02KVANCV:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 5: | Řádka 5: | ||
\begin{cvi} | \begin{cvi} | ||
\label{shift:L} | \label{shift:L} | ||
− | Ukažte, že posunovací operátory pro moment hybnosti lze zavést jako $\hat L_\pm = \hat L_1 \pm i\hat L_2 | + | Ukažte, že posunovací operátory pro moment hybnosti lze zavést jako |
+ | $$ | ||
+ | \hat L_\pm = \hat L_1 \pm i\hat L_2 . | ||
+ | $$ | ||
+ | Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. | ||
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
\navod | \navod | ||
Z komutačních relací pro složky momentu hybnosti odvozených v příkladu (\ref{cvi:kom:lqp}) určíme komutátory | Z komutačních relací pro složky momentu hybnosti odvozených v příkladu (\ref{cvi:kom:lqp}) určíme komutátory | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
− | \nonumber [\hat L_3,\hat L\pm] & = & \pm\hbar L_\pm, | + | \nonumber [\hat L_3,\hat L\pm] & = & \pm\hbar L_\pm, \\ |
\nonumber [\hat L^2,\hat L\pm] & = & 0. | \nonumber [\hat L^2,\hat L\pm] & = & 0. | ||
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} |
Verze z 10. 9. 2019, 17:04
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Posunovací operátory} \begin{cvi} \label{shift:L} Ukažte, že posunovací operátory pro moment hybnosti lze zavést jako $$ \hat L_\pm = \hat L_1 \pm i\hat L_2 . $$ Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \end{cvi} \navod Z komutačních relací pro složky momentu hybnosti odvozených v příkladu (\ref{cvi:kom:lqp}) určíme komutátory \begin{eqnarray} \nonumber [\hat L_3,\hat L\pm] & = & \pm\hbar L_\pm, \\ \nonumber [\hat L^2,\hat L\pm] & = & 0. \end{eqnarray} Pro $\hat{L}^{2}$ pak nalezneme dva možné zápisy $$ \hat{L}^{2}= \hat L_{+} \hat L_{-}+\hat{L}^2_{3}-\hbar \hat{L}_{3} = \hat L_{-} \hat L_{+}+\hat{L}^2_{3}+\hbar \hat{L}_{3} . $$ \begin{cvi} \label{cvi:alpha} Posunovací operátory $\hat L_\pm$ působí na vlastní vektory momentu hybnosti $|l,m\rangle$ způsobem $$ \hat L_\pm |l,m\rangle = \alpha^\pm_{lm}|l,m\pm 1\rangle. $$ Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \end{cvi} \navod Snadno lze nalézt s využitím předchozího cvičení $|\alpha^\pm_{lm}|^2$ (obložte předchozí výsledek $\langle l,m|$ a $|l,m\rangle$ a uvědomte si, že kety jsou vlastní vektory $\hat L^2$, $\hat L_{3}$). Výsledek je $$|\alpha^{+}_{lm}|^2=\hbar^2 [l(l+1)-m(m+1)] , \; |\alpha^{-}_{lm}|^2= \hbar^2 [l(l+1)-m(m-1)].$$ Fáze $\alpha^\pm_{lm}$ neplyne z algebry operátorů, závisí na konkrétní volbě fází kulových funkcí $Y_{l,m}$, pro standardní volbu uvedenou ve slabikáři (Condon-Shortleyova konvence) jsou $\alpha^\pm_{lm}$ reálné kladné. \begin{cvi} Kreační a anihilační operátory jsou pro lineární harmonický oscilátor zavedeny způsobem $$ \hat a_\pm = \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P). $$ Ukažte, že platí vztahy $$ [\hat a_-,\hat a_+] = \hat{\mathds{1}},\quad \hat H = \hbar\omega\left(\hat a_+\hat a_-+\frac{1}{2}\right)=\hbar \omega \left( \hat a_-\hat a_+ - \frac{1}{2}\right),\quad [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar\omega\hat a_\pm. $$ \end{cvi} \navod Vztahy jsou důsledkem kanonických komutačních relací $$ [\hat Q,\hat P] = i\hbar. $$ \begin{cvi} Kreační a anihilační operátory působí na vlastní vektory hamiltoniánu LHO způsobem $$ \hat a_\pm|n\rangle=\alpha^\pm_n|n\pm 1\rangle . $$ Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$. Ukažte, že platí následující vztahy $$ \hat a_+\hat a_-|n\rangle=n |n\rangle,\qquad |n\rangle = \frac{\hat a_+^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle . $$ \end{cvi} \navod Obložte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_-\hat a_+ - \frac{1}{2}) $, resp. $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ vlastními vektory hamiltoniánu harmonického oscilátoru (obdobně jako v předchozím cvičení), výsledek: $$|\alpha^+_n|^2 = n+1, \; |\alpha^-_n|^2 = n.$$ Ohledně fáze platí stejný komentář jako výše. V druhé části využijte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ a právě spočítané koeficienty $\alpha^\pm_n$. \begin{cvi} Najděte vlastní funkce $\psi_\alpha(x)$ anihilačního operátoru jednorozměrného harmonického oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ (koherentní stavy). \end{cvi} \navod Z tvaru anihilačního operátoru plyne, že vlastní funkce jsou řešení diferenciální rovnice $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x + \frac{d}{dx}\right)\psi_\alpha(x) = \alpha \psi_\alpha(x).$$ Řešení existuje pro každé $\alpha\in\mathds{C}$ a má tvar $$\psi_\alpha(x) = C_\alpha e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}}.$$ Normovací konstantu $C_\alpha$ můžeme zapsat ve tvaru $$ C_\alpha =|C_\alpha|e^{i\varphi_\alpha},\quad \varphi_\alpha\in\mathds{R}. $$ Velikost $|C_\alpha|$ určíme z normovací podmínky $$ 1=(\psi_\alpha,\psi_\alpha) \Rightarrow |C_\alpha| = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{-\left({\rm Im}\alpha\right)^2}. $$ Fázi normovací konstanty $\varphi_\alpha$ vhodně zvolíme ve cvičení (\ref{koh:2}).