Součásti dokumentu Matematika2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Křivka daná parametricky]
Nechť $x(t)$ a $y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$.
Pak množinu bodů
$$\{ [x, y] \in \R^2 : x=x(t), y=y(t), t\in [\alpha, \beta] \},$$
nazvýváme křivkou danou parametricky.
\end{define}
\begin{center}
\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
{
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{J}}
}
Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$.
&
{
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}}
Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$
}
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{p{0.98\textwidth}}
{
\centering
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{L}}
}\\
Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$
\end{tabular}
\end{center}
\subsection{Tečny ke křivce dané parametricky}
\begin{theorem}[Rovnice tečny]
Mějme křivku $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$. Nechť $\dot{x}(t)$ a $\dot{y}(t)$ existují
na $(\alpha, \beta)$ a nechť je alespoň jedna z derivací $\dot{x}(t_0)$ a $\dot{y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě
$[x(t_0), y(t_0)]$ je
$$
\dot{y}(t_0)(x-x(t_0)) = \dot{x}(t_0)(y-y(t_0)).
$$
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Nechť $\dot{x}(t_0) \neq 0$:\\
Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[x(t_0),y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[x(t_0+h),y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$.
Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici
$$
k_s(h) = \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) }.
$$
Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[x(t_0),y(t_0)]$:
$$
k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) =
\lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } =
\lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } \frac{h}{h} =
\frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)}
$$
Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny
$$
q = y_(t_0) - kx(t_0) = y(t_0) - \frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)} x(t_0).
$$
Odtud dostáváme tvrzení věty.
\item Je-li $\dot{x}(t_0) = 0$, pak $x(t) = x(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = x(t_0)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Plocha v křivce dané parametricky}
\begin{theorem}[Plocha v křivce]
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $x(t)$ je prostá, $x'(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem
$$
A = \int\limits_\alpha^\beta y(t)\dot{x}(t)\ud t.
$$
\begin{proof}
Protože $x=x(t)$ je prostá funkce (přeznačme ji pro přehlednost jako $X(t)$), použijeme inverzní transformaci $t = X^{-1}(x)$ a křivku vyjádříme jako funkční předpis
$$
f(x) = y(t) = y(X^{-1}(x)).
$$
Plocha pod grafem funkce $f$ je
$$
A = \int\limits_a^b f(x) \ud x,
$$
kde $\alpha=X^{-1}(a)$ a $\beta=X^{-1}(b)$. Dále zpětně provedeme substituci $x=X(t)$ a dostaneme tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Délka křivky dané parametricky}
\begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky}
Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $(\alpha, \beta)$.
Délka křivky dané parametricky je dán vzorcem
$$
L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) }\ud t.
$$
\begin{proof}
Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]q$.
Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$:
\begin{equation*}
\begin{split}
d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2}
\\
=(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}.
\end{split}
\end{equation*}
Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$:
$$
d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}.
$$
Označíme-li
\begin{align*}
m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\
M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},
\end{align*}
dostaneme odhad pro $d_k$
$$
m_k (t_k-t_{k-1}) \leq d_k \leq (t_k-t_{k-1}) M_k,
$$
tj. po vysčítání přes $k$
$$
s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}(\varsigma)} \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}(\varsigma)}.
$$
Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích]
Délka křivky v polárních souřadnicích
$$
L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\varphi) + \dot{r}^2(\varphi)}\ud\varphi.
$$
\begin{proof}
Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy
\begin{align*}
x(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\
y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi,
\end{align*}
pro které platí
$$
\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = r^2 + \dot{r}^2.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Objem rotující křivky dané parametricky}
\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$]
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
Potom objem křivky dané parametricky rotující okolo osy $x$ je dán vzorcem
$$
V = \pi\int\limits_\alpha^\beta y^2(t)\dot{x}(t) \ud t.
$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$]
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{y}(t)$ spojitá a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
Potom objem křivky dané parametricky rotující okolo osy $y$ je dán vzorcem
$$
V = \pi\int\limits_\alpha^\beta x^2(t)\dot{y}(t) \ud t.
$$
\end{theorem}
\subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky}
\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$]
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $x(t)$, $y(t)$ jsou prosté, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
Potom povrch křivky dané parametricky rotující okolo osy $x$ je dán vzorcem
$$
P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t.
$$
\end{theorem}
\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$]
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
a nechť $x(t)$, $y(t)$ jsou prosté, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
Potom povrch křivky dané parametricky rotující okolo osy $y$ je dán vzorcem
$$
P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta x(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t.
$$
\end{theorem}
