Matematika2:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 128: | Řádka 128: | ||
dostaneme odhad pro $d_k$ | dostaneme odhad pro $d_k$ | ||
$$ | $$ | ||
− | m_k | + | m_k (t_k-t_{k-1}) \leq d_k \leq (t_k-t_{k-1}) M_k, |
$$ | $$ | ||
tj. po vysčítání přes $k$ | tj. po vysčítání přes $k$ |
Verze z 30. 4. 2013, 11:36
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 17:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 20:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 16:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 15:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 09:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 12:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 11:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}} \subsection{Definice} \begin{define}[Křivka daná parametricky] Nechť $x(t)$ a $y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$. Pak množinu bodů $$\{ [x, y] \in \R^2 : x=x(t), y=y(t), t\in [\alpha, \beta] \},$$ nazvýváme křivkou danou parametricky. \end{define} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}} { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{J}} } Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$. & { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}} Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$ } \end{tabular} \end{center} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.98\textwidth}} { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{L}} } Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$ \end{tabular} \end{center} \subsection{Tečny ke křivce dané parametricky} \begin{theorem}[Rovnice tečny] Mějme křivku $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$. Nechť $\dot{x}(t)$ a $\dot{y}(t)$ existují na $(\alpha, \beta)$ a nechť je alespoň jedna z derivací $\dot{x}t_0$ a $\dot{y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě $[x(t_0), y(t_0)]$ je $$ \dot{y}(t_0)(x-x(t_0)) = \dot{x}(t_0)(y-y(t_0)). $$ \begin{proof} \begin{enumerate} \item Nechť $\dot{x}(t_0) \neq 0$:\\ Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[x(t_0),y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[x(t_0+h),y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$. Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici $$ k_s(h) = \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) }. $$ Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[x(t_0),y(t_0)]$: $$ k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) = \lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } = \lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } \frac{h}{h} = \frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)} $$ Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny $$ q = y_(t_0) - kx(t_0) = y(t_0) - \frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)} x(t_0). $$ Odtud dostáváme tvrzení věty. \item Je-li $\dot{x}(t_0) = 0$, pak $x(t) = x(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = x(t_0)$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Plocha v křivce dané parametricky} \begin{theorem}[Plocha v křivce] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$ je prostá, $x'(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem $$ A = \int\limits_\alpha^\beta y(t)\dot{x}(t)\ud t. $$ \begin{proof} Protože $x=x(t)$ je prostá funkce (přeznačme ji pro přehlednost jako $X(t)$), použijeme inverzní transformaci $t = X^{-1}(x)$ a křivku vyjádříme jako funkční předpis $$ f(x) = y(t) = y(X^{-1}(x)). $$ Plocha pod grafem funkce $f$ je $$ A = \int\limits_a^b f(x) \ud x, $$ kde $a=X^{-1}(\alpha)$ a $b=X^{-1}(\beta)$. Dále zpětně provedeme substituci $x=X(t)$ a dostaneme tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Délka křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $(\alpha, \beta)$. Délka křivky dané parametricky je dán vzorcem $$ L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) }\ud t. $$ \begin{proof} Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]q$. Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$: \begin{equation*} \begin{split} d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2} \\ =(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}. \end{split} \end{equation*} Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$: $$ d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}. $$ Označíme-li \begin{align*} m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\ M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\}, \end{align*} dostaneme odhad pro $d_k$ $$ m_k (t_k-t_{k-1}) \leq d_k \leq (t_k-t_{k-1}) M_k, $$ tj. po vysčítání přes $k$ $$ s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}(\varsigma)} \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}(\varsigma)}. $$ Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích] Délka křivky v polárních souřadnicích $$ L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\varphi) + \dot{r}^2(\varphi)}\ud\varphi. $$ \begin{proof} Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy \begin{align*} x(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\ y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi, \end{align*} pro které platí $$ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = r^2 + \dot{r}^2. $$ \end{proof} \end{theorem} \subsection{Objem rotující křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom objem křivky dané parametricky rotující okolo osy $x$ je dán vzorcem $$ V = \pi\int\limits_\alpha^\beta y^2(t)\dot{x}(t) \ud t. $$ \end{theorem} \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{y}(t)$ spojitá a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom objem křivky dané parametricky rotující okolo osy $y$ je dán vzorcem $$ V = \pi\int\limits_\alpha^\beta x^2(t)\dot{y}(t) \ud t. $$ \end{theorem} \subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$, $y(t)$ jsou prosté, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom povrch křivky dané parametricky rotující okolo osy $x$ je dán vzorcem $$ P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. $$ \end{theorem} \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$, $y(t)$ jsou prosté, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom povrch křivky dané parametricky rotující okolo osy $y$ je dán vzorcem $$ P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta x(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. $$ \end{theorem}