Matematika2:Kapitola8: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 20: | Řádka 20: | ||
Tvrzení plyne z vlastností limity $\lim\limits_{n\to+\infty}x^n$ po provedení limitního přechodu v součtu konečné geometrické řady: | Tvrzení plyne z vlastností limity $\lim\limits_{n\to+\infty}x^n$ po provedení limitního přechodu v součtu konečné geometrické řady: | ||
$$ | $$ | ||
− | \lim\limits_{n\to+\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} x^k = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{1-x^{n}}{1-x}. | + | \lim\limits_{n\to+\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} x^k = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}. |
$$ | $$ | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 33: | Řádka 33: | ||
+ | \subsection{Nutná podmínka konvergence řad} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
\begin{theorem}[Nutná podmínka konvergence] | \begin{theorem}[Nutná podmínka konvergence] | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 60: | Řádka 58: | ||
− | \ | + | \subsection{Konvergence řad s nezápornými členy} |
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Řádka 133: | Řádka 131: | ||
− | \ | + | \subsection{Absolutní konvergence} |
\begin{define}[Absolutní konvergence] | \begin{define}[Absolutní konvergence] | ||
Řádka 172: | Řádka 170: | ||
− | \ | + | \subsection{Alternující řady} |
\begin{define}[Alternující řada] | \begin{define}[Alternující řada] | ||
Řádka 178: | Řádka 176: | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | \begin{theorem}[ | + | \begin{theorem}[Leibnizovo kritérium] |
Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel, tj. $0 < b_{n+1} \leq b_n$ pro $\forall n\in\N$. Pak platí: | Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel, tj. $0 < b_{n+1} \leq b_n$ pro $\forall n\in\N$. Pak platí: | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 190: | Řádka 188: | ||
Všechny sudé členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří rostoucí posloupnost, neboť | Všechny sudé členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří rostoucí posloupnost, neboť | ||
$$ | $$ | ||
− | s_{2n} = s_{2n-1} - b_{2n} = s_{2n-2}+ \underbrace{b_{2n-1}-b_{2n}}_{\geq0} \geq s_{2n-2}. | + | s_{2n} = s_{2n-1} - b_{2n} = s_{2n-2} + \underbrace{b_{2n-1}-b_{2n}}_{\geq0} \geq s_{2n-2}. |
$$ | $$ | ||
Všechny liché členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří naopak klesající posloupnost, protože | Všechny liché členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří naopak klesající posloupnost, protože | ||
Řádka 197: | Řádka 195: | ||
$$ | $$ | ||
Posloupnost $\{ s_{2n+1} \}$ je navíc zdola omezená $0$ a proto existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_{2n+1}$, kterou označme $\ell$. | Posloupnost $\{ s_{2n+1} \}$ je navíc zdola omezená $0$ a proto existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_{2n+1}$, kterou označme $\ell$. | ||
− | Stejnou limitu má i | + | Stejnou limitu má i rostoucí posloupnost sudých členů |
$$ | $$ | ||
s_{2n} = s_{2n-1}-b_{2n} \to \ell - 0 = \ell | s_{2n} = s_{2n-1}-b_{2n} \to \ell - 0 = \ell |
Aktuální verze z 24. 5. 2022, 12:01
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 17:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 20:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 16:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 15:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 09:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 12:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 11:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Nekonečné řady]{\fbox{Nekonečné řady}} \subsection{Definice} \begin{define}[Nekonečná řada] Nechť $\{a_n\}$ je číselná posloupnost. Posloupnost $\{ s_n\}$ definovanou jako $n$-tý částečný součet členů posloupnosti $s_n = \sum\limits_{k=1}^na_k$ nazveme nekonečnou číselnou řadou vytvořenou z posloupnosti $\{a_n\}$ a značíme $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$. Existuje-li limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_n=s$, pak ji nazýváme součtem nekonečné řady. Je-li $s\in\R$, resp. $s = \pm\infty$, resp. limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_n$ neexistuje, pak říkáme, že nekonečná řada konverguje, resp. diverguje, resp. osciluje (nebo též diverguje). \end{define} \begin{theorem}[Geometrická řada]\oprava \begin{align} |x| < 1 \quad &\Rightarrow \quad \sum\limits_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \\ |x| \geq 1 \quad &\Rightarrow \quad \sum\limits_{n=0}^{+\infty} x^n \quad \hbox{diverguje}. \end{align} \begin{proof} Tvrzení plyne z vlastností limity $\lim\limits_{n\to+\infty}x^n$ po provedení limitního přechodu v součtu konečné geometrické řady: $$ \lim\limits_{n\to+\infty} \sum\limits_{k=0}^{n} x^k = \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}. $$ \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Jestliže $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n = a$, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n = b$ a buď $\alpha\in\R$, pak $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(\alpha a_n + b_n) = \alpha a+b$ \end{theorem} \subsection{Nutná podmínka konvergence řad} \begin{theorem}[Nutná podmínka konvergence] $$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~konverguje} \quad\Rightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}a_n =0. $$ \begin{proof} Nechť řada konverguje, tj. posloupnost částečných součtů má konečnou limitu $s_n \to \ell$. Z definice částečných součtů lze psát $a_n = s_n - s_{n-1}$ pro $\forall n=2,3,\dots$. Potom $$ \lim\limits_{n\to+\infty} a_n = \lim\limits_{n\to+\infty} s_n - \lim\limits_{n\to+\infty} s_{n-1} = \ell - \ell = 0. $$ \end{proof} \end{theorem} \begin{corollary}\oprava $$ a_n \nrightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n ~~\hbox{diverguje} $$ \end{corollary} \subsection{Konvergence řad s nezápornými členy} \begin{theorem} Řada s nezápornými členy konverguje právě tehdy, když je posloupnost částečných součtů omezená. \begin{proof}~ \begin{enumerate} \item \uv{$\Rightarrow$}: Řada konverguje, tj. posloupnost $\{ s_n \}$ konverguje a proto je omezená (viz Věta~\ref{thm:konvergence_omezenost_posloupnost}). \item \uv{$\Leftarrow$}: Posloupnost $\{ s_n \}$ neklesá, neb předpokládáme nezáporné členy $a_n$. Proto limita $s_n$ je buď konečná nebo nekonečná. Nekonečná být ovšem nemůže, neb je $\{ s_n \}$ dle předpokladu omezená. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Integrální kritérium] Nechť je funkce $f$ kladná, spojitá a klesající funkce na intervalu $[1,+\infty)$. Pak $$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} f(n) \hbox{~~konverguje} \quad \Leftrightarrow \quad \int\limits_1^{+\infty}f(x)\ud x \hbox{~~konverguje} $$ \begin{proof} Z předpokládaných vlastností funkce $f$ platí nerovnost $$ \int\limits_{k-1}^k f(x)\ud x \geq f(k) \geq \int\limits_{k}^{k+1} f(x) \ud x, $$ kterou vysčítáním přes $k=2..n$ a limitním přechodu $n \to +\infty$ upravíme na $$ \int\limits_1^{+\infty} f(x) \ud x \geq \sum\limits_{k=2}^{+\infty} f(k) \geq \int\limits_2^{+\infty} f(x)\ud x. $$ Odtud již pomocí základního srovnávacího kritéria (Věta~\ref{thm:srovnavaci_integraly}) plyne tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Základní srovnávací kritérium] Nechť pro všechna $n\in\N$ platí $0\leq a_n\leq b_n$. Pak \begin{align*} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n \hbox{~~diverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n \hbox{~~diverguje} \\ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n \hbox{~~konverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n \hbox{~~konverguje} \end{align*} \end{theorem} \begin{theorem}[Limitní srovnávací kritérium] Nechť $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ a $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n$ jsou řady s nezápornými členy. Jestliže existuje limita $L=\lim\limits\frac{a_n}{b_n}$, potom platí: \begin{align} &0 < L < +\infty \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje}\quad &\Leftrightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~konverguje} \\ &L < +\infty \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~konverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje} \\ &L > 0 \hbox{~:~} &\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n\hbox{~~diverguje}\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~diverguje} \end{align} \end{theorem} \begin{theorem}[Cauchyho odmocninové kritérium] Buď $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ řada s