02KVANCV:Kapitola9: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 59: | Řádka 59: | ||
\begin{cvi} | \begin{cvi} | ||
− | Určete časový vývoj střední hodnoty hybnosti lineárního oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Oscilátor je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$. | + | Určete časový vývoj střední hodnoty a střední kvadratické odchylky hybnosti lineárního oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Oscilátor je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$. |
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
\navod | \navod | ||
Řádka 66: | Řádka 66: | ||
\langle\widehat{P}\rangle_\alpha (t) = -\sqrt{2}\hbar\alpha\sin{(\omega t)}. | \langle\widehat{P}\rangle_\alpha (t) = -\sqrt{2}\hbar\alpha\sin{(\omega t)}. | ||
$$ | $$ | ||
− | Střední hodnoty polohy a hybnosti tedy sledují klasickou trajektorii, jak lze ostatně očekávat z Ehrenfestových teorémů. | + | Střední hodnoty polohy a hybnosti tedy sledují klasickou trajektorii, jak lze ostatně očekávat z Ehrenfestových teorémů. Podobným způsobem pro střední kvadratickou odchylku hybnosti dostaneme |
+ | $$ | ||
+ | \left(\Delta p\right) = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Koherentní stavy lineární harmonického oscilátoru tedy minimalizují Heisenbergovy relace neurčitosti. Na rozdíl od volné částice to platí v libovolném čase. | ||
\begin{cvi} | \begin{cvi} |
Verze z 14. 9. 2017, 16:11
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Časový vývoj} \begin{cvi} Lineární harmonický oscilátor s hmotností $M = \hbar/\omega$ je v čase $t=0$ ve stavu popsaném vlnovou funkcí $$ \psi(x,0) = C (1+\sqrt{2}x) e^{-\frac{x^2}{2}}. $$ Určete, jaké hodnoty energie můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností. V jakém stavu je oscilátor v čase $t>0$? Jak se mění střední hodnota polohy oscilátoru s časem? \end{cvi} \navod Stav je superpozicí vlastních vektorů hamiltoniánu $$ \psi(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_0 + \psi_1). $$ Můžeme tedy naměřit energie $E_0 = \frac{\hbar\omega}{2}$ a $E_1 = \frac{3}{2}\hbar\omega$ s pravděpodobnostmi $P_0 = P_1 = \frac{1}{2}$. Časový vývoj vlastních vektorů známe, stav oscilátoru v čase $t$ je potom $$ \psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(e^{-i\frac{\omega}{2}t}\psi_0 + e^{-i\frac{3\omega}{2}t}\psi_1). $$ Pro určení závislosti střední hodnoty polohy na čase je vhodné přepsat operátor polohy pomocí kreačního a anihilačního operátoru. Výsledek je $$ \langle\hat{Q}\rangle(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\omega t). $$ \begin{cvi} Nechť částice s hmotností $M$ v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálo-vé jámě šířky $2a$ je v čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í, \[ \psi(x,0)=0,\ {\rm pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left(\frac{\pi}{2a}(x-a)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{a}(x-a)\right),\ {\rm pro} \ |x|<a.\] Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v čase $t\geq 0$ bude nacházet v intervalu $(-a,0)$? V jakém čase je tato pravděpodobnost minimální, resp. maximální. \end{cvi} \navod $\psi(x,0)$ je superpozice stacionárních stavů, viz. příklad \ref{jama} $$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1(x) + \psi_2(x)).$$ Snadno naleznete časový vývoj $\psi(x,t)$, pak stačí prointegrovat $|\psi(x,t)|^2$ přes $(-a,0)$ a normovat. Výsledek je \begin{eqnarray} \nonumber P_{(-a,0)}(t) & = & \frac{1}{2}-\frac{4}{3\pi}\cos\left(\frac{3}{8M}\frac{\pi^2\hbar t}{a^2}\right),\\ \nonumber t_{min} & = & 0 ,\ P_{min} = \frac{3 - 8\pi}{6 \pi},\qquad t_{max}=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar} ,\ P_{max}=\frac{3 + 8\pi}{6 \pi}. \end{eqnarray} \begin{cvi} Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$. V jakém stavu je v libovolném čase $t>0$? Jak vypadá příslušná vlnová funkce v $x$-reprezentaci. Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti nalezení oscilátoru v bodě $x$? Jak se mění střední hodnota a střední kvadratická odchylka polohy oscilátoru s časem? \end{cvi} \navod Z výsledku příkladu (\ref{koh:2}) plyne $$|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.$$ Odtud snadno dostaneme výsledek $$|\alpha(t)\rangle = e^{-\frac{i}{2}\omega t} |\alpha e^{-i\omega t}\rangle.$$ Stav tedy zůstává koherentní, s časem se pouze mění fáze jeho amplitudy $\alpha(t) = \alpha e^{-i \omega t}$. Vlnová funkce v $x$-reprezentaci má tedy tvar $$ \psi_\alpha(x,t) = \psi_{\alpha(t)}(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} e^{\frac{\alpha^2(e^{-2i\omega t}-1)}{2}} e^{-\frac{(x-\sqrt{2}\alpha e^{-i\omega t})^2}{2}}. $$ Pro hustotu pravděpodobnosti v bodě $x$ pak dostaneme (po zahození všech členů nezávislých na $x$) $$ |\psi_\alpha(x,t)|^2 \approx e^{-(x-\sqrt{2}\alpha\cos{\omega t})^2}. $$ Je to Gaussovo normální rozdělení, jeho šířka se s časem nemění $(\left(\Delta x\right) = \sigma = \frac{1}{\sqrt{2}})$. Střední hodnota polohy oscilátoru v čase $t$ je rovna $$ \langle \hat Q\rangle_\alpha(t) = x_0(t) = \sqrt{2}\alpha\cos{(\omega t)}. $$ \begin{cvi} Určete časový vývoj střední hodnoty a střední kvadratické odchylky hybnosti lineárního oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Oscilátor je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$. \end{cvi} \navod Z předchozího příkladu víme že $|\alpha(t)\rangle = |\alpha e^{-i\omega t}\rangle$ (globální fáze je irelevantní). Operátor $\hat P$ stačí rozepsat pomocí posunovacích operátorů, pak už snadno nalezneme výsledek $$ \langle\widehat{P}\rangle_\alpha (t) = -\sqrt{2}\hbar\alpha\sin{(\omega t)}. $$ Střední hodnoty polohy a hybnosti tedy sledují klasickou trajektorii, jak lze ostatně očekávat z Ehrenfestových teorémů. Podobným způsobem pro střední kvadratickou odchylku hybnosti dostaneme $$ \left(\Delta p\right) = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}. $$ Koherentní stavy lineární harmonického oscilátoru tedy minimalizují Heisenbergovy relace neurčitosti. Na rozdíl od volné částice to platí v libovolném čase. \begin{cvi} Jak se s časem mění střední hodnota polohy \cc e (v libovolném stavu $\psi$) v elektromagnetickém poli? \end{cvi} \navod $$\frac{d}{dt}\langle\hat Q_j\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat H, \hat Q_j]\rangle = \ldots = \frac{1}{M}\langle \hat P_j - e \hat A_j\rangle \equiv \langle \hat V_j\rangle.$$ Výsledek odpovídá dle principu korespondence (nikoliv překvapivě) výsledku v klasické mechanice.