02KVANCV:Kapitola9

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 11. 9. 2019, 08:51, kterou vytvořil Stefamar (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVANCV

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANCVSteffy 29. 8. 201313:57
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:50
Header editovatHlavičkový souborSteffy 29. 8. 201314:15 header.tex
Kapitola1 editovatKlasická mechanika a statistická fyzikaSteffy 11. 9. 201711:14 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatde Broglieova vlnaSteffy 8. 9. 201514:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatVolná částiceSteffy 13. 9. 201714:07 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPravoúhlá potenciálová jámaSteffy 11. 9. 201711:22 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatHarmonický oscilátorSteffy 8. 9. 201709:17 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMoment hybnostiStefamar 11. 9. 201908:30 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosunovací operátoryStefamar 11. 9. 201908:15 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatVýsledky měřeníStefamar 11. 9. 201908:42 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatČasový vývojStefamar 11. 9. 201908:51 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatSpinStefamar 11. 9. 201908:52 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatPoruchová teorieSteffy 11. 9. 201712:51 kapitola11.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVANCV}
 
\chapter{Časový vývoj}
 
\begin{cvi}
Lineární harmonický oscilátor s hmotností $M = \hbar/\omega$ je v čase $t=0$ ve stavu popsaném vlnovou funkcí
$$
\psi(x,0) = C (1+\sqrt{2}x) e^{-\frac{x^2}{2}}.
$$
Určete, jaké hodnoty energie můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností. V jakém stavu je oscilátor v čase $t>0$? Jak se mění střední hodnota polohy oscilátoru s časem?
\end{cvi}
\navod
Stav je superpozicí vlastních vektorů hamiltoniánu
$$
\psi(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_0 + \psi_1).
$$
Můžeme tedy naměřit energie $E_0 = \frac{\hbar\omega}{2}$ a $E_1 = \frac{3}{2}\hbar\omega$ s pravděpodobnostmi $P_0 = P_1 = \frac{1}{2}$. Časový vývoj vlastních vektorů známe, stav oscilátoru v čase $t$ je potom
$$
\psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(e^{-i\frac{\omega}{2}t}\psi_0 + e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\psi_1).
$$
Pro určení závislosti střední hodnoty polohy na čase je vhodné přepsat operátor polohy pomocí kreačního a anihilačního operátoru. Výsledek je
$$
\langle\hat{Q}\rangle(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\omega t).
$$
 
 
\begin{cvi} Nechť částice s hmotností $M$ v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálo-vé jámě šířky $2a$ je v čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í,
\[ \psi(x,0)=0,\ {\rm pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left(\frac{\pi}{2a}(x-a)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{a}(x-a)\right),\ {\rm pro} \ |x|<a.\]
Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v čase $t\geq 0$ bude nacházet v intervalu $(-a,0)$? V jakém čase je tato pravděpodobnost minimální, resp. maximální?
\end{cvi}
\navod $\psi(x,0)$ je superpozice stacionárních stavů, viz. příklad \ref{jama}
$$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1(x) + \psi_2(x)).$$
Snadno naleznete časový vývoj $\psi(x,t)$, pak stačí prointegrovat $|\psi(x,t)|^2$ přes $(-a,0)$ a normovat. Výsledek je
\begin{eqnarray}
\nonumber P_{(-a,0)}(t) & = & \frac{1}{2}-\frac{4}{3\pi}\cos\left(\frac{3}{8M}\frac{\pi^2\hbar t}{a^2}\right),\\
\nonumber t_{min} & = & 0 ,\ P_{min} = \frac{3 - 8\pi}{6 \pi},\qquad t_{max}=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar} ,\ P_{max}=\frac{3 + 8\pi}{6 \pi}.
\end{eqnarray}
 
\begin{cvi}
Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$. V jakém stavu je v libovolném čase $t>0$? Jak vypadá příslušná vlnová funkce v $x$-reprezentaci. Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti nalezení oscilátoru v bodě $x$? Jak se mění střední hodnota a střední kvadratická odchylka polohy oscilátoru s časem?
\end{cvi}
\navod
Z výsledku příkladu (\ref{koh:2}) plyne
$$|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.$$
Odtud snadno dostaneme výsledek
$$|\alpha(t)\rangle =  e^{-\frac{i}{2}\omega t} |\alpha e^{-i\omega t}\rangle.$$
Stav tedy zůstává koherentní, s časem se pouze mění fáze jeho amplitudy $\alpha(t) = \alpha e^{-i \omega t}$. Vlnová funkce v $x$-reprezentaci má tedy tvar 
$$
\psi_\alpha(x,t) = \psi_{\alpha(t)}(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} e^{\frac{\alpha^2(e^{-2i\omega t}-1)}{2}} e^{-\frac{(x-\sqrt{2}\alpha e^{-i\omega t})^2}{2}}.
$$
Pro hustotu pravděpodobnosti v bodě $x$ pak dostaneme (po zahození všech členů nezávislých na $x$)
$$
|\psi_\alpha(x,t)|^2 \approx e^{-(x-\sqrt{2}\alpha\cos{\omega t})^2}.
$$
Je to Gaussovo normální rozdělení, jeho šířka se s časem nemění $(\left(\Delta x\right) = \sigma = \frac{1}{\sqrt{2}})$. Střední hodnota polohy oscilátoru v čase $t$ je rovna 
$$
\langle \hat Q\rangle_\alpha(t) = x_0(t) = \sqrt{2}\alpha\cos{(\omega t)}.
$$
 
\begin{cvi}
Určete časový vývoj střední hodnoty a střední kvadratické odchylky hybnosti lineárního oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Oscilátor je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$.
\end{cvi}
\navod
Z předchozího příkladu víme že $|\alpha(t)\rangle = |\alpha e^{-i\omega t}\rangle$ (globální fáze je irelevantní). Operátor $\hat P$ stačí rozepsat pomocí posunovacích operátorů, pak už snadno nalezneme výsledek
$$
\langle\widehat{P}\rangle_\alpha (t) = -\sqrt{2}\hbar\alpha\sin{(\omega t)}.
$$
Střední hodnoty polohy a hybnosti tedy sledují klasickou trajektorii, jak lze ostatně očekávat z Ehrenfestových teorémů. Podobným způsobem pro střední kvadratickou odchylku hybnosti dostaneme
$$
\left(\Delta p\right) = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}.
$$
Koherentní stavy lineární harmonického oscilátoru tedy minimalizují Heisenbergovy relace neurčitosti. Na rozdíl od volné částice to platí v libovolném čase.
 
\begin{cvi}
Jak se s časem mění střední hodnota polohy \cc e (v libovolném stavu $\psi$) v elektromagnetickém poli?
\end{cvi}
\navod
$$\frac{d}{dt}\langle\hat Q_j\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat H, \hat Q_j]\rangle = \ldots = \frac{1}{M}\langle \hat P_j - e \hat A_j\rangle \equiv \langle \hat V_j\rangle.$$
Výsledek odpovídá dle principu korespondence (nikoliv překvapivě) výsledku v klasické mechanice.