Matematika2:Kapitola9: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika2} \section{Rozvoj funkce do řady} % \subsection{Historický úvod} % % \pzp % Brooks Taylor (1685-1731), motivace. \subsection{Taylorův pol...) |
|||
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{Matematika2} | %\wikiskriptum{Matematika2} | ||
− | \section{ | + | \section[Taylorův polynom a Taylorova řada]{\fbox{Taylorův polynom a Taylorova řada}} |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\subsection{Taylorův polynom} | \subsection{Taylorův polynom} | ||
− | \begin{theorem} | + | \begin{theorem}\label{thm:Taylor} |
− | Nechť funkce $f$ má v bodě $ | + | Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ konečnou derivaci řádu $n$, $n\in\N$. Pak existuje právě jeden polynom $T_n(x)$ stupně nejvýše $n$ takový, že platí $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ pro všechna $k = 0,1,2,\dots,n$. |
− | Tento polynom má tvar | + | Tento polynom má tvar |
− | + | $$ | |
− | + | T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. | |
− | + | $$ | |
− | \end{theorem} | + | \end{theorem} |
− | \begin{define}[Taylorův polynom] | + | \begin{define}[Taylorův polynom] |
− | + | Polynom $T_n$ z věty \ref{thm:Taylor} se nazývá $n$-tý Taylorův polynom funkce $f$ v bodě $a$. | |
− | \end{define} | + | \end{define} |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{define}[Zbytek Taylorova polynomu] | ||
+ | Zbytek Taylorova polynomu je definován pro všechna $x\in D_f$: | ||
+ | $$ | ||
+ | R_n(x)=f(x)-T_n(x). | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{define} | ||
− | \begin{ | + | \begin{theorem}[Taylorova o zbytku] |
− | + | Nechť $f$ má spojitou derivaci řádu $n+1$ na intervalu $[a,x]$ (nebo $[x,a]$) pro nějaké $x \in D_f$ . Potom | |
− | \ | + | $$ |
− | + | R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t, | |
− | \ | + | $$ |
− | \end{ | + | tj. |
+ | $$ | ||
+ | f(x)=T_n(x)+R_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{1}{n!} \int_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Důkaz provedeme přímo. Aplikujeme metodu per partes na integrál (pro $k\geq1$) | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t = \Big| \hbox{per partes} \Big| = \frac{1}{k!}\Big[ (x-t)^kf^{(k)}(t) \Big]_{a}^x + \frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t, | ||
+ | $$ | ||
+ | odkud vyjádříme člen v Taylorově polynomu (pro $k\geq1$) | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = \frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t - \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t, | ||
+ | $$ | ||
+ | který dosadíme přímo do definice zbytku $R_n(x)$ | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | R_n(x) &= f(x) - T_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(a)(x-a)^k = f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(a)(x-a)^k =\\ | ||
+ | &= f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t - \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t \\ | ||
+ | &= f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^xf^{(k+1)}(t)(x-t)^{k} \ud t + \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t \\ | ||
+ | &= f(x)-f(a) - \frac{1}{0!}\int\limits_{a}^xf^{(1)}(t)(x-t)^{0} \ud t + \frac{1}{n!}\int\limits_{a}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\ud t \\ | ||
+ | &= \frac{1}{n!}\int\limits_{a}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\ud t. | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
− | \begin{ | + | \begin{theorem}[Odhad zbytku] |
− | + | $$ | |
− | + | |R_n(x)| \leq \left( \max\limits_{t\in I} |f^{n+1}(t)| \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}. | |
− | + | $$ | |
− | + | \begin{proof} | |
− | + | Pro $x>a$ platí: | |
− | + | $$ | |
− | + | |R_n(x)| = \frac{1}{n!}\left| \int\limits_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n \ud t\right| \leq \frac{1}{n!} \int\limits_{a}^x |f^{(n+1)}(t)||x-t|^n \ud t \leq | |
− | \begin{ | + | \left( \max\limits_{I} f^{(n+1)}(t) \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}. |
− | + | $$ | |
− | + | ||
− | + | Pro $x<a$ se odhad provede analogicky s tím, že je třeba si dát pozor na | |
− | \ | + | $$ |
− | + | \left| \int\limits_{a}^x g(t) \ud t \right| \leq - \int\limits_{a}^{x} |g(t)| \ud t. | |
− | \ | + | $$ |
− | + | \end{proof} | |
− | \ | + | \end{theorem} |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \end{theorem} | + | |
\subsection{Taylorova řada} | \subsection{Taylorova řada} | ||
− | \begin{define}[Taylorova řada] | + | \begin{define}[Taylorova řada] |
− | + | Nechť $f$ je nekonečně diferencovatelná v bodě $a \in D_f$ (tj. má konečné derivace všech řádů v bodě $a$) a nechť pro $x\in I$ platí, že $\lim\limits_{n\to+\infty} R_n(x) = 0$. | |
− | + | Pak lze $\forall x \in I$ zkonstruovat nekonečnou řadu | |
− | f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k, | + | $$ |
− | + | f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k, | |
− | kterou nazýváme Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $a$. | + | $$ |
− | \end{define} | + | kterou nazýváme Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $a$. Množinu $I$ nazýváme oborem konvergence Taylorovy (mocninné) řady. |
− | + | \end{define} | |
− | + | ||
