Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Polární souřadnice]{\fbox{Polární souřadnice}}
\subsection{Definice}
\begin{remark}
Kartézské souřadnice bodu značíme v této kapitole indexem $k$, např. $A=[x,y]_k$;
nově definované polární souřadnice pak indexem $p$, např. $A=[r,\varphi]_p$.
\end{remark}
\begin{define}[Polární souřadnice]
Bod $[r, \varphi]_p$ v polárních souřadnicích leží ve vzdálenosti $|r|$ od pólu $[0, 0]_k$ na polopřímce svírající s polární osou úhel $\varphi$, pokud $r>0$; úhel $\varphi+\pi$, pokud $r<0$ nebo libovolný úhel, pokud $r=0$.
\end{define}
\begin{remark}
Základní vlastnosti polárních souřadnic:
\begin{enumerate}
\item Nejednoznačnost $[r, \varphi]_p = [r,\varphi+ 2k\pi]_p$ pro $\forall k\in\Z$.
\item Počátek (=pól) $[0,0]_k = [0, \varphi]_p$ pro $\forall \varphi\in\R$.
\item $[r, \varphi+\pi]_p = [-r, \varphi]_p$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}[Vztah polárních a kartézských souřadnic]\label{thm:pk}
Bod $[r, \varphi]_p$ v polárních souřadnicích je bod $[x, y]_k$ v kartézských souřadnicích, když platí
\begin{align*}
x &= r\cos\varphi, \\
y &= r\sin\varphi.
\end{align*}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $r=0$: $[0,0]_k=[0,\varphi]_p$ pro $\forall \varphi\in\R$ a proto obě rovnosti platí.
\item $r>0$: $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ udávají polohu bodu na kružnici, tj. $x^2+y^2 = r^2$.
\item $r<0$: $[r,\varphi]_p = [-r,\varphi+\pi]_p$, přičemž $-r>0$ můžeme pro tuto volbu použít předchozí, již dokázaný, bod:
\begin{align*}
x &= -r\cos(\varphi+\pi) = -r(\cos\varphi\cos\pi-\sin\varphi\sin\pi) = r\cos\varphi, \\
y &= -r\sin(\varphi+\pi) = -r(\sin\varphi\cos\pi+\cos\varphi\sin\pi) = r\sin\varphi.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{corollary}[Inverzní vztah polárních a kartézských souřadnic]\oprava
\begin{itemize}
\item Pro $x\neq 0$ platí $\varphi = \arctg{\frac{y}{x}}$ a $r^2 = x^2+y^2$.
\item Pro $y\neq0$ platí $\varphi = \arcctg\frac{x}{y}$ a $r^2 = x^2+y^2$.
\item Pro $x=0$ a $y=0$ je $\varphi \in \R$ a $r=0$.
\end{itemize}
\end{corollary}
\subsection{Symetrie v polárních souřadnicích}
\begin{define}[Symetrie v polárních souřadnicích]
Řekneme, že křivka $\mathcal{L}$ je symetrická podle
\begin{itemize}
\item osy $x$, platí-li $[r,-\varphi]_p\in \mathcal{L}$ $\ekv$ $[r,\varphi+2k\pi]_p \in \mathcal{L}$ pro $\forall\varphi$ a $\forall k\in\Z$;
\item osy $y$, platí-li $[r,\pi-\varphi]_p\in \mathcal{L}$ $\ekv$ $[r,\varphi+2k\pi]_p \in \mathcal{L}$ pro $\forall\varphi$ a $\forall k\in\Z$;
\item pólu $O$ (počátku), platí-li $[-r,\varphi]_p\in \mathcal{L}$ $\ekv$ $[r,\varphi+2k\pi]_p \in \mathcal{L}$ pro $\forall\varphi$ a $\forall k\in\Z$.
\end{itemize}
\end{define}
\begin{lemma}
Je-li křivka zároveň symetrická dle osy $x$ a osy $y$, pak je symetrická dle počátku.
\begin{proof}
Podle definice symetrie dle počátku chceme ukázat, že platí
$$
[r,\varphi]_p \in \mathcal{L} \ekv [-r,\varphi]_p \in \mathcal{L}.
$$
Vyjdeme z levé strany:
$$
[r,\varphi]_p \in \mathcal{L}
\underbrace\ekv_{\hbox{sym. dle x}}
[r, -\varphi]_p \in \mathcal{L}
\underbrace\ekv_{(\star)}
[-r, \pi-\varphi]_p \in \mathcal{L}
\underbrace\ekv_{\hbox{sym. dle y}}
[-r, \varphi]_p \in \mathcal{L},
$$
kde jsme symbolem $(\star)$ označili použití vlastnosti polárních souřadnic
$$
[-R,\phi]_p = [R,\phi+\pi]_p
$$
pro $R:=-r$ a $\phi:=-\varphi$.
