02KVANCV:Kapitola11

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.

---

Součásti dokumentu 02KVANCV

součást	akce		popis	poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV		Steffy	29. 8. 2013	14:57
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků		Admin	7. 9. 2015	14:50
Header	editovat	Hlavičkový soubor		Steffy	29. 8. 2013	15:15	header.tex
Kapitola1	editovat	Klasická mechanika a statistická fyzika		Steffy	11. 9. 2017	12:14	kapitola1.tex
Kapitola2	editovat	de Broglieova vlna		Steffy	8. 9. 2015	15:42	kapitola2.tex
Kapitola3	editovat	Volná částice		Steffy	13. 9. 2017	15:07	kapitola3.tex
Kapitola4	editovat	Pravoúhlá potenciálová jáma		Steffy	11. 9. 2017	12:22	kapitola4.tex
Kapitola5	editovat	Harmonický oscilátor		Steffy	8. 9. 2017	10:17	kapitola5.tex
Kapitola6	editovat	Moment hybnosti		Stefamar	11. 9. 2019	09:30	kapitola6.tex
Kapitola7	editovat	Posunovací operátory		Stefamar	11. 9. 2019	09:15	kapitola7.tex
Kapitola8	editovat	Výsledky měření		Stefamar	11. 9. 2019	09:42	kapitola8.tex
Kapitola9	editovat	Časový vývoj		Stefamar	11. 9. 2019	09:51	kapitola9.tex
Kapitola10	editovat	Spin		Stefamar	11. 9. 2019	09:52	kapitola10.tex
Kapitola11	editovat	Poruchová teorie		Steffy	11. 9. 2017	13:51	kapitola11.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVANCV}
 
\chapter{Poruchová teorie}
 
\begin{cvi}
Lineární harmonický oscilátor je v homogenním gravitačním poli. Určete energie oscilátoru do 2. řádu poruchového rozvoje.
\end{cvi}
\navod
Porucha je $\hat{H}' = F\hat{Q}$. Při výpočtu maticových elementů $\langle n|\hat{H}'| m\rangle$ je vhodné rozepsat operátor polohy pomocí posunovacích operátorů. První oprava $n$-té hladiny $E_n^{(1)} = \langle n|\hat{H}' |n\rangle$ je rovna nule. Oprava druhého řádu je pro všechny hladiny stejná
$$
E_n^{(2)} = \sum_{j\neq n} \frac{\left|\langle j|\hat{H}'|n\rangle\right|^2}{E_n - E_j} = - \frac{F^2}{2M\omega^2}.
$$
Energie oscilátoru v homogenním poli jsou do druhého řádu rovny
$$
E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega - \frac{F^2}{2M\omega^2}.
$$
Ve skutečnosti je to přesný výsledek, protože celkový hamiltonián lze upravit na čtverec
$$
\hat{H} = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2\hat{Q}^2 + F\hat{Q} = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2\left(\hat{Q} + \frac{F}{M\omega^2} \right)^2 - \frac{F^2}{2M\omega^2}.
$$
 
 
\begin{cvi}
Najděte v 1. řádu poruchové teorie energii základního stavu atomu helia.
\end{cvi}
\navod \\
Neporušený systém $\ldots$ 2 elektrony v poli jádra.\\
Porucha $\ldots$ elektrostatická interakce mezi elektrony $\hat H'={\tilde e}^2/|{\vec x}^{(1) }- {\vec x}^{(2)}|$. \\
Základní stav neporušeného $\hat H_0$ (zdůvodněte a ověřte normalizaci)
$$\phi({\vec x}^{(1)},{\vec x}^{(2)}, \xi^{(1)}, \xi^{(2)}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \psi^{(1)}_0({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \psi^{(-1)}_0({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) - \left( ({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \leftrightarrow ({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) \right) \right),$$
kde
$$ \psi^{(\alpha)}_0({\vec x},\xi) = \pi^{-1/2} (Z/a)^{3/2} \exp(-Zr/a) \delta_{\xi,\alpha}, \quad \xi=\pm 1. $$
Při výpočtu $E_0^{(1)}=\langle \phi | \hat H' | \phi  \rangle$ využijte (viz Formánek: úvod do kvantové teorie)
$$ \frac{1}{|{\vec x} - {\vec y}|} = \frac{1}{R} \sum_{l=0}^{\infty} \left(\frac{r}{R}\right)^l P^0_l(\cos \theta), \qquad r<R,\ r=|\vec x|,\ R=|\vec y|, \, {\vec x}\cdot{\vec y}=rR\cos \theta  $$
a
$$ P^0_l({\vec n}_1\cdot {\vec n}_2) = \frac{4 \pi}{ 2 l +1} \sum_{m=-l}^{l} Y_{lm}^*({\vec n}_1) Y_{lm}({\vec n}_2), \quad |{\vec n}_j|=1 . $$
Integrály pro $m \neq 0$, resp. $l \neq 0$ vymizí (proč?), zbývá provést triviální integraci přes úhly a per partes v $r_1,r_2$. Výsledek:
$$E_0^{(1)}= \frac{5 {\tilde e}^2}{4 a}, \quad E_0=E_0^{(0)}+E_0^{(1)}+\ldots \simeq -74,8 {\rm eV}.$$