02KVANCV:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Není zobrazeno 5 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 4: | Řádka 4: | ||
\begin{cvi} | \begin{cvi} | ||
+ | \label{cvi:kom:lqp} | ||
Spočítejte komutátory | Spočítejte komutátory | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 13: | Řádka 14: | ||
$$ | $$ | ||
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
− | \ | + | \navod |
− | $[\hat L_j,\hat Q_k]= i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat Q_l | + | Vztahy jsou důsledkem kanonických komutačních relací |
+ | $$ | ||
+ | [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, | ||
+ | $$ | ||
+ | a chování komutátoru vůči součinu operátorů | ||
+ | $$ | ||
+ | [\hat A \hat B,\hat C] = \hat A [\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C] \hat B . | ||
+ | $$ | ||
+ | Výsledkem je | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \nonumber [\hat L_j,\hat Q_k] & = & i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat Q_l, \\ | ||
+ | \nonumber [\hat L_j,\hat P_k] & = & i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat P_l, \\ | ||
+ | \nonumber [\hat L_j,\hat L_k] & = & i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat L_l . | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | V klasické mechanice platí analogické vztahy pro Poissonovy závorky (až na faktor $ i \hbar$). Z komutačních relací plyne, že operátory $ \hat{\vec{Q}}, \hat{\vec{P}}, \hat{\vec{L}}$ jsou tzv. vektorové operátory (kvantová analogie vektorů $\vec{x},\vec{p},\vec{l}$, tj. objektů se správnými transformačními vlastnostmi vzhledem ke grupě rotací prostoru $SO(3)$). | ||
+ | |||
+ | \begin{cvi} Ukažte, že vzájemně komutují operátory | ||
+ | $\hat H \equiv \frac{\hat P^2}{2M} + V(r),\ \hat L_j$ a $\hat L^2$. | ||
+ | \end{cvi} | ||
+ | \navod Pro důkaz kompatibility operátorů $\hat L_j,\ \hat L^2$ a $\hat P^2$ využijte výsledků cvičení (\ref{cvi:kom:lqp}). Kompatibilita $\hat L_j$ a $V(r)$ plyne z tvaru operátorů složek momentu hybnosti ve sférických souřadnicích (viz. cvičení (\ref{komut})), které na $r$ nezávisí. Odtud už plyne kompatibilita $V(r)$ a $\hat L^2 = \hat L_1^2 + \hat L_2^2 + \hat L_3^2$. Z praktických důvodů se pro částici ve sféricky symetrickém poli za kompatibilní pozorovatelnou s $\hat H$ a $\hat L^2$ volí složka $\hat L_3$, která má ve sférických souřadnicích nejjednodušší tvar. | ||
\begin{cvi} | \begin{cvi} | ||
Řádka 21: | Řádka 41: | ||
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
\navod | \navod | ||
− | Operátory $\hat Q_j$ vzniknou dosazením definice sférických souřadnic | + | Operátory $\hat Q_j$ vzniknou dosazením definice sférických souřadnic |
− | Pro výpočet operátorů $\hat P_j$ je vhodné využít pravidla pro derivaci složené funkce $\frac{\partial \psi}{\partial x_j}=\frac{\partial \psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{\partial \varphi}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x_j}$ a dosadit za $\frac{\partial r}{\partial x_j}$ atd. z definice sférických souřadnic. Výsledek je | + | \begin{eqnarray} |
− | + | \nonumber \hat Q_1 & = & r\sin \theta \cos\varphi, \\ | |
− | + | \nonumber \hat Q_2 & = & r\sin \theta \sin\varphi, \\ | |
− | + | \nonumber \hat Q_3 & = & r\cos \theta . | |
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | Pro výpočet operátorů $\hat P_j$ je vhodné využít pravidla pro derivaci složené funkce | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{\partial \psi}{\partial x_j}=\frac{\partial \psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{\partial \varphi}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x_j}, | ||
+ | $$ | ||
+ | a dosadit za $\frac{\partial r}{\partial x_j}$ atd. z definice sférických souřadnic. Výsledek je | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \nonumber \hat P_1 & = & -i \hbar\left(\cos \varphi \sin \theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin \varphi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}+\frac{\cos \theta \cos \varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right), \\ | ||
+ | \nonumber \hat P_2 & = & -i \hbar\left(\sin \varphi \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \varphi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}+\frac{\cos \theta \sin \varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right), \\ | ||