\end{proof}
\end{lemma}
\subsection{Příklady křivek v polárních souřadnicích}
\begin{center}
\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{A}}
Archimedova spirála $\{ [r, \varphi]_p : r=\varphi, \varphi \geq 0 \}$
&
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{B}}
$\{ [r, \varphi]_p : r=1-2\cos\varphi \}$
\end{tabular}
\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{E1}}
Kardioida (srdcovka) $r=1+\cos(\varphi)$
&
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{E2}}
Kardioida (srdcovka) $r=1+\sin(\varphi)$
\end{tabular}
\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{E3}}
Kardioida (srdcovka) $r=1-\cos(\varphi)$
&
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{E4}}
Kardioida (srdcovka) $r=1-\sin(\varphi)$
\end{tabular}
\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{F1}}
Ulita $r=1+2\sin(\varphi)$
&
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{F2}}
Ulita $r=1+4\sin(\varphi)$
\end{tabular}
\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{F3}}
Ulita $r=1+8\sin(\varphi)$
&
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{F4}}
Ulita $r=1+4\cos(\varphi)$
\end{tabular}
\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{C}}
$\{ [r, \varphi]_p : r=\cos(2\varphi) \}$
&
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{D}}
$\{ [r_\varphi]_p : r^2=\cos2\varphi \}$
\end{tabular}
\end{center}
\subsection{Výpočet plochy v polárních souřadnicích}
\begin{theorem}[Výpočet plochy]
Mějme spojitou funkci $r=\rho(\varphi)$, která na $[\alpha, \beta]$ nemění znamení.
Potom plocha ve výseči od $\alpha$ do $\beta$ je $A = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta \left( \rho(\varphi) \right)^2 \ud\varphi$.
\begin{proof}
Nechť bez újmy na obecnosti (BÚNO) je $\rho\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$. Uvažujme rozdělení
$$
\varsigma = \{ \alpha=\varphi_0 < \varphi_1 < \dots < \varphi_{n-1}<\varphi_n=\beta\}
$$ intervalu $[\alpha, \beta]$ a označme
$$
m_k = \min\limits \{ \rho(\varphi) : \varphi \in [\varphi_{k-1},\varphi_k] \}, \quad
M_k = \max\limits \{ \rho(\varphi) : \varphi \in [\varphi_{k-1},\varphi_k] \}.
$$
Potom obsahy $A_k$ plošky $\{ [r, \varphi]_p : \varphi\in[\varphi_{k-1},\varphi_k] \wedge 0 \leq r \leq \rho(\varphi) \}$ se dají $\forall k$ odhadnout dolní a horní kruhovou výsečí
$$
\frac12m_k^2(\varphi_{k}-\varphi_{k-1}) \leq A_k \leq \frac12M_k^2(\varphi_k-\varphi_{k-1}).
$$
Tato nerovnost ovšem platí pro všechna rozdělení $\varsigma$, proto celkovou plochu $A=\sum\limits_k A_k$ lze podle Riemannovy definice určitého integrálu spočítat vzorcem
$A=\frac12 \int\limits_\alpha^\beta \rho^2(\varphi)\ud \varphi$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Mějme spojité funkce $\rho_1(\varphi) \geq \rho_2(\varphi)$ pro $\forall\varphi \in [\alpha, \beta]$.
Potom plocha ve výseči od $\alpha$ do $\beta$ mezi těmito funkcemi je $A = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta \left( \rho_1(\varphi) \right)^2 - \left( \rho_2(\varphi) \right)^2 \ud\varphi$.
\end{theorem}
\subsection{Vzdálenost v polárních souřadnicích}
\begin{theorem}[Kosinová věta]
Vzdálenost dvou bodů $A = [r_A, \varphi_A]_p$ a $B = [r_B, \varphi_B]_p$ je:
$$
\ud(A,B)^2 = r_A^2 + r_B^2 - 2r_Ar_B\cos(\varphi_B-\varphi_A).
$$
\begin{proof}
Vyjdeme z definice vzdálenosti dvou bodů $A=[x_A,y_A]_k$ a $B=[x_B,y_B]_k$ v kartézských souřadnicích a přejdeme do souřadnic polárních pomocí Věty~\ref{thm:pk}
\\
$\displaystyle \ud(A,B)^2 = (x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2 = $\\
$\displaystyle r_A^2\cos^2\varphi_A - 2r_Ar_B\cos\varphi_A\cos\varphi_B + r_B^2\cos^2\varphi_B +
r_A^2\sin^2\varphi_A - 2r_Ar_B\sin\varphi_A\sin\varphi_B + r_B^2\sin^2\varphi_B =$\\
$\displaystyle r_A^2+r_B^2-2r_Ar_B\cos\varphi_A\cos\varphi_B -2r_Ar_B\sin\varphi_A\sin\varphi_B =
r_A^2+r_B^2 -2r_Ar_B\cos(\varphi_A-\varphi_B)$
\end{proof}
\end{theorem}
