Zdrojový kód
% \wikiskriptum{NME01}
\subsection{Kvadraturní vzorce}
\begin{itemize}
\item kvadraturní vzorce převádí výpočet integrálu na konečnou sumu \(\sum_{i=0}^{n} c_i f(x_{i}) \approx \mathcal{I}\)
\item \uwave{Levostromné pravidlo:}
\begin{itemize}
\item krok \( \underline{h = x_2 - x_1}, f_1 = f(x_1) \implies \underline{\int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x = h \cdot f_1 + \mathcal{O}(h^{?})} \)
\item řád z Taylora:
\[
\begin{aligned}
\int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x & \annotateabove{ = }{\( t = x - x_1 \)\hspace{2em}} \int_{0}^{h} f(x_1 + t) \d t = \int_{0}^{h}[f(x_1) + t\cdot f'(x_1) + \frac{t^2}{2}\cdot f''(x_1) + \mathcal{O}(t^3)]\d t \\
& = [f(x_1)\cdot t + \frac{t^2}{2}\cdot f'(x_1) + \frac{t^3}{6}\cdot f''(x_1)]_{0}^{h} = \underline{f(x_1)\cdot h} + \text{\stackengine{\stackgap}{\(\underbrace{\frac{h^2}{2}\cdot f'(x_1)}\)}{\scriptsize\underline{metoda 2. řádu} \(\rightarrow\) celková \underline{chyba 1. řádu}}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}}
\end{aligned}
\]
\end{itemize}
\item \uwave{Midpoint:} (obdélníková)
\begin{itemize}
\item vyčíslíme funkci v bodě \(x_3 = \frac{x_2 + x_1}{2} \implies \underline{\int_{x_1}^{x_2}f(x)\d x = h \cdot f(x_3)} + \hookannotateunder{\mathcal{O}(h^3)}{\underline{metoda 3. řádu} \(\rightarrow\) \underline{celková chyba 2. řádu}}\)
\item "otevřený vzorec"
\end{itemize}
\item \uwave{Lichoběžníkové pravidlo:}
\begin{itemize}
\item krok \(\underline{h = x_2 - x_1} \rightarrow \int_{x_1}^{x_2} f(x) \d x = \frac{h}{2}(f(x_1) + f(x_2)) + \mathcal{ O }(h^{?})\)
\item řád z Taylor:
\[
\begin{aligned}
\int_{x_1}^{x_2} f(x) \d x & = \int_{0}^{h} f(x_1 + t) \d t = \int_{0}^{h} [f(x_1) + t\cdot f'(x_1) + \frac{t^2}{2}\cdot f''(x_1) + \frac{t^3}{6}\cdot f'''(x_1)]\d t = \\
& = h\cdot f(x_1) + \frac{h^2}{2}\cdot f'(x_1) + \uwave{\frac{h^3}{6}\cdot f''(x_1)} + \frac{h^{4}}{24}\cdot f'''(x_1) = \\
& = \frac{h}{2}\cdot f(x_1) + \frac{h}{2}\cdot \overbrace{\left( f(x_1) + h\cdot f'(x_1) + \underline{\frac{h^2}{2}\cdot f''(x_1)}\right)}^{f(x_1 + h) \equiv f(x_2)} + \hspace{-5em}\overbrace{h^3(\uwave{\frac{1}{3!}} - \underline{\frac{1}{4}})\cdot f''(x_1)}^{\hspace{7em}-\frac{1}{12}h^3\cdot f''(x_1)\quad\leftarrow\text{\underline{ metoda 3. řádu}}}
\end{aligned}
\]
\end{itemize}
\uwave{Simpsonovo pravidlo:}
\begin{itemize}
\item aproximace funkce \(f(x)\) v bodech \(x_1,x_2,x_3\) polynomem 2. stupně
\item odvození:
\begin{enumerate}[label=\roman*)]
\item na intervalu \(\left< x_1, x_3 \right>\) aproximujeme Lagrangeovým polynomem:
\[
f(x) \approx L(x) = f_1 \frac{(x-x_3)(x-x_2)}{(x_1-x_3)(x_1-x_2)} + f_2 \frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} + f_3 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}
\]
\item pro zjednodušení máme ekvidistantní body
\[
\implies
h \coloneqq x_2 - x_1 = x_3- x_2 \quad\land\quad \underline{t \coloneqq \frac{x-x_1}{h}} \quad\rightarrow \quad
\begin{aligned}
& x - x_1 = h \cdot t \\
& x - x_2 = h \cdot (t-1) \\
& x - x_3 = h \cdot (t-2)
\end{aligned}
\]
\item
\[
\begin{aligned}