nezápornými členy. Nechť existuje limita $L=\lim\limits_{n=+\infty} \sqrt[n]{a_n}$. Pak platí: \begin{align} L<1 \quad&\Rightarrow \quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~konverguje} \\ L>1 \quad&\Rightarrow \quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\hbox{~~diverguje} \end{align} \end{theorem} \begin{theorem}[d'Alembertovo podílové kritérium] Buď $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ řada s kladnými členy. Nechť existuje limita $L=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Pak platí: \begin{align} L < 1\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~konverguje} \\ L > 1\quad &\Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n \hbox{~~diverguje} \end{align} \end{theorem} \subsection{Absolutní konvergence} \begin{define}[Absolutní konvergence] Pokud konverguje řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} |a_n|$, říkáme, že řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ konverguje absolutně. \end{define} \begin{remark} Konvergentním řadám, které nekonvergují absolutně říkáme neabsolutně konvergentní. \end{remark} \begin{theorem} Jestliže řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|a_n|$ konverguje, pak konverguje i řada $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$. \begin{proof} Vyjdeme z nerovnosti $$ -|a_n| \leq a_n \leq |a_n|, $$ kterou upravíme na $$ 0 \leq |a_n| + a_n \leq 2|a_n|. $$ Ze srovnávacího kritéria dostávame tvrzení věty, neboť $$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\underbrace{a_n + |a_n|}_{\hbox{K ze srov. krit.}} - \underbrace{|a_n|}_{\hbox{K dle předp.}}. $$ \end{proof} \end{theorem} \begin{corollary} Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní. \end{corollary} \begin{theorem}[Riemann 1867] Absolutně konvergentní řady dávají po přerovnání stejný součet. Neabsolutně konvergentní řady lze přeuspořádat tak, aby jejich součet bylo libovolné reálné číslo. \end{theorem} \subsection{Alternující řady} \begin{define}[Alternující řada] Řadu $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} b_n$, kde $b_n >0$ pro $\forall n\in\N$ nazýváme alternujicí řadou. \end{define} \begin{theorem}[Leibnizovo kritérium] Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel, tj. $0 < b_{n+1} \leq b_n$ pro $\forall n\in\N$. Pak platí: $$ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n \hbox{~~konverguje} \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n\to+\infty}b_n = 0. $$ \begin{proof}~ \begin{enumerate} \item \uv{$\Rightarrow$}: Přímo nutná podmínka konvergence. \item \uv{$\Leftarrow$}: Budeme zkoumat posloupnost částečných součtů a to nejprve sudé a pak liché členy. Všechny sudé členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří rostoucí posloupnost, neboť $$ s_{2n} = s_{2n-1} - b_{2n} = s_{2n-2} + \underbrace{b_{2n-1}-b_{2n}}_{\geq0} \geq s_{2n-2}. $$ Všechny liché členy posloupnosti $\{ s_n \}$ tvoří naopak klesající posloupnost, protože $$ s_{2n+1} = s_{2n} + b_{2n+1} = s_{2n-1}+ \underbrace{b_{2n+1}-b_{2n}}_{\leq0} \leq s_{2n-1}. $$ Posloupnost $\{ s_{2n+1} \}$ je navíc zdola omezená $0$ a proto existuje konečná limita $\lim\limits_{n\to+\infty}s_{2n+1}$, kterou označme $\ell$. Stejnou limitu má i rostoucí posloupnost sudých členů $$ s_{2n} = s_{2n-1}-b_{2n} \to \ell - 0 = \ell $$ a protože obě posloupnosti pokrývají všechny prvky posloupnosti $\{ s_n \}$, platí $s_n \to \ell$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Odhad součtu alternující řady] Nechť $\{ b_n \}$ je klesající posloupnost kladných čísel takovou, že $b_n \to 0$ a buď $s\in\R$ součet alternující řady $s=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n$. Potom platí $$ s_{2n} < s < s_{2n+1} \quad \forall n\in\N $$ a navíc $n$-tý částečný součet $s_n$ aproximuje $s$ s přesností $b_{n+1}$, tj. $|s-s_n| < b_{n+1}$ pro $\forall n\in\N$. \begin{proof} Využijeme výsledků předchozího důkazu \begin{align*} s_{2n+2} &= s_{2n} + b_{2n+1}-b_{2n+2} \geq s_{2n} \quad \hbox{roste k~} s\\ s_{2n+1} &= s_{2n-1} - b_{2n}+b_{2n+1} \leq s_{2n-1} \quad \hbox{klesá k~} s, \end{align*} odkud $$ s_{2n}\leq s \leq s_{2n+1} = s_{2n}+b_{n+1} \ekv |s-s_{2n}| |\leq b_{2n+1} $$ a $$ s_{2n+1} - b_{2n+2} = s_{2n+2} \leq s \leq s_{2n+1} \ekv |s-s_{2n+1}| | \leq b_{2n+2}. $$ \end{proof} \end{theorem}