02KVANCV:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Harmonický oscilátor} \begin{cvi} Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem $$ H_n(z)=(-1)^ne^{z^2}\frac{d^n}{dz^n...) |
|||
Řádka 36: | Řádka 36: | ||
\begin{cvi} | \begin{cvi} | ||
− | Mějme lineární harmonický oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Napište explicitní tvar vlastních funkcí hamiltoniánu odpovídající energii $\hbar\omega(n+\half)$ pro $n=0,1,2$. | + | Mějme lineární harmonický oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Napište explicitní tvar vlastních funkcí hamiltoniánu $\psi_n(x)$ odpovídající energii $\hbar\omega(n+\half)$ pro $n=0,1,2$. |
− | Určete příslušné hustoty pravděpodobnosti nalezení oscilátoru bodě $x$. Nakreslete grafy těchto rozdělení a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě. | + | Určete příslušné hustoty pravděpodobnosti nalezení oscilátoru bodě $x$. Nakreslete grafy těchto rozdělení a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě. Jak vypadá hustota pravděpodobnosti, pokud je oscilátor ve stavu popsaném superpozicí $\psi(x) = c(\psi_0(x) + 2i \psi_1(x))$. |
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
\vysl \begin{trivlist} \item $n=0: \; \psi_0(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$, | \vysl \begin{trivlist} \item $n=0: \; \psi_0(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$, | ||
Řádka 43: | Řádka 43: | ||
\item $n=2: \; \psi(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} \frac{1}{\sqrt{2}}(2x^2-1) e^{-\frac{x^2}{2}}$. | \item $n=2: \; \psi(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} \frac{1}{\sqrt{2}}(2x^2-1) e^{-\frac{x^2}{2}}$. | ||
\end{trivlist} | \end{trivlist} | ||
− | Příslušné rozdělení polohy oscilátoru je dáno kvadrátem absolutní hodnoty vlnové funkce. V grafech je počet maxim roven stupni příslušného Hermiteova polynomu $+1$. | + | Příslušné rozdělení polohy oscilátoru je dáno kvadrátem absolutní hodnoty vlnové funkce. V grafech je počet maxim roven stupni příslušného Hermiteova polynomu $+1$. Pro zadanou superpozici dostaneme hustotu pravděpodobnosti |
+ | $$ | ||
+ | |\psi(x)|^2 = \frac{2}{3\sqrt{\pi}}(1+x^2)e^{-x^2}. | ||
+ | $$ |
Verze z 8. 9. 2017, 10:16
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Harmonický oscilátor} \begin{cvi} Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem $$ H_n(z)=(-1)^ne^{z^2}\frac{d^n}{dz^n} e^{-z^2} $$ \end{cvi} \navod Stačí ukázat, že pravá strana splňuje rovnici $$ u''=2 z u' - 2n u . $$ Po dosazení zadaného tvaru $H_n(z)$ do $u''=2 z u' -2 n u $ využijte vhodně Leibnizova pravidla na $(n+1)$-ní derivaci součinu $2z.e^{-z^2} \, (= -\frac{{\rm d} }{{\rm d} z} e^{-z^2})$ a upravte. Shodnost definic pak plyne z věty o jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic (ještě porovnejte koeficient u nejvyšší mocniny $z$, aby bylo zaručeno splnění stejné počáteční podmínky). \begin{cvi} \ll{cvvytvfce} Ukažte, že platí vztah \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\left[x^2-(x-\xi)^2\right] . \] \end{cvi} \navod Ověřte, že $(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} = \frac{\partial^n}{\partial \xi^n}\exp[x^2-(x-\xi)^2] |_{\xi=0}, \; \forall n $. \begin{cvi} Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že \[ \int\limits_\mathds{R} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \] Ukažte, že odtud plyne ortonormalita vlastních funkcí harmonického oscilátoru. \end{cvi} \navod \begin{eqnarray} \nonumber \int\limits_\mathds{R} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx & = & \frac{\partial^n}{\partial \xi^n} \frac{\partial^m}{\partial \rho^m} \int\limits_\mathds{R} e^{x^2-(x-\xi)^2} e^{x^2-(x-\rho)^2} e^{-x^2}dx |_{\xi,\rho=0}\\ \nonumber & = & \frac{\partial^n}{\partial \xi^n} \frac{\partial^m}{\partial \rho^m} \sqrt{\pi} e^{2 \xi \rho} |_{\xi,\rho=0} = 2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \end{eqnarray} \begin{cvi} Mějme lineární harmonický oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Napište explicitní tvar vlastních funkcí hamiltoniánu $\psi_n(x)$ odpovídající energii $\hbar\omega(n+\half)$ pro $n=0,1,2$. Určete příslušné hustoty pravděpodobnosti nalezení oscilátoru bodě $x$. Nakreslete grafy těchto rozdělení a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě. Jak vypadá hustota pravděpodobnosti, pokud je oscilátor ve stavu popsaném superpozicí $\psi(x) = c(\psi_0(x) + 2i \psi_1(x))$. \end{cvi} \vysl \begin{trivlist} \item $n=0: \; \psi_0(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$, \item $n=1: \; \psi_1(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}\sqrt{2} x e^{-\frac{x^2}{2}}$, \item $n=2: \; \psi(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} \frac{1}{\sqrt{2}}(2x^2-1) e^{-\frac{x^2}{2}}$. \end{trivlist} Příslušné rozdělení polohy oscilátoru je dáno kvadrátem absolutní hodnoty vlnové funkce. V grafech je počet maxim roven stupni příslušného Hermiteova polynomu $+1$. Pro zadanou superpozici dostaneme hustotu pravděpodobnosti $$ |\psi(x)|^2 = \frac{2}{3\sqrt{\pi}}(1+x^2)e^{-x^2}. $$