L(t) & = f_1\cdot \frac{h^2\cdot (t-1) (t-2)}{2h^2} + f_2\cdot \frac{h^2\cdot t (t-2)}{-h^2} + f_3\cdot \frac{h^2\cdot t (t-1)}{2h^2} \\
L(t) & = \frac{f_1}{2}\cdot (t^2 + 3t + 2) - f_2\cdot (t^2 - 2 t)+ \frac{f_3}{2}\cdot (t^2 - t)
\end{aligned}
\]
\item \[
\begin{aligned}
\int_{x_1}^{x_3} L(x) \d x & = {\scriptstyle\left\{
\begin{aligned}
x-x_1 & = th \\
\d x & = h \d t
\end{aligned}
\right\}} = h \int_{0}^{2} L(t) \d t = \\
& = h \left[ \frac{f_1}{2}\cdot \left(\frac{t^3}{3} + \frac{3}{2}t^2 + 2t\right) - f_2\cdot \left(\frac{t^3}{3} - t^2\right) + \frac{f_3}{2}\cdot \left(\frac{t^3}{3}- \frac{t^2}{2}\right) \right]_{0}^{2} = \boxed{h\cdot \left(\frac{f_1}{3} + \frac{4}{3}\cdot f_2 + \frac{f_3}{3}\right)}
\end{aligned}
\]
\end{enumerate}
\end{itemize}
\item \uwave{Rombergova metoda:}
\begin{itemize}
\item umožňuje zpřesnění kvadraturních vzorců díky iterativní eliminaci chyby
\item podstatně snižuje počet bodů, ve kterých musíme funkci vyčíslovat
\item \underline{odvození:}
\begin{enumerate}[label=\roman*)]
\item použijeme lichoběžníkové pravidlo a délku kroku \(\underline{h_n = \frac{b-a}{2^{n-1}}}\)
\item budeme chtít eliminovat celkovou chybu lichoběžníkového pravidla, která je úměrná 2. mocnině \(h\) \[ \rightarrow \annotateabove{\mathcal{I}}{přesná hodnota} = \annotateunder{\mathcal{I}_{h}}{přibližná hodnota s krokem délky \(h\)} + Ah^2 + Bh^{4} + \ldots\]
\item vyjádříme stejnou integraci s dvojnásobným \hookannotateunder{\text{krokem}}{\(2h\)}
\[
\mathcal{ I } = \annotateunder{\mathcal{I}_{2h}}{hrubší výsledek} + A(\annotateabove{2h}{"hrubší"\ rozdělení})^2 + B(2h)^{4} \ldots
\]
\(\rightarrow\) \underline{vyloučíme chybu u \(h^2\)}
\[
\begin{aligned}
\mathcal{I} & = \mathcal{I}_{h} + Ah^2 + Bh^{4} & /\cdot \alpha \\
\mathcal{I} & = \mathcal{I}_{h} + 4Ah^2 + 16Bh^{4} & /\cdot \beta
\end{aligned} \quad \oplus \implies (\alpha + \beta)\cdot \mathcal{ I } = \alpha\cdot \mathcal{ I }_{h} + \beta\cdot \mathcal{ I }_{2h} + (\alpha + 4\beta)\cdot Ah^2 + (\alpha + 16 \beta) \cdot B h^{4}
\]
\item chceme splnit podmínky:
\[
\alpha + \beta = 1 \quad\land\quad \alpha + 4\beta = 0 \quad\rightarrow\quad
\begin{pmatrix}[cc|c]
1 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 0
\end{pmatrix} \sim
\begin{pmatrix}[cc|c]
1 & 1 & \phantom{-}1 \\
0 & 3 & -1
\end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad
\begin{aligned}
\alpha & = \frac{4}{3} \\
\beta & = - \frac{1}{3}
\end{aligned}
\]
\item výsledek: \(\boxed{\mathcal{I} = \frac{4}{3} \annotateunder{ \mathcal{I}_{h} }{jemnější} - \frac{1}{3}\annotateunder{\mathcal{I}_{2h}}{hrubší} + \mathcal{O}(h^{4})}\) (\ldots složené lichoběžníkové pravidlo)
\end{enumerate}
\item[\underline{pozn.:}] pokud bychom chtěli dále eliminovat chybu, lze opět vzít krok \(2^{k}\cdot h\) a dále zpřesňovat\\ \(\rightarrow\) \underline{v praxi se používá iterační vzorec}
\item[\underline{pozn.:}] chybu lze určit rozdílem mezi iteracemi \(| \mathcal{I}^{(k)} - \mathcal{I}^{(k-1)}| \eqqcolon \varepsilon\)
\end{itemize}
% TODO: figure here <18-07-20, kunzaatko> %
\end{itemize}
