Aktuální verze z 6. 2. 2022, 15:06

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Zobecněný Riemannův integrál]{\fbox{Zobecněný Riemannův integrál}}
\subsection{Definice a výpočet}
	\begin{remark}
	Pro spojitou funkci $f$ na intervalu $[a,b]$ jsme v zimním semestru definovali určitý (vlastní) Riemannův integrál. V této kapitole budeme pro tento integrál používat symbol $\rint\limits_a^b$.
	\end{remark}
 
 
	\begin{define}[Zobecněný a nevlastní Riemannův integrál]
	Buď $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Nechť pro funkci $f$ platí, že 
	$\Big(\forall x \in [a,b)\Big)\Big(\exists \rint\limits_a^x f(t)\ud t\Big)$, resp.
	$\Big(\forall x \in (a,b]\Big)\Big(\exists \rint\limits_x^b f(t)\ud t\Big)$.
	Existuje-li limita 
	$\lim\limits_{x \to b-} \rint\limits_a^x f(t)\ud t$, resp.
	$\lim\limits_{x \to a+} \rint\limits_x^b f(t)\ud t$, 
	nazýváme tuto limitu \textbf{zobecněným} nebo \textbf{nevlastním} (v případě $b=+\infty$, resp. $a=-\infty$) \textbf{Riemannovým integrálem}, který 
	značíme $\int\limits_a^b f(t)\ud t$.
	Dále říkáme, že pokud je tato limita konečná, integrál konverguje. V opačném případě integrál diverguje.
	\end{define}
 
	\begin{define}[Kritický bod]	
	Bod $a \in \R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ nazveme kritickým bodem integrálu $\int\limits_a^b f(x) \ud x$, kde $b \in \R$, jestliže $a=+\infty$ nebo $a=-\infty$ nebo $a \notin D_f$.
	\end{define}
 
 
 
	\begin{define}
	Buď funkce $f$ spojitá na intervalu $[a,b]$ kromě bodu $c\in(a,b)$ a nechť $\lim\limits_{x\to c} |f(x)| = +\infty$. Řekneme, že nevlastní integrál $\int\limits_a^b f$ konverguje,
	právě když konvergují integrály $\int\limits_a^c f $ a $\int\limits_c^b f$.
	\end{define}
 
 
%\subsection{Výpočet zobecněného integrálu}
	\begin{theorem}[Newtonova formule]
	Buď $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Nechť 
	$\exists \rint\limits_a^x f(t)\ud t$ pro $ \forall x \in [a,b)$, resp. 
	$\exists \rint\limits_x^b f(t)\ud t$ pro $ \forall x \in (a,b]$. Nechť k funkci $f$ existuje primitivní funkce $F$ na intervalu $(a,b)$.
	Pokud existuje konečná limita  $\lim\limits_{x\to a+} F(x)$, resp. $\lim\limits_{x\to b-} F(x)$, pak integrál $\int\limits_a^b f(t) \ud t$ konverguje a platí 
	$$
	\int\limits_a^b f(t) \ud t = \lim\limits_{x\to b-}F(x) - \lim\limits_{x\to a+}F(x).
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Metoda per partes]
	Buď $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Nechť pro funkce $fg'$ a $f'g$ platí:
	$$\Big(\forall x \in [a,b)\Big)\Big(\exists \rint\limits_a^x f(t)g'(t) \ud t ~\wedge~ \exists \rint\limits_a^x f'(t)g(t) \ud t \Big),$$
	resp.
	$$\Big(\forall x \in (a,b]\Big)\Big(\exists \rint\limits_x^b f(t)g'(t) \ud t ~\wedge~ \exists \rint\limits_x^b f'(t)g(t) \ud t \Big),$$
	a nechť existují a jsou konečné limity $\lim\limits_{x \to a+} f(x)g(x)$, resp. $\lim\limits_{x \to b-} f(x)g(x)$.
 
	\noindent
	Pokud existuje alespoň jeden z integrálů $\int\limits_a^b f(t)g'(t) \ud t$ a $\int\limits_a^b f'(t)g(t) \ud t$, potom existuje i druhý  a platí:
	$$
	\int\limits_a^b f'(t)g(t) \ud t = \lim\limits_{x \to b-} f(x)g(x) - \lim\limits_{x \to a+} f(x)g(x) -
	\int\limits_a^b f(t)g'(t) \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Metoda substituce]
	Buď $b$ jediným kritickým bodem integrálu $\int\limits_a^b f$ a nechť pro funkce $f$ a $\varphi$ platí:
	\begin{enumerate}
	\item $f$ je spojitá na $(a,b)$,
	\item $\varphi$ je ryze monotonní a má spojitou derivaci na $[\alpha, \beta)$.
	\item $\varphi([\alpha,\beta)) = [a,b)$ tak, že $a=\varphi(\alpha)$ a $b=\lim\limits_{\xi \to \beta-}\varphi(\xi)$.
	\end{enumerate}
	Potom platí: 
	$$
	\int\limits_a^b f(x) \ud x = \int\limits_\alpha^\beta f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
 
 
 
