Součásti dokumentu 02KVANCV
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV}
\chapter{Harmonický oscilátor}
\begin{cvi} Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
$$
H_n(z)=(-1)^ne^{z^2}\frac{d^n}{dz^n} e^{-z^2}
$$
\end{cvi}
\navod Stačí ukázat, že pravá strana splňuje rovnici
$$
u''=2 z u' - 2n u .
$$
Po dosazení zadaného tvaru $H_n(z)$ do $u''=2 z u' -2 n u $ využijte vhodně Leibnizova pravidla na $(n+1)$-ní derivaci součinu $2z.e^{-z^2} \, (= -\frac{{\rm d} }{{\rm d} z} e^{-z^2})$ a upravte. Shodnost definic pak plyne z věty o jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic (ještě porovnejte koeficient u nejvyšší mocniny $z$, aby bylo zaručeno splnění stejné počáteční podmínky).
\begin{cvi}
\ll{cvvytvfce}
Ukažte, že platí vztah
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\left[x^2-(x-\xi)^2\right] .
\]
\end{cvi}
\navod Ověřte, že $(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} = \frac{\partial^n}{\partial \xi^n}\exp[x^2-(x-\xi)^2] |_{\xi=0}, \; \forall n $.
\begin{cvi} Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
\[
\int\limits_\mathds{R} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}.
\]
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita vlastních funkcí harmonického oscilátoru.
\end{cvi}
\navod
\begin{eqnarray}
\nonumber \int\limits_\mathds{R} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx & = & \frac{\partial^n}{\partial \xi^n} \frac{\partial^m}{\partial \rho^m} \int\limits_\mathds{R} e^{x^2-(x-\xi)^2} e^{x^2-(x-\rho)^2} e^{-x^2}dx |_{\xi,\rho=0}\\
\nonumber & = & \frac{\partial^n}{\partial \xi^n} \frac{\partial^m}{\partial \rho^m} \sqrt{\pi} e^{2 \xi \rho} |_{\xi,\rho=0} = 2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}.
\end{eqnarray}
\begin{cvi}
Mějme lineární harmonický oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Napište explicitní tvar vlastních funkcí hamiltoniánu $\psi_n(x)$ odpovídající energii $\hbar\omega(n+\half)$ pro $n=0,1,2$.
Určete příslušné hustoty pravděpodobnosti nalezení oscilátoru bodě $x$. Nakreslete grafy těchto rozdělení a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě. Jak vypadá hustota pravděpodobnosti, pokud je oscilátor ve stavu popsaném superpozicí $\psi(x) = c(\psi_0(x) + \frac{i}{\sqrt{2}} \psi_1(x))$.
\end{cvi}
\vysl \begin{trivlist} \item $n=0: \; \psi_0(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$,
\item $n=1: \; \psi_1(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}\sqrt{2} x e^{-\frac{x^2}{2}}$,
\item $n=2: \; \psi(x)= \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} \frac{1}{\sqrt{2}}(2x^2-1) e^{-\frac{x^2}{2}}$.
\end{trivlist}
Příslušné rozdělení polohy oscilátoru je dáno kvadrátem absolutní hodnoty vlnové funkce. V grafech je počet maxim roven stupni příslušného Hermiteova polynomu $+1$. Pro zadanou superpozici dostaneme hustotu pravděpodobnosti
$$
|\psi(x)|^2 = \frac{2}{3\sqrt{\pi}}(1+x^2)e^{-x^2}.
$$
