Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Mocninné Řady]{\fbox{Mocninné řady}}
\subsection{Konvergence}
\begin{define}[Mocninná řada]
Buď $\{a_n \}$ posloupnost reálných čísel a $x_0 \in \R$. Řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ se nazývá mocninnou řadou se středem v bodě $x_0$.
Řekneme, že mocninná řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ konverguje na množině $I$, jestliže pro každé $z \in I$ je číselná řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(z-x_0)^n$ konvergentní.
Množině $I$ pak říkáme obor konvergence mocninné řady.
\end{define}
\begin{theorem}
Jestliže $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ konverguje v bodě $x_0+z $, $z\neq 0$, pak konverguje absolutně pro každé \mbox{$x \in (x_0-|z|,x_0+|z|)$}, tj. $|x-x_0| < |z|$. Naopak, jestliže řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ diverguje v bodě $x_0+y$, pak pro každé $x \in (-\infty,x_0-|y|)\cup(x_0+|y|,+\infty)$, tj. $|x-x_0| > |y|$, řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n$ diverguje.
\end{theorem}
\begin{theorem}[O poloměru konvergence]\label{vPol}
Pro každou mocninnou řadu $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ existuje právě jedno $r$, $0 \leq r \leq +\infty$ tak, že řada
\begin{enumerate}
\item Konverguje absolutně pro všechna $x$ taková, že $|x-a| < r$
\item Diverguje pro všechna $x$ taková, že $|x-a| > r$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{define}[Poloměr konvergence]
Symbol $r$ z Věty \ref{vPol} nazýváme poloměrem konvergence mocninné řady se středem v bodě $a$.
\end{define}
\begin{theorem}[Cauchy-Hadamard]
Poloměr konvergence mocninné řady $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ se spočítá vzorcem
$$
r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
$$
resp. $r=0$ pokud $\limsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=+\infty$, resp. $r=+\infty$, pokud $\limsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0$
\end{theorem}
\subsection{Derivování mocninných řad}
\begin{theorem}[Derivace mocninné řady]
Jestliže $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ konverguje na $(a-r,a+r)$, pak
$$
\frac{\ud}{\ud x} \left( \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n(x-a)^n \right) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}na_n(x-a)^{n-1}
$$ také konverguje na $(a-r,a+r)$.
\end{theorem}
\subsection{Integrace mocninných řad}
\begin{theorem}[Integrace mocninných řad]
Nechť $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ konverguje na $(x_0-r,x_0+r)$. Pak $g(x)= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$ konverguje na $(a-r,a+r)$ a platí, že $\int f = g + C$, tj.
$$
\int \sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n~ \ud x =
\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}+C.
$$
\end{theorem}
\subsection{Vlastnosti mocninných řad a sčítání řad}
\begin{theorem}[Abelova]
Nechť $f$ je součtová funkce mocninné řady $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$, která konverguje v bodě $a-r$, resp. $a+r$, kde $r$ je její poloměr konvergence.
Pokud je $f$ spojitá v $a-r$ zprava, resp. $a+r$ zleva, pak mocninná řada v tomto bodě konverguje k $f(a-r)$, resp. $f(a+r)$.
\end{theorem}
\begin{theorem}
V oboru konvergence je mocninná řada Taylorovou řadou své součtové funkce.
\end{theorem}