+ | \nonumber \hat P_3 & = & - i \hbar \left(\cos \theta \frac{\partial}{\partial r}- \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\right). | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | Při výpočtu $\hat L_j$ nezapomínejte na správný postup při skládání operátorů (např. $x \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} x - {\bf id} \neq \frac{\partial}{\partial x} x$), pro názornost si lze na konci všech operátorových identit představit vlnovou funkci, a pak postupovat jako při derivování složené funkce. Výsledkem je | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \nonumber \hat L_1 &=& i\hbar \left( \cos\varphi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}+\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \\ | ||
+ | \nonumber \hat L_2 &=& i\hbar \left( \sin\varphi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}-\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \\ | ||
+ | \nonumber \hat L_3 &=& -i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi}. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
\begin{cvi} | \begin{cvi} | ||
Řádka 36: | Řádka 73: | ||
$$ | $$ | ||
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
− | \navod Naučte se skládat (násobit) operátory | + | \navod Naučte se skládat (násobit) operátory. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\begin{cvi} "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momentem setrvačnosti $I$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie a určete příslušné vlastní funkce. | \begin{cvi} "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momentem setrvačnosti $I$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie a určete příslušné vlastní funkce. |
Aktuální verze z 11. 9. 2019, 09:30
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Moment hybnosti} \begin{cvi} \label{cvi:kom:lqp} Spočítejte komutátory $$ [\hat L_j,\hat Q_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\ $$ kde $$ \hat L_j=\varepsilon_{jkl}\hat Q_k\hat P_l. $$ \end{cvi} \navod Vztahy jsou důsledkem kanonických komutačních relací $$ [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, $$ a chování komutátoru vůči součinu operátorů $$ [\hat A \hat B,\hat C] = \hat A [\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C] \hat B . $$ Výsledkem je \begin{eqnarray} \nonumber [\hat L_j,\hat Q_k] & = & i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat Q_l, \\ \nonumber [\hat L_j,\hat P_k] & = & i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat P_l, \\ \nonumber [\hat L_j,\hat L_k] & = & i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat L_l . \end{eqnarray} V klasické mechanice platí analogické vztahy pro Poissonovy závorky (až na faktor $ i \hbar$). Z komutačních relací plyne, že operátory $ \hat{\vec{Q}}, \hat{\vec{P}}, \hat{\vec{L}}$ jsou tzv. vektorové operátory (kvantová analogie vektorů $\vec{x},\vec{p},\vec{l}$, tj. objektů se správnými transformačními vlastnostmi vzhledem ke grupě rotací prostoru $SO(3)$). \begin{cvi} Ukažte, že vzájemně komutují operátory $\hat H \equiv \frac{\hat P^2}{2M} + V(r),\ \hat L_j$ a $\hat L^2$. \end{cvi} \navod Pro důkaz kompatibility operátorů $\hat L_j,\ \hat L^2$ a $\hat P^2$ využijte výsledků cvičení (\ref{cvi:kom:lqp}). Kompatibilita $\hat L_j$ a $V(r)$ plyne z tvaru operátorů složek momentu hybnosti ve sférických souřadnicích (viz. cvičení (\ref{komut})), které na $r$ nezávisí. Odtud už plyne kompatibilita $V(r)$ a $\hat L^2 = \hat L_1^2 + \hat L_2^2 + \hat L_3^2$. Z praktických důvodů se pro částici ve sféricky symetrickém poli za kompatibilní pozorovatelnou s $\hat H$ a $\hat L^2$ volí složka $\hat L_3$, která má ve sférických souřadnicích nejjednodušší tvar. \begin{cvi} \label{komut} Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ \hat L_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \end{cvi} \navod Operátory $\hat Q_j$ vzniknou dosazením definice sférických souřadnic \begin{eqnarray} \nonumber \hat Q_1 & = & r\sin \theta \cos\varphi, \\ \nonumber \hat Q_2 & = & r\sin \theta \sin\varphi, \\ \nonumber \hat Q_3 & = & r\cos \theta . \end{eqnarray} Pro výpočet operátorů $\hat P_j$ je vhodné využít pravidla pro derivaci složené funkce $$ \frac{\partial \psi}{\partial x_j}=\frac{\partial \psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{\partial \varphi}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x_j}, $$ a dosadit za $\frac{\partial r}{\partial x_j}$ atd. z definice sférických souřadnic. Výsledek je \begin{eqnarray} \nonumber \hat P_1 & = & -i \hbar\left(\cos \varphi \sin \theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin \varphi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}+\frac{\cos \theta \cos \varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right), \\ \nonumber \hat P_2 & = & -i \hbar\left(\sin \varphi \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \varphi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}+\frac{\cos \theta \sin \varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right), \\ \nonumber \hat P_3 & = & - i \hbar \left(\cos \theta \frac{\partial}{\partial r}- \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\right). \end{eqnarray} Při výpočtu $\hat L_j$ nezapomínejte na správný postup při skládání operátorů (např. $x \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} x - {\bf id} \neq \frac{\partial}{\partial x} x$), pro názornost si lze na konci všech operátorových identit představit vlnovou funkci, a pak postupovat jako při derivování složené funkce. Výsledkem je \begin{eqnarray} \nonumber \hat L_1 &=& i\hbar \left( \cos\varphi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}+\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \\ \nonumber \hat L_2 &=& i\hbar \left( \sin\varphi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}-\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \\ \nonumber \hat L_3 &=& -i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi}. \end{eqnarray} \begin{cvi} S použitím vzorců pro jednotlivé složky momentu hybnosti ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar $$ \hat L^2 = -\hbar^2\left[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\right] . $$ \end{cvi} \navod Naučte se skládat (násobit) operátory. \begin{cvi} "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momentem setrvačnosti $I$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie a určete příslušné vlastní funkce. \end{cvi} \navod $\hat H=-\frac{\hbar^2}{2 I} \frac{d^2}{d \varphi^2}$ (viz princip korespondence a klasickou kinetickou energii $\frac{1}{2} I \dot{\varphi}^2$). Řešením stacionární Schr\"odingerovy rovnice nalezneme řešení ve tvaru $\psi(\varphi)=A e^{i \alpha \varphi} + B e^{-i \alpha \varphi}, \; \alpha=\ldots$ a z požadavku jednoznačnosti $\psi(\varphi)=\psi(\varphi+2 \pi)$ najdeme možné hodnoty energie $E_m= \frac{m^2 \hbar^2}{2 I}, \; m \in \mathds{Z}$. Odpovídající vlastní funkce jsou $\psi_m(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i m\varphi}$. \begin{cvi} Najděte explicitní tvar kulových funkcí pro stavy $s,p,d$ a určete příslušné pravděpodobnosti nalezení částice v daném prostorovém úhlu. \end{cvi} \vysl Kulové funkce jsou určeny vztahem $$ Y_{l,m}(\theta,\varphi) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta)e^{im\varphi}, $$ kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendreovy polynomy $$ P_l^m(t) = \frac{(1-t^2)^{\frac{m}{2}}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}(t^2-1)^l . $$ Pak už snadno nalezneme \begin{description} \item[$l=0: \;$] $Y_{0,0}(\theta,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}$ \item[$l=1: \;$] $\ Y_{1,1}(\theta,\varphi) = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta e^{i\varphi},\ Y_{1,0}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,\ Y_{1,-1}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta e^{-i\varphi}$ \item[$l=2: \;$] $Y_{2,2}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{15}{32\pi}}\sin^2\theta e^{2i\varphi},\ Y_{2,1}(\theta,\varphi) = -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\cos\theta\sin\theta e^{i\varphi},$\\ $Y_{2,0}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{5}{16\pi}}(3\cos^2\theta-1),\ Y_{2,-1}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\cos\theta\sin\theta e^{-i\varphi},$ \\ $Y_{2,-2}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{15}{32\pi}}\sin^2\theta e^{-2i\varphi} . $ \end{description} Pravděpodobnost nalezení pod daným prostorovým úhlem je rovna $|Y_{l,m}(\theta,\varphi)|^2 \sin\theta$. Výsledné rozdělení nezávisí na úhlu $\varphi$ a je stejné pro kvantové číslo $m$ a $-m$. Nakreslete si grafy (nejlépe trojrozměrné na počítači). \begin{cvi} Napište všechny vlnové \fc e harmonického oscilátoru pro stavy s energiemi $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$ a $\frac{7}{2}\hbar\omega$, které jsou současně vlastní funkce $\hat L^2, \hat L_3 $. Oscilátor má vlastní frekvenci $\omega = \hbar/M$. \end{cvi} \navod Společné vlastní funkce $\hat H, \hat L^2, \hat L_3 $ mají tvar $$ \psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{nl} r^l e^{-\frac{r^2}{2}}L_{n}^{l+\frac{1}{2}}(r^2)Y_{l,m}(\theta,\varphi), $$ kde $L_n^\beta(z)$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy $$ L_n^\beta(z) = \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{d^n}{d z^n}\left(e^{-z} z^{n+\beta}\right). $$ Normalizační konstanta je rovna $$ K_{nl} = \frac{2}{\sqrt[4]{\pi}}\sqrt{\frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!}}. $$ Výsledky jsou následující: \begin{description} \item[$E=\frac