− | + | \begin{remark} | |
− | + | Důležité rozvoje funkcí do Taylorovy (mocninné) řady: | |
− | + | \begin{enumerate} | |
− | \ | + | \item $\e^x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}x^n \quad \forall x\in\R$. |
− | + | \item $\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad \forall x\in\R$. | |
− | \begin{enumerate} | + | \item $\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \forall x\in\R$. |
− | + | \item $\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n} \quad \forall x\in (-1,1]$. | |
− | + | \end{enumerate} | |
− | + | \end{remark} | |
− | + | ||
− | \end{enumerate} | + |
Aktuální verze z 20. 4. 2022, 10:15
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 16:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 19:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 15:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 14:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 08:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 11:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 10:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 15:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Taylorův polynom a Taylorova řada]{\fbox{Taylorův polynom a Taylorova řada}} \subsection{Taylorův polynom} \begin{theorem}\label{thm:Taylor} Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ konečnou derivaci řádu $n$, $n\in\N$. Pak existuje právě jeden polynom $T_n(x)$ stupně nejvýše $n$ takový, že platí $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ pro všechna $k = 0,1,2,\dots,n$. Tento polynom má tvar $$ T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. $$ \end{theorem} \begin{define}[Taylorův polynom] Polynom $T_n$ z věty \ref{thm:Taylor} se nazývá $n$-tý Taylorův polynom funkce $f$ v bodě $a$. \end{define} \begin{define}[Zbytek Taylorova polynomu] Zbytek Taylorova polynomu je definován pro všechna $x\in D_f$: $$ R_n(x)=f(x)-T_n(x). $$ \end{define} \begin{theorem}[Taylorova o zbytku] Nechť $f$ má spojitou derivaci řádu $n+1$ na intervalu $[a,x]$ (nebo $[x,a]$) pro nějaké $x \in D_f$ . Potom $$ R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t, $$ tj. $$ f(x)=T_n(x)+R_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{1}{n!} \int_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t $$ \begin{proof} Důkaz provedeme přímo. Aplikujeme metodu per partes na integrál (pro $k\geq1$) $$ \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t = \Big| \hbox{per partes} \Big| = \frac{1}{k!}\Big[ (x-t)^kf^{(k)}(t) \Big]_{a}^x + \frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t, $$ odkud vyjádříme člen v Taylorově polynomu (pro $k\geq1$) $$ \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = \frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t - \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t, $$ který dosadíme přímo do definice zbytku $R_n(x)$ \begin{align*} R_n(x) &= f(x) - T_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(a)(x-a)^k = f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(a)(x-a)^k =\\ &= f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t - \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t \\ &= f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^xf^{(k+1)}(t)(x-t)^{k} \ud t + \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t \\ &= f(x)-f(a) - \frac{1}{0!}\int\limits_{a}^xf^{(1)}(t)(x-t)^{0} \ud t + \frac{1}{n!}\int\limits_{a}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\ud t \\ &= \frac{1}{n!}\int\limits_{a}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\ud t. \end{align*} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Odhad zbytku] $$ |R_n(x)| \leq \left( \max\limits_{t\in I} |f^{n+1}(t)| \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}. $$ \begin{proof} Pro $x>a$ platí: $$ |R_n(x)| = \frac{1}{n!}\left| \int\limits_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n \ud t\right| \leq \frac{1}{n!} \int\limits_{a}^x |f^{(n+1)}(t)||x-t|^n \ud t \leq \left( \max\limits_{I} f^{(n+1)}(t) \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}. $$ Pro $x<a$ se odhad provede analogicky s tím, že je třeba si dát pozor na $$ \left| \int\limits_{a}^x g(t) \ud t \right| \leq - \int\limits_{a}^{x} |g(t)| \ud t. $$ \end{proof} \end{theorem} \subsection{Taylorova řada} \begin{define}[Taylorova řada] Nechť $f$ je nekonečně diferencovatelná v bodě $a \in D_f$ (tj. má konečné derivace všech řádů v bodě $a$) a nechť pro $x\in I$ platí, že $\lim\limits_{n\to+\infty} R_n(x) = 0$. Pak lze $\forall x \in I$ zkonstruovat nekonečnou řadu $$ f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k, $$ kterou nazýváme Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $a$. Množinu $I$ nazýváme oborem konvergence Taylorovy (mocninné) řady. \end{define} \begin{remark} Důležité rozvoje funkcí do Taylorovy (mocninné) řady: \begin{enumerate} \item $\e^x = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}x^n \quad \forall x\in\R$. \item $\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad \forall x\in\R$. \item $\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \forall x\in\R$. \item $\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n} \quad \forall x\in (-1,1]$. \end{enumerate} \end{remark}