Matematika2:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{Matematika2} | %\wikiskriptum{Matematika2} | ||
\section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}} | \section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}} | ||
− | \subsection{Definice} | + | \subsection{Definice a příklady křivek a jejich parametrizace} |
\begin{define}[Křivka daná parametricky] | \begin{define}[Křivka daná parametricky] | ||
− | Nechť $ | + | Nechť $X=X(t)$ a $Y=Y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$. |
Pak množinu bodů | Pak množinu bodů | ||
− | $$\{ [ | + | $$\{ [X(t), Y(t)] \in \R^2: t\in [\alpha, \beta] \},$$ |
nazvýváme křivkou danou parametricky. | nazvýváme křivkou danou parametricky. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 19: | Řádka 19: | ||
} | } | ||
Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$. | Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$. | ||
+ | Parametrizace $x(t)=a\cos^{\frac23}t$ a $y(t)=a\sin^{\frac23}t$. | ||
+ | Dosadíme: $a^3 = 3a(\cos{t}\sin{t})^{\frac23}$. | ||
& | & | ||
{ | { | ||
Řádka 24: | Řádka 26: | ||
\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}} | \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}} | ||
Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$ | Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$ | ||
+ | Parametrizace $x(t)=a\cos^3t$ a $y(t)=a\sin^3t$. | ||
} | } | ||
\end{tabular} | \end{tabular} | ||
Řádka 40: | Řádka 43: | ||
\subsection{Tečny ke křivce dané parametricky} | \subsection{Tečny ke křivce dané parametricky} | ||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Pro derivaci funkcí podle parametru (typicky $t$ je ve fyzice čase apod.) se často používá značení derivací tečkou: $\frac{\ud}{\ud t}X(t) = \dot{X}(t)$, $\frac{\ud}{\ud t}Y(t) = \dot{Y}(t)$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
\begin{theorem}[Rovnice tečny] | \begin{theorem}[Rovnice tečny] | ||
− | Mějme křivku $\{ [ | + | Mějme křivku $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ a nechť pro $t_0\in(\alpha,\beta)$ je alespoň jedna z derivací $\dot{X}(t_0)$ a $\dot{Y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě |
− | + | $[X(t_0), Y(t_0)]$ je | |
− | $[ | + | |
$$ | $$ | ||
− | \dot{ | + | \dot{Y}(t_0)(x-X(t_0)) = \dot{X}(t_0)(y-Y(t_0)). |
$$ | $$ | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item Nechť $\dot{ | + | \item Nechť $\dot{X}(t_0) \neq 0$:\\ |
− | Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[ | + | Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[X(t_0),Y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[X(t_0+h),Y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$. |
Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici | Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici | ||
$$ | $$ | ||
− | k_s(h) = \frac{ | + | k_s(h) = \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) }. |
$$ | $$ | ||
− | Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[ | + | Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[X(t_0),Y(t_0)]$: |
$$ | $$ | ||
k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) = | k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) = | ||
− | \lim\limits_{h\to0} \frac{ | + | \lim\limits_{h\to0} \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) } = |
− | \lim\limits_{h\to0} \frac{ | + | \lim\limits_{h\to0} \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) } \frac{h}{h} = |
− | \frac{\dot{ | + | \frac{\dot{Y}(t_0)}{\dot{X}(t_0)} |
$$ | $$ | ||
Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny | Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny | ||
$$ | $$ | ||
− | q = | + | q = Y(t_0) - kX(t_0) = Y(t_0) - \frac{\dot{Y}(t_0)}{\dot{X}(t_0)} X(t_0). |
$$ | $$ | ||
Odtud dostáváme tvrzení věty. | Odtud dostáváme tvrzení věty. | ||
− | \item Je-li $\dot{ | + | |
+ | \item Je-li $\dot{X}(t_0) = 0$, pak $X(t) = X(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{Y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = X(t_0)$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 78: | Řádka 85: | ||
\begin{theorem}[Plocha v křivce] | \begin{theorem}[Plocha v křivce] | ||
− | Nechť $\{ [ | + | Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky |
− | a nechť $ | + | a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$ spojitá a $Y\geq 0$ na $[\alpha,\beta]$. |
Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem | Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem | ||
$$ | $$ | ||
− | A = \int\limits_\alpha^\beta | + | A = \int\limits_\alpha^\beta Y(t)\dot{X}(t)\ud t. |
