Matematika2:Kapitola10: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 62: | Řádka 62: | ||
\begin{theorem}[Abelova] | \begin{theorem}[Abelova] | ||
− | Nechť $f$ je součtová funkce mocninné | + | Nechť $f$ je součtová funkce mocninné řady $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$, která konverguje v bodě $a-r$, resp. $a+r$, kde $r$ je její poloměr konvergence. |
+ | Pokud je $f$ spojitá v $a-r$ zprava, resp. $a+r$ zleva, pak mocninná řada v tomto bodě konverguje k $f(a-r)$, resp. $f(a+r)$. | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Verze z 4. 5. 2015, 13:47
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 17:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 20:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 16:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 15:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 09:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 12:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 11:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Mocninné Řady]{\fbox{Mocninné Řady}} \subsection{Konvergence} \begin{define}[Mocninná řada] Buď $\{a_n \}$ posloupnost reálných čísel a $x_0 \in \R$. Řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ se nazývá mocninnou řadou se středem v bodě $x_0$. Řekneme, že mocninná řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ konverguje na množině $I$, jestliže pro každé $z \in I$ je číselná řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(z-x_0)^n$ konvergentní. Množině $I$ pak říkáme obor konvergence mocninné řady. \end{define} \begin{theorem} Jestliže $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ konverguje v bodě $z \neq x_0$, pak konverguje absolutně pro každé \mbox{$x \in (x_0-z,x_0+z)$}, tj. $|x-x_0| < |z-x_0|$. Naopak, jestliže řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ diverguje v bodě $z$, pak pro každé $x \in (-\infty,x_0-z)\cup(x_0+z,+\infty)$, tj. $|x-x_0| > |z-x_0|$, řada $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n$ diverguje. \end{theorem} \begin{theorem}[O poloměru konvergence]\label{vPol} Pro každou mocninnou řadu $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ existuje právě jedno $r$, $0 \leq r \leq +\infty$ tak, že řada \begin{enumerate} \item Konverguje absolutně pro všechna $x$ taková, že $|x-a| < r$ \item Diverguje pro všechna $x$ taková, že $|x-a| > r$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{define}[Poloměr konvergence] Symbol $r$ z Věty \ref{vPol} nazýváme poloměrem konvergence mocninné řady se středem v bodě $a$. \end{define} \begin{theorem}[Cauchy-Hadamard] Poloměr konvergence mocninné řady $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ se spočítá vzorcem $$ r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}, $$ resp. $r=0$ pokud $\limsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=+\infty$, resp. $r=+\infty$, pokud $\limsup\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0$ \end{theorem} \subsection{Derivování mocninných řad} \begin{theorem}[Derivace mocninné řady] Jestliže $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$ konverguje na $(a-r,a+r)$, pak $$ \frac{\ud}{\ud x} \left( \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n(x-a)^n \right) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}na_n(x-a)^{n-1} $$ také konverguje na $(a-r,a+r)$. \end{theorem} \subsection{Integrace mocninných řad} \begin{theorem}[Integrace mocninných řad] Nechť $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ konverguje na $(x_0-r,x_0+r)$. Pak $g(x)= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$ konverguje na $(a-r,a+r)$ a platí, že $\int f = g + C$, tj. $$ \int \sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n~ \ud x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}+C. $$ \end{theorem} \subsection{Vlastnosti mocninných řad} \begin{theorem}[Abelova] Nechť $f$ je součtová funkce mocninné řady $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n(x-a)^n$, která konverguje v bodě $a-r$, resp. $a+r$, kde $r$ je její poloměr konvergence. Pokud je $f$ spojitá v $a-r$ zprava, resp. $a+r$ zleva, pak mocninná řada v tomto bodě konverguje k $f(a-r)$, resp. $f(a+r)$. \end{theorem} \begin{theorem} V oboru konvergence je mocninná řada Taylorovou řadou své součtové funkce. \end{theorem}