Součásti dokumentu 02KVANCV
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV}
\chapter{Posunovací operátory}
\begin{cvi}
\label{shift:L}
Ukažte, že posunovací operátory pro moment hybnosti lze zavést jako
$$
\hat L_\pm = \hat L_1 \pm i\hat L_2 .
$$
Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$.
\end{cvi}
\navod
Z komutačních relací pro složky momentu hybnosti odvozených v příkladu (\ref{cvi:kom:lqp}) určíme komutátory
\begin{eqnarray}
\nonumber [\hat L_3,\hat L_\pm] & = & \pm\hbar L_\pm, \\
\nonumber [\hat L^2,\hat L_\pm] & = & 0.
\end{eqnarray}
Pro $\hat{L}^{2}$ pak nalezneme dva možné zápisy
$$
\hat{L}^{2}= \hat L_{+} \hat L_{-}+\hat{L}^2_{3}-\hbar \hat{L}_{3} = \hat L_{-} \hat L_{+}+\hat{L}^2_{3}+\hbar \hat{L}_{3} .
$$
\begin{cvi}
\label{cvi:alpha}
Posunovací operátory $\hat L_\pm$ působí na vlastní vektory momentu hybnosti $|l,m\rangle$ způsobem
$$
\hat L_\pm |l,m\rangle = \alpha^\pm_{lm}|l,m\pm 1\rangle.
$$
Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$.
\end{cvi}
\navod Snadno lze nalézt s využitím předchozího cvičení $|\alpha^\pm_{lm}|^2$ (obložte předchozí výsledek $\langle l,m|$ a $|l,m\rangle$ a uvědomte si, že kety jsou vlastní vektory $\hat L^2$, $\hat L_{3}$). Výsledek je
$$|\alpha^{+}_{lm}|^2=\hbar^2 [l(l+1)-m(m+1)] , \; |\alpha^{-}_{lm}|^2= \hbar^2 [l(l+1)-m(m-1)].$$ Fáze $\alpha^\pm_{lm}$ neplyne z algebry operátorů, závisí na konkrétní volbě fází kulových funkcí $Y_{l,m}$, pro standardní volbu uvedenou ve slabikáři (Condon-Shortleyova konvence) jsou $\alpha^\pm_{lm}$ reálné kladné.
\begin{cvi}
Kreační a anihilační operátory pro hamiltonián LHO jsou zavedeny způsobem
$$
\hat a_\pm = \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}\left(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P\right).
$$
Ověřte, že splňují komutační relace
$$
[\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar\omega\hat a_\pm .
$$
Dále ukažte, že platí vztahy
$$
[\hat a_-,\hat a_+] = \hat{\mathds{1}},\quad \hat H = \hbar\omega\left(\hat a_+\hat a_-+\frac{1}{2}\right)=\hbar \omega \left( \hat a_-\hat a_+ - \frac{1}{2}\right).
$$
\end{cvi}
\navod Vztahy jsou přímým důsledkem kanonických komutačních relací
$$
[\hat Q,\hat P] = i\hbar.
$$
\begin{cvi} Kreační a anihilační operátory působí na vlastní vektory hamiltoniánu LHO způsobem
$$
\hat a_\pm|n\rangle=\alpha^\pm_n|n\pm 1\rangle .
$$
Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$. Ukažte, že platí následující vztahy
$$
\hat a_+\hat a_-|n\rangle=n |n\rangle,\qquad |n\rangle = \frac{\hat a_+^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle .
$$
\end{cvi}
\navod Obložte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_-\hat a_+ - \frac{1}{2}) $, resp. $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ vlastními vektory hamiltoniánu harmonického oscilátoru (obdobně jako v předchozím cvičení), výsledek:
$$|\alpha^+_n|^2 = n+1, \; |\alpha^-_n|^2 = n.$$
Ohledně fáze platí stejný komentář jako výše. V druhé části využijte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ a právě spočítané koeficienty $\alpha^\pm_n$.
\begin{cvi}
Najděte vlastní funkce $\psi_\alpha(x)$ anihilačního operátoru jednorozměrného harmonického oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ (koherentní stavy).
\end{cvi}
\navod
Z tvaru anihilačního operátoru plyne, že vlastní funkce jsou řešení diferenciální rovnice
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x + \frac{d}{dx}\right)\psi_\alpha(x) = \alpha \psi_\alpha(x).$$
Řešení existuje pro každé $\alpha\in\mathds{C}$ a má tvar
$$\psi_\alpha(x) = C_\alpha e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}}.$$
Normovací konstantu $C_\alpha$ můžeme zapsat ve tvaru
$$
C_\alpha =|C_\alpha|e^{i\varphi_\alpha},\quad \varphi_\alpha\in\mathds{R}.
$$
Velikost $|C_\alpha|$ určíme z normovací podmínky
$$
1=(\psi_\alpha,\psi_\alpha) \Rightarrow |C_\alpha| = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{-\left({\rm Im}\alpha\right)^2}.
$$
Fázi normovací konstanty $\varphi_\alpha$ vhodně zvolíme ve cvičení (\ref{koh:2}).