$$ | $$ | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Protože $ | + | Protože $X(t)$ je prostá funkce, existuje k ní inverzní funkce $X^{-1}$ a vztah $x=X(t)$ lze invertovat na $t = X^{-1}(x)$. |
+ | Křivku v parametrickém popisu můžeme zároveň uvažovat jako křivku danou grafem funkce $f$ s předpisem | ||
$$ | $$ | ||
− | f(x) = | + | f(x) := Y(t) = Y(X^{-1}(x)). |
$$ | $$ | ||
Plocha pod grafem funkce $f$ je | Plocha pod grafem funkce $f$ je | ||
Řádka 93: | Řádka 101: | ||
A = \int\limits_a^b f(x) \ud x, | A = \int\limits_a^b f(x) \ud x, | ||
$$ | $$ | ||
− | kde $\alpha | + | kde meze $a$ a $b$ jsou dány obrazem bodů $\alpha$ a $\beta$: |
+ | $$ | ||
+ | a := X(\alpha), \quad b := X(\beta). | ||
+ | $$ | ||
+ | Dále zpětně provedeme substituci $x=X(t)$ a dostaneme tvrzení věty: | ||
+ | $$ | ||
+ | A = \int\limits_a^b f(x) \ud x | ||
+ | = \int\limits_\alpha^\beta f(X(t)) \dot{X}(t) \ud t | ||
+ | = \int\limits_\alpha^\beta Y(X^{-1}(X(t))) \dot{X}(t) \ud t | ||
+ | = \int\limits_\alpha^\beta Y(t) \dot{X}(t) \ud t. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 102: | Řádka 121: | ||
\begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} | \begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} | ||
− | Nechť $\dot{ | + | Nechť $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ jsou spojité funkce na $[\alpha, \beta]$. |
Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem | Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem | ||
$$ | $$ | ||
− | L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ \dot{ | + | L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }\ud t. |
$$ | $$ | ||
% \begin{proof} | % \begin{proof} | ||
Řádka 154: | Řádka 173: | ||
\begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích] | \begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích] | ||
+ | Nechť $r$ a $\dot{r}$ jsou spojité funkce na $[\alpha,\beta]$. | ||
Délka křivky v polárních souřadnicích | Délka křivky v polárních souřadnicích | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 161: | Řádka 181: | ||
Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy | Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | + | X(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\ | |
− | + | Y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi, | |
\end{align*} | \end{align*} | ||
pro které platí | pro které platí | ||
$$ | $$ | ||
− | \dot{ | + | \dot{X}^2 + \dot{Y}^2 = r^2 + \dot{r}^2. |
$$ | $$ | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 172: | Řádka 192: | ||
− | \subsection{Objem rotující křivky dané parametricky} | + | \subsection{Objem a povrch rotující křivky dané parametricky} |
\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$] | \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$] | ||
− | Nechť $\{ [ | + | Nechť $\{ [X(t), Y(t)]: t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky |
− | a nechť $ | + | a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$~spojitá a $Y\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$. |
− | Potom objem křivky dané parametricky | + | Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy~$x$ je dán vzorcem |
$$ | $$ | ||
− | V = \pi\int\limits_\alpha^\beta | + | V = \pi\int\limits_\alpha^\beta Y^2(t)\dot{X}(t) \ud t. |
$$ | $$ | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$] | \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$] | ||
− | Nechť $\{ [ | + | Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky |
− | a nechť $ | + | a nechť $Y$ je prostá, $\dot{Y}$ spojitá a $X\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$. |
− | Potom objem křivky dané parametricky | + | Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy~$y$ je dán vzorcem |
$$ | $$ | ||
− | V = \pi\int\limits_\alpha^\beta | + | V = \pi\int\limits_\alpha^\beta X^2(t)\dot{Y}(t) \ud t. |
$$ | $$ | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | \subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky} | + | %\subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky} |
\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$] | \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$] | ||
− | Nechť $\{ [ | + | Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky |
− | a nechť $ | + | a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ spojité a $Y\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$. |
− | Potom povrch křivky dané parametricky | + | Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem |
$$ | $$ | ||
− | P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta | + | P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta Y(t)\sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }~ \ud t. |