\subsection{Konvergence}
 
	\begin{lemma}[Referenční integrály]\label{lemma:referencni}
	\begin{tabular}{ll}
	$\int\limits_0^1 \frac{1}{x^p} \ud x $ & konverguje pro $p<1$ a diverguje pro $p \geq 1$. \\
	$\int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \ud x $ & konverguje pro $p>1$ a diverguje pro $p \leq 1$.
	\end{tabular}
	\begin{proof}
	\begin{itemize} 
	 \item[a)] 0 je pro $p>0$ kritický bod. 
		$$
			\int\limits_0^1 \frac{1}{x^p} = \lim\limits_{x\to0+}\int\limits_x^1 \frac{\ud t}{t^p} =
			\left\{
			\begin{array}{l}
			\lim\limits_{x\to0+} \Big[ \frac{1}{1-p} t^{1-p} \Big]_x^1 = \frac{1}{1-p} - \lim\limits_{x\to0+} \frac{1}{1-p} x^{1-p} = 
				\left\{
				\begin{array}{ll}
				\frac{1}{1-p} & p<1 \\
				&\\
				+\infty & p>1 
				\end{array}
				\right.
			\\
			~\\
			\lim\limits_{x\to0+} \Big[ \ln{t} \Big]_x^1 = +\infty \quad\quad p=1 
			\end{array}
			\right.
		$$
	 \item[b)] $+\infty$ je kritický bod. 
		$$
			\int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} = \lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_1^{x} \frac{\ud t}{t^p} =
			\left\{
			\begin{array}{l}
			\lim\limits_{x\to+\infty} \Big[ \frac{1}{1-p} t^{1-p} \Big]_1^{x} = -\frac{1}{1-p} + \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{1-p} x^{1-p} = 
				\left\{
				\begin{array}{ll}
				+\infty & p<1 \\
				&\\
				-\frac{1}{1-p} & p>1 
				\end{array}
				\right.
			\\
			~\\
			\lim\limits_{x\to+\infty} \Big[ \ln{t} \Big]_1^x = +\infty \quad\quad p=1 
			\end{array}
			\right.
		$$	\end{itemize}
	\end{proof}
	\end{lemma}
 
 
	\begin{theorem}[Základní srovnávací kritérium konvergence (ZSK)]\label{thm:srovnavaci_integraly}
	Buď $b$ jediným kritickým bodem integrálů $\int\limits_a^b f$ a $\int\limits_a^b g$. Nechť  $\exists \rint\limits_a^x f$ a $\exists \rint\limits_a^x g$ pro $\forall x \in [a,b)$ a 
	$0 \leq f(x) \leq g(x)$ pro $\forall x \in (a,b)$.
	Potom 
	\begin{enumerate}
		\item $\int\limits_a^b g$ konverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b f$ konverguje,
		\item $\int\limits_a^b f$ diverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b g$ diverguje. 
	\end{enumerate}
 
	\begin{proof}
	Označme integrály jakožto funkce horní meze $F(x) = \rint\limits_a^xf(t)\ud t$ a $G(x) = \rint\limits_a^xg(t)\ud t$, kde snadno nahlédneme, že 
	$0 \leq F(x) < G(x)$ pro $\forall x\in(a,b)$.
	\begin{enumerate}
	 \item Ukážeme, že $\lim\limits_{x\to b-} F(x)$ existuje a je konečná. 
		Funkce $F$ je spojitá a nerostoucí funkce, protože je definovaná jako funkce horní meze integrálu z nezáporné funkce $f$. 
		Odtud plyne, že limita $\lim\limits_{x\to b-} F(x)$ existuje a to buď konečná nebo nekonečná. Nekonečná být nemůže, neb dle předpokladu $\lim\limits_{x\to b-} G(x)$ konverguje. 
	\item $\int\limits_a^b f$ diverguje, proto $\lim\limits_{x\to b-}F(x)=+\infty$. Z nerovnosti $F(x)<G(x)$ a limitního přechodu $\lim\limits_{x\to b-}$ plyne $\lim\limits_{x\to b-}G(x)=+\infty$.
	\end{enumerate}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Limitní srovnávací kritérium konvergence (LSK)]
	Buď $b$ jediným kritickým bodem integrálů $\int\limits_a^b f$ a $\int\limits_a^b g$. Nechť $\exists \rint\limits_a^x f$ a $\exists \rint\limits_a^x g$ pro $\forall x \in [a,b)$ a
	$f(x)\geq 0$ a $g(x) \geq 0$ pro $\forall x\in(a,b)$. Nechť existuje limita
	$\lim\limits_{x\to b-} \frac{f(x)}{g(x)} = c \in \R\cup\{+\infty\}$.
 
	\noindent
	Potom platí:
	\begin{enumerate}
	\item Pokud $0<c<+\infty$, pak \quad $\int\limits_a^b f$ konverguje $\Leftrightarrow$ $\int\limits_a^b g$ konverguje.
	\item Pokud $c>0$, pak \quad	 $\int\limits_a^b g$ diverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b f$ diverguje.
	\item Pokud $c<+\infty$, pak \quad $\int\limits_a^b g$ konverguje $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b f$ konverguje.
	\end{enumerate}
	\end{theorem}