Součásti dokumentu 02KVANCV
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV}
\chapter{Pravoúhlá potenciálová jáma}
\begin{cvi} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednoroz-měrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě" t.j. v potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$. Nalezněte příslušné vlastní funkce.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
\label{jama}
\end{cvi}
\navod Uvnitř ``jámy'' má vlnová funkce tvar vlnové funkce pro volnou částici.
Z podmínek na okrajích $\psi(-a)=0=\psi(a)$ dostáváme soustavu homogenních rovnic, požadavek nulovosti jejího determinantu dává rovnici pro energii, výsledek je $$E_n = \frac{1}{2M}\left(\frac{n \pi \hbar}{2 a}\right)^2, \; n \in \mathds{N}.$$
Vlastní funkce jsou (včetně normalizace)
$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{2a}(x-a)\right).$$
\begin{cvi} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednoroz-měrné konstantní potenciálové jámě t.j. v potenciálu $V(x)=-V_0<0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $\forall x\in \real$.
\end{cvi}
\navod Nejprve si ukažte, že pro potenciály ve tvaru sudé funkce lze z libovolné vlastní funkce Hamiltoniánu $\psi(x)$ sestavit (ne nezbytně různou) vlastní funkci $\psi(-x)$ a odvoďte, že vlastní funkce lze v tomto případě volit sudé a liché. Využijte podmínek navázání (spojitost a spojitost 1. derivací) vlnových funkcí pro volnou částici v bodě $x=a$ (tím je díky symetrii splněna i podmínka v $x=-a$, jinak bychom měli 4 rovnice pro 4 konstanty)
Výsledkem jsou následující vztahy pro sudý
$$ \eta = \xi \tan\xi$$
a lichý případ
$$ \eta = -\xi \cot\xi,$$
kde jsme označili
$$
\xi = a \frac{\sqrt{2 M (E+V_{0})}}{\hbar},\quad \eta = \frac{\sqrt{-2M E}}{\hbar}
$$
Pro proměnné $\xi$ a $\eta$ navíc platí
$$
\xi^2 + \eta^2 = \frac{2M}{\hbar} V_0 a^2 = \beta^2 = {\rm konst.}
$$
Energie částice v konečné potenciálové jámě jsou tedy určeny průsečíky kružnice $\xi^2 + \eta^2 = \beta^2$ a křivek $\eta = \xi \tan\xi$, $\eta = -\xi \cot\xi$. Počet řešení $n$ je dán poloměrem kružnice, tj. hloubkou a šířkou potenciálové jámy. Platí vztah
$$
\frac{n-1}{2}\pi < \sqrt{2MV_0}\frac{a}{\hbar}\leq \frac{n}{2} \pi.
$$