$$ | $$ | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$] | \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$] | ||
− | Nechť $\{ [ | + | Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky |
− | a nechť $ | + | a nechť $Y$ je prostá, $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ spojité a $X\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$. |
− | Potom povrch křivky dané parametricky | + | Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem |
$$ | $$ | ||
− | P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta | + | P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta X(t)\sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }~ \ud t. |
$$ | $$ | ||
\end{theorem} | \end{theorem} |
Aktuální verze z 25. 4. 2022, 15:28
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 16:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 19:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 15:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 14:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 08:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 11:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 10:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}} \subsection{Definice a příklady křivek a jejich parametrizace} \begin{define}[Křivka daná parametricky] Nechť $X=X(t)$ a $Y=Y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$. Pak množinu bodů $$\{ [X(t), Y(t)] \in \R^2: t\in [\alpha, \beta] \},$$ nazvýváme křivkou danou parametricky. \end{define} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}} { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{J}} } Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$. Parametrizace $x(t)=a\cos^{\frac23}t$ a $y(t)=a\sin^{\frac23}t$. Dosadíme: $a^3 = 3a(\cos{t}\sin{t})^{\frac23}$. & { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}} Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$ Parametrizace $x(t)=a\cos^3t$ a $y(t)=a\sin^3t$. } \end{tabular} \end{center} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.98\textwidth}} { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{L}} }\\ Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$ \end{tabular} \end{center} \subsection{Tečny ke křivce dané parametricky} \begin{remark} Pro derivaci funkcí podle parametru (typicky $t$ je ve fyzice čase apod.) se často používá značení derivací tečkou: $\frac{\ud}{\ud t}X(t) = \dot{X}(t)$, $\frac{\ud}{\ud t}Y(t) = \dot{Y}(t)$. \end{remark} \begin{theorem}[Rovnice tečny] Mějme křivku $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ a nechť pro $t_0\in(\alpha,\beta)$ je alespoň jedna z derivací $\dot{X}(t_0)$ a $\dot{Y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě $[X(t_0), Y(t_0)]$ je $$ \dot{Y}(t_0)(x-X(t_0)) = \dot{X}(t_0)(y-Y(t_0)). $$ \begin{proof} \begin{enumerate} \item Nechť $\dot{X}(t_0) \neq 0$:\\ Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[X(t_0),Y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[X(t_0+h),Y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$. Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici $$ k_s(h) = \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) }. $$ Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[X(t_0),Y(t_0)]$: $$ k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) = \lim\limits_{h\to0} \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) } = \lim\limits_{h\to0} \frac{ Y(t_0+h)-Y(t_0) }{ X(t_0+h)-X(t_0) } \frac{h}{h} = \frac{\dot{Y}(t_0)}{\dot{X}(t_0)} $$ Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny $$ q = Y(t_0) - kX(t_0) = Y(t_0) - \frac{\dot{Y}(t_0)}{\dot{X}(t_0)} X(t_0). $$ Odtud dostáváme tvrzení věty. \item Je-li $\dot{X}(t_0) = 0$, pak $X(t) = X(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{Y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = X(t_0)$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Plocha v křivce dané parametricky} \begin{theorem}[Plocha v křivce] Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$ spojitá a $Y\geq 0$ na $[\alpha,\beta]$. Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem $$ A = \int\limits_\alpha^\beta Y(t)\dot{X}(t)\ud t. $$ \begin{proof} Protože $X(t)$ je prostá funkce, existuje k ní inverzní funkce $X^{-1}$ a vztah $x=X(t)$ lze invertovat na $t = X^{-1}(x)$. Křivku v parametrickém popisu můžeme zároveň uvažovat jako křivku danou grafem funkce $f$ s předpisem $$ f(x) := Y(t) = Y(X^{-1}(x)). $$ Plocha pod grafem funkce $f$ je $$ A = \int\limits_a^b f(x) \ud x, $$ kde meze $a$ a $b$ jsou dány obrazem bodů $\alpha$ a $\beta$: $$ a := X(\alpha), \quad b := X(\beta). $$ Dále zpětně provedeme substituci $x=X(t)$ a dostaneme tvrzení věty: $$ A = \int\limits_a^b f(x) \ud x = \int\limits_\alpha^\beta f(X(t)) \dot{X}(t) \ud t = \int\limits_\alpha^\beta Y(X^{-1}(X(t))) \dot{X}(t) \ud t = \int\limits_\alpha^\beta Y(t) \dot{X}(t) \ud t. $$ \end{proof} \end{theorem} \subsection{Délka křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} Nechť $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ jsou spojité funkce na $[\alpha, \beta]$. Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem $$ L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }\ud t. $$ % \begin{proof} % Větu dokážeme pomocí věty o délce grafu funkce pro případ, kdy je buď $x=x(t)$ nebo $y=y(t)$ prostá funkce na nějakém intervalu, ze které lze vyjádřit $t = g(x)$, resp. $t=g(y)$. % Předpokládejme tedy, že křivku lze rozdělit diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$, $k=0,1,\dots n$ tak, že na intervalech $[t_{k-1},t_k]$ je a) $x=x(t)$ nebo b) $y=y(t)$ prostá funkce. % % (a) $x=x(t)$ je prostá funkce, proto existuje její inverzní funkce $t=g(x)$ tak, že $g(x(t))=t$ a $y(t) = y(g(x)) =: f(x)$. Pak délka grafu funkce $f$ je dána % \begin{equation*} % L_k = \int\limits_{x(t_{k-1})}^{x(t_k)} \sqrt{ 1 + \left( f^\prime(x) \right)^2 } \ud x, % \end{equation*} % kde provedeme př % \end{proof} % \begin{proof} % Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]$. % Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$: % \begin{equation*} % \begin{split} % d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2} % \\ % =(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}. % \end{split} % \end{equation*} % Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$: % $$ % d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}. % $$ % % % \todo{coz nedelat Lagrange, ale dokazat, ze ty podily v zavorce na druhou sou vetsi a mensi nez norma derivaci?} % % Označíme-li % \begin{align*} % m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\ % M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\}, % \end{align*} % dostaneme odhad pro $d_k$ % $$ % m_k (t_k-t_{k-1}) \leq d_k \leq (t_k-t_{k-1}) M_k, % $$ % tj. po vysčítání přes $k$ % $$ % s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma) \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma). % $$ % Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty. % \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích] Nechť $r$ a $\dot{r}$ jsou spojité funkce na $[\alpha,\beta]$. Délka křivky v polárních souřadnicích $$ L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\varphi) + \dot{r}^2(\varphi)}\ud\varphi. $$ \begin{proof} Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy \begin{align*} X(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\ Y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi, \end{align*} pro které platí $$ \dot{X}^2 + \dot{Y}^2 = r^2 + \dot{r}^2. $$ \end{proof} \end{theorem} \subsection{Objem a povrch rotující křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$] Nechť $\{ [X(t), Y(t)]: t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$~spojitá a $Y\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$. Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy~$x$ je dán vzorcem $$ V = \pi\int\limits_\alpha^\beta Y^2(t)\dot{X}(t) \ud t. $$ \end{theorem} \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$] Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $Y$ je prostá, $\dot{Y}$ spojitá a $X\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$. Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy~$y$ je dán vzorcem $$ V = \pi\int\limits_\alpha^\beta X^2(t)\dot{Y}(t) \ud t. $$ \end{theorem} %\subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$] Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $X$ je prostá, $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ spojité a $Y\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$. Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem $$ P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta Y(t)\sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }~ \ud t. $$ \end{theorem} \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$] Nechť $\{ [X(t), Y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $Y$ je prostá, $\dot{X}$ a $\dot{Y}$ spojité a $X\geq 0$ na $[\alpha, \beta]$. Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem $$ P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta X(t)\sqrt{ (\dot{X}(t))^2+(\dot{Y}(t))^2 }~ \ud t. $$ \end{theorem}