Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}}
\subsection{Definice a příklady křivek a jejich parametrizace}
\begin{define}[Křivka daná parametricky]
Nechť $X=X(t)$ a $Y=Y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$.
Pak množinu bodů
$$\{ [X(t), Y(t)] \in \R^2: t\in [\alpha, \beta] \},$$
nazvýváme křivkou danou parametricky.
\end{define}
\begin{center}
\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
{
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{J}}
}
Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$.
Parametrizace $x(t)=a\cos^{\frac23}t$ a $y(t)=a\sin^{\frac23}t$.
Dosadíme: $a^3 = 3a(\cos{t}\sin{t})^{\frac23}$.
&
{
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}}
Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$
Parametrizace $x(t)=a\cos^3t$ a $y(t)=a\sin^3t$.
}
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{p{0.98\textwidth}}
{
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{L}}
}\\
Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$
\end{tabular}
\end{center}
\subsection{Tečny ke křivce dané parametricky}
\begin{remark}
Pro derivaci funkcí podle parametru (typicky $t$ je ve fyzice čase apod.) se často používá značení derivací tečkou: $\frac{\ud}{\ud t}X(t) = \dot{X}(t)$, $\frac{\ud}{\ud t}Y(t) = \dot{Y}(t)$.
\end{remark}
\begin{theorem}[Rovnice tečny]
Mějme křivku $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ a nechť pro $t_0\in(\alpha,\beta)$ je alespoň jedna z derivací $\dot{X}(t_0)$ a $\dot{Y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě
$[X(t_0), Y(t_0)]$ je
$$
\dot{Y}(t_0)(x-X(t_0)) = \dot{X}(t_0)(y-Y(t_0)).
$$
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Nechť $\dot{X}(t_0) \neq 0$:\\
Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[X(t_0),Y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[X(t_0+h),Y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$.
Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici
$$
k_s(h) = \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) }.
$$
Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[X(t_0),Y(t_0)]$:
$$
k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) =
\lim\limits_{h\to0} \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) } =
\lim\limits_{h\to0} \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) } \frac{h}{h} =
\frac{\dot{Y}(t_0)}{\dot{X}(t_0)}
$$
Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny
$$
q = Y(t_0) - kX(t_0) = Y(t_0) - \frac{\dot{Y}(t_0)}{\dot{X}(t_0)} X(t_0).
$$
Odtud dostáváme tvrzení věty.
\item Je-li $\dot{X}(t_0) = 0$, pak $X(t) = X(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{Y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = X(t_0)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Plocha v křivce dané parametricky}
\begin{theorem}[Plocha v křivce]
Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$ spojitá a $Y\geq 0$ na $[\alpha,\beta]$.
Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem
$$
A = \int\limits_\alpha^\beta Y(t)\dot{X}(t)\ud t.
$$
\begin{proof}
Protože $X(t)$ je prostá funkce, existuje k ní inverzní funkce $X^{-1}$ a vztah $x=X(t)$ lze invertovat na $t = X^{-1}(x)$.
Křivku v parametrickém popisu můžeme zároveň uvažovat jako křivku danou grafem funkce $f$ s předpisem
$$
f(x) := Y(t) = Y(X^{-1}(x)).
$$
Plocha pod grafem funkce $f$ je
$$
A = \int\limits_a^b f(x) \ud x,
$$
kde meze $a$ a $b$ jsou dány obrazem bodů $\alpha$ a $\beta$:
$$
a := X(\alpha), \quad b := X(\beta).
$$
Dále zpětně provedeme substituci $x=X(t)$ a dostaneme tvrzení věty:
$$
A = \int\limits_a^b f(x) \ud x
= \int\limits_\alpha^\beta f(X(t)) \dot{X}(t) \ud t
= \int\limits_\alpha^\beta Y(X^{-1}(X(t))) \dot{X}(t) \ud t
= \int\limits_\alpha^\beta Y(t) \dot{X}(t) \ud t.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Délka křivky dané parametricky}
\begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky}
Nechť $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ jsou spojité funkce na $[\alpha, \beta]$.
Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem
$$
L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }\ud t.
$$
% \begin{proof}
% Větu dokážeme pomocí věty o délce grafu funkce pro případ, kdy je buď $x=x(t)$ nebo $y=y(t)$ prostá funkce na nějakém intervalu, ze které lze vyjádřit $t = g(x)$, resp. $t=g(y)$.
% Předpokládejme tedy, že křivku lze rozdělit diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$, $k=0,1,\dots n$ tak, že na intervalech $[t_{k-1},t_k]$ je a) $x=x(t)$ nebo b) $y=y(t)$ prostá funkce.
%
% (a) $x=x(t)$ je prostá funkce, proto existuje její inverzní funkce $t=g(x)$ tak, že $g(x(t))=t$ a $y(t) = y(g(x)) =: f(x)$. Pak délka grafu funkce $f$ je dána
% \begin{equation*}
% L_k = \int\limits_{x(t_{k-1})}^{x(t_k)} \sqrt{ 1 + \left( f^\prime(x) \right)^2 } \ud x,
% \end{equation*}
% kde provedeme př
% \end{proof}
% \begin{proof}
% Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]$.
% Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$:
% \begin{equation*}
% \begin{split}
% d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2}
% \\
% =(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}.
% \end{split}
% \end{equation*}
% Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$:
% $$
% d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}.
% $$
%
%
% \todo{coz nedelat Lagrange, ale dokazat, ze ty podily v zavorce na druhou sou vetsi a mensi nez norma derivaci?}
%
% Označíme-li
% \begin{align*}
% m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\
% M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},
% \end{align*}
% dostaneme odhad pro $d_k$
% $$
% m_k (t_k-t_{k-1}) \leq d_k \leq (t_k-t_{k-1}) M_k,
% $$
% tj. po vysčítání přes $k$
% $$
% s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma) \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma).
% $$
% Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty.
% \end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích]
Nechť $r$ a $\dot{r}$ jsou spojité funkce na $[\alpha,\beta]$.
Délka křivky v polárních souřadnicích
$$
L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\varphi) + \dot{r}^2(\varphi)}\ud\varphi.
$$
\begin{proof}
Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy
\begin{align*}
X(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\
Y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi,
\end{align*}
pro které platí
$$
\dot{X}^2 + \dot{Y}^2 = r^2 + \dot{r}^2.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Objem a povrch rotující křivky dané parametricky}
\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$]
Nechť $\{ [X(t), Y(t)]: t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$~spojitá a $Y\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$.
Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy~$x$ je dán vzorcem
$$
V = \pi\int\limits_\alpha^\beta Y^2(t)\dot{X}(t) \ud t.
$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$]
Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $Y$ je prostá, $\dot{Y}$ spojitá a $X\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$.
Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy~$y$ je dán vzorcem
$$
V = \pi\int\limits_\alpha^\beta X^2(t)\dot{Y}(t) \ud t.
$$
\end{theorem}
%\subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky}
\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$]
Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ spojité a $Y\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$.
Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem
$$
P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta Y(t)\sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }~ \ud t.
$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$]
Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $Y$ je prostá, $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ spojité a $X\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$.
Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem
$$
P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta X(t)\sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }~ \ud t.
$$
\end{theorem}
