Matematika2:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 3: | Řádka 3: | ||
\begin{define}[Racionální funkce] | \begin{define}[Racionální funkce] | ||
− | Racionální funkcí nazýváme funkci $f | + | Racionální funkcí nazýváme funkci $f = \frac{p}{q}$, kde $p$ a $q$ jsou polynomy. |
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 12: | Řádka 12: | ||
\begin{theorem}[Rovnost polynomů]\label{thm:rovnost:polynomu} | \begin{theorem}[Rovnost polynomů]\label{thm:rovnost:polynomu} | ||
− | Dva polynomy $p(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k$ a $q(x)=\sum\limits_{k=0}^mb_kx^k$ se na $\R$ rovnají právě tehdy, když $n=m$ a $a_k=b_k$ pro všechna $k=0,1,\dots,n$. | + | Dva polynomy $p(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k$ a $q(x)=\sum\limits_{k=0}^mb_kx^k$ se na $\C$ (tj. i na $\R$) rovnají právě tehdy, když mají stejný stupeň ($n=m$) a $a_k=b_k$ pro všechna $k=0,1,\dots,n$. |
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
\begin{define}[Ireducibilní polynom nad $\R$] | \begin{define}[Ireducibilní polynom nad $\R$] | ||
− | Polynom $p$ nazýváme ireducibilním nad $\R$ pokud nemá žádný reálný kořen. | + | Polynom $p$ nazýváme ireducibilním nad $\R$, pokud nemá žádný reálný kořen. |
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 30: | Řádka 30: | ||
\item Faktorizace polynomu $q$ na ireducibilní polynomy nad $\R$: | \item Faktorizace polynomu $q$ na ireducibilní polynomy nad $\R$: | ||
$$ | $$ | ||
− | q(x) = \prod\limits_{i=1}^{k} (x-a_i)^{n_i} \prod\limits_{i=1}^{\ell} (x^2+b_ix+c_i)^{m_i} | + | q(x) = a_n \prod\limits_{i=1}^{k} (x-a_i)^{n_i} \prod\limits_{i=1}^{\ell} (x^2+b_ix+c_i)^{m_i} |
$$ | $$ | ||
\item Rozložení $\frac{p(x)}{q(x)}$ na parciální zlomky podle následujících pravidel: | \item Rozložení $\frac{p(x)}{q(x)}$ na parciální zlomky podle následujících pravidel: |
Aktuální verze z 6. 2. 2022, 16:06
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 17:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 20:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 16:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 15:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 09:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 12:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 11:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Integrace racionálních funkcí]{\fbox{Integrace racionálních funkcí}} \begin{define}[Racionální funkce] Racionální funkcí nazýváme funkci $f = \frac{p}{q}$, kde $p$ a $q$ jsou polynomy. \end{define} \begin{remark} Chceme spočítat $\int\frac{p(x)}{q(x)}\ud x$ umíme-li spočítat $\int\frac{\ud x}{(x-a)^k}$, $\int\frac{2x+b}{(x^2+bx+c)^k}\ud x$, $\int\frac{\ud x}{(x^2+bx+c)^k}$. \end{remark} \begin{theorem}[Rovnost polynomů]\label{thm:rovnost:polynomu} Dva polynomy $p(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k$ a $q(x)=\sum\limits_{k=0}^mb_kx^k$ se na $\C$ (tj. i na $\R$) rovnají právě tehdy, když mají stejný stupeň ($n=m$) a $a_k=b_k$ pro všechna $k=0,1,\dots,n$. \end{theorem} \begin{define}[Ireducibilní polynom nad $\R$] Polynom $p$ nazýváme ireducibilním nad $\R$, pokud nemá žádný reálný kořen. \end{define} \begin{remark} Polynom $(ax^2+bx+c)^k$ je ireducibilní nad $\R$, právě když $b^2-4ac < 0$. \end{remark} \begin{postup}[Postup integrace racionální funkce pomocí rozkladu na parciální zlomky]\label{postup:1} Postup integrace racionální funkce $\int\frac{p(x)}{q(x)}\ud x$, kde $\st{p} < \st{q}$. \begin{enumerate} \item Faktorizace polynomu $q$ na ireducibilní polynomy nad $\R$: $$ q(x) = a_n \prod\limits_{i=1}^{k} (x-a_i)^{n_i} \prod\limits_{i=1}^{\ell} (x^2+b_ix+c_i)^{m_i} $$ \item Rozložení $\frac{p(x)}{q(x)}$ na parciální zlomky podle následujících pravidel: \begin{enumerate} \item Faktor typu $(x-a)^n$ ve jmenovateli vede na parciální zlomky $$ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots +\frac{A_n}{(x-a)^n}. $$ \item Faktor typu $(x^2+bx+c)^m$ ve jmenovateli vede na parciální zlomky $$ \frac{B_1x+C_1}{x^2+bx+c} + \frac{B_2x+C_2}{(x^2+bx+c)^2}+ \dots +\frac{B_mx+C_m}{(x^2+bx+c)^m}. $$ \end{enumerate} \item Neznámé koeficienty (viz $A_i$, $B_i$ a $C_i$) v čitatelích všech parciálních zlomků je nutné spočítat pomocí zpětného sloučení parciálních zlomků na společný jmenovatel. \item Porovnáním výsledného polynomu v čitateli pomocí věty~\ref{thm:rovnost:polynomu} s původním polynomem $p(x)$ podle koeficientů u jednotlivých mocnin $x^k$ dostaneme soustavu lineárních rovnic. \item Řešením soustavy lineárních rovnic dostaneme rozklad racionální funkce na parciální zlomky. \item Postupná integrace jednotlivých parciálních zlomků. \end{enumerate} \end{postup}