Matematika2:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 103: | Řádka 103: | ||
\begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} | \begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} | ||
Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $(\alpha, \beta)$. | Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $(\alpha, \beta)$. | ||
− | Délka křivky dané parametricky je | + | Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem |
$$ | $$ | ||
L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) }\ud t. | L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) }\ud t. | ||
$$ | $$ | ||
− | + | % \begin{proof} | |
− | Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta] | + | % Větu dokážeme pomocí věty o délce grafu funkce pro případ, kdy je buď $x=x(t)$ nebo $y=y(t)$ prostá funkce na nějakém intervalu, ze které lze vyjádřit $t = g(x)$, resp. $t=g(y)$. |
− | + | % Předpokládejme tedy, že křivku lze rozdělit diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$, $k=0,1,\dots n$ tak, že na intervalech $[t_{k-1},t_k]$ je a) $x=x(t)$ nebo b) $y=y(t)$ prostá funkce. | |
− | + | % | |
− | + | % (a) $x=x(t)$ je prostá funkce, proto existuje její inverzní funkce $t=g(x)$ tak, že $g(x(t))=t$ a $y(t) = y(g(x)) =: f(x)$. Pak délka grafu funkce $f$ je dána | |
− | + | % \begin{equation*} | |
− | + | % L_k = \int\limits_{x(t_{k-1})}^{x(t_k)} \sqrt{ 1 + \left( f^\prime(x) \right)^2 } \ud x, | |
− | + | % \end{equation*} | |
− | + | % kde provedeme př | |
− | + | % \end{proof} | |
− | + | % \begin{proof} | |
− | + | % Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]$. | |
− | + | % Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$: | |
− | + | % \begin{equation*} | |
− | + | % \begin{split} | |
− | + | % d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2} | |
− | + | % \\ | |
− | + | % =(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}. | |
− | + | % \end{split} | |
− | + | % \end{equation*} | |
− | + | % Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$: | |
− | + | % $$ | |
− | + | % d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}. | |
− | + | % $$ | |
− | + | % | |
− | + | % | |
− | + | % \todo{coz nedelat Lagrange, ale dokazat, ze ty podily v zavorce na druhou sou vetsi a mensi nez norma derivaci?} | |
− | + | % | |
− | + | % Označíme-li | |
+ | % \begin{align*} | ||
+ | % m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\ | ||
+ | % M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\}, | ||
+ | % \end{align*} | ||
+ | % dostaneme odhad pro $d_k$ | ||
+ | % $$ | ||
+ | % m_k (t_k-t_{k-1}) \leq d_k \leq (t_k-t_{k-1}) M_k, | ||
+ | % $$ | ||
+ | % tj. po vysčítání přes $k$ | ||
+ | % $$ | ||
+ | % s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma) \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma). | ||
+ | % $$ | ||
+ | % Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty. | ||
+ | % \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Verze z 20. 6. 2019, 11:17
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 16:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 19:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 15:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 14:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 08:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 11:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 10:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}} \subsection{Definice} \begin{define}[Křivka daná parametricky] Nechť $x(t)$ a $y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$. Pak množinu bodů $$\{ [x, y] \in \R^2 : x=x(t), y=y(t), t\in [\alpha, \beta] \},$$ nazvýváme křivkou danou parametricky. \end{define} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}} { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{J}} } Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$. & { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}} Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$ } \end{tabular} \end{center} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.98\textwidth}} { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{L}} }\\ Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$ \end{tabular} \end{center} \subsection{Tečny ke křivce dané parametricky} \begin{theorem}[Rovnice tečny] Mějme křivku $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$. Nechť $\dot{x}(t)$ a $\dot{y}(t)$ existují na $(\alpha, \beta)$ a nechť je alespoň jedna z derivací $\dot{x}(t_0)$ a $\dot{y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě $[x(t_0), y(t_0)]$ je $$ \dot{y}(t_0)(x-x(t_0)) = \dot{x}(t_0)(y-y(t_0)). $$ \begin{proof} \begin{enumerate} \item Nechť $\dot{x}(t_0) \neq 0$:\\ Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[x(t_0),y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[x(t_0+h),y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$. Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici $$ k_s(h) = \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) }. $$ Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[x(t_0),y(t_0)]$: $$ k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) = \lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } = \lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } \frac{h}{h} = \frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)} $$ Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny $$ q = y_(t_0) - kx(t_0) = y(t_0) - \frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)} x(t_0). $$ Odtud dostáváme tvrzení věty. \item Je-li $\dot{x}(t_0) = 0$, pak $x(t) = x(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = x(t_0)$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Plocha v křivce dané parametricky} \begin{theorem}[Plocha v křivce] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$ je prostá, $x'(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem $$ A = \int\limits_\alpha^\beta y(t)\dot{x}(t)\ud t. $$ \begin{proof} Protože $x=x(t)$ je prostá funkce (přeznačme ji pro přehlednost jako $X(t)$), použijeme inverzní transformaci $t = X^{-1}(x)$ a křivku vyjádříme jako funkční předpis $$ f(x) = y(t) = y(X^{-1}(x)). $$ Plocha pod grafem funkce $f$ je $$ A = \int\limits_a^b f(x) \ud x, $$ kde $\alpha=X^{-1}(a)$ a $\beta=X^{-1}(b)$. Dále zpětně provedeme substituci $x=X(t)$ a dostaneme tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Délka křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $(\alpha, \beta)$. Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem $$ L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) }\ud t. $$ % \begin{proof} % Větu dokážeme pomocí věty o délce grafu funkce pro případ, kdy je buď $x=x(t)$ nebo $y=y(t)$ prostá funkce na nějakém intervalu, ze které lze vyjádřit $t = g(x)$, resp. $t=g(y)$. % Předpokládejme tedy, že křivku lze rozdělit diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$, $k=0,1,\dots n$ tak, že na intervalech $[t_{k-1},t_k]$ je a) $x=x(t)$ nebo b) $y=y(t)$ prostá funkce. % % (a) $x=x(t)$ je prostá funkce, proto existuje její inverzní funkce $t=g(x)$ tak, že $g(x(t))=t$ a $y(t) = y(g(x)) =: f(x)$. Pak délka grafu funkce $f$ je dána % \begin{equation*} % L_k = \int\limits_{x(t_{k-1})}^{x(t_k)} \sqrt{ 1 + \left( f^\prime(x) \right)^2 } \ud x, % \end{equation*} % kde provedeme př % \end{proof} % \begin{proof} % Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]$. % Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$: % \begin{equation*} % \begin{split} % d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2} % \\ % =(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}. % \end{split} % \end{equation*} % Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$: % $$ % d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}. % $$ % % % \todo{coz nedelat Lagrange, ale dokazat, ze ty podily v zavorce na druhou sou vetsi a mensi nez norma derivaci?} % % Označíme-li % \begin{align*} % m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\ % M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\}, % \end{align*} % dostaneme odhad pro $d_k$ % $$ % m_k (t_k-t_{k-1}) \leq d_k \leq (t_k-t_{k-1}) M_k, % $$ % tj. po vysčítání přes $k$ % $$ % s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma) \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma). % $$ % Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty. % \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích] Délka křivky v polárních souřadnicích $$ L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\varphi) + \dot{r}^2(\varphi)}\ud\varphi. $$ \begin{proof} Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy \begin{align*} x(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\ y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi, \end{align*} pro které platí $$ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = r^2 + \dot{r}^2. $$ \end{proof} \end{theorem} \subsection{Objem rotující křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom objem křivky dané parametricky rotující okolo osy $x$ je dán vzorcem $$ V = \pi\int\limits_\alpha^\beta y^2(t)\dot{x}(t) \ud t. $$ \end{theorem} \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{y}(t)$ spojitá a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom objem křivky dané parametricky rotující okolo osy $y$ je dán vzorcem $$ V = \pi\int\limits_\alpha^\beta x^2(t)\dot{y}(t) \ud t. $$ \end{theorem} \subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$, $y(t)$ jsou prosté, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom povrch křivky dané parametricky rotující okolo osy $x$ je dán vzorcem $$ P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. $$ \end{theorem} \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$, $y(t)$ jsou prosté, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom povrch křivky dané parametricky rotující okolo osy $y$ je dán vzorcem $$ P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta x(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. $$ \end{theorem}