < \frac{k^n}{n!} < \frac{k^{k+1}}{k!}\frac{1}{n} \to 0.
$$
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{lemma}
$\alpha>0$ platí $\frac{1}{n^\alpha} \to 0$.
\begin{proof}
Tvrzení lze dokázat například pomocí definice obecné mocniny:
$$
\frac{1}{n^\alpha} = \e^{\alpha \ln \frac{1}{n}} = \e^{-\alpha \ln n},
$$
odkud limitním přechodem $n\to \infty$ dostáváme tvrzení pro $\alpha>0$.
\end{proof}
\begin{proof}
Alternativně pro dané $\alpha$ platí, že $\exists p\in\N$ takové, že $\frac{1}{p}< \alpha$. Pak
$$
0<\frac{1}{n^\alpha} = \left(\frac{1}{n}\right)^\alpha \leq \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac1p} \to 0
$$
neboť $f(x) = x^{\frac1p}$ je spojitá v $0$.
\end{proof}
\end{lemma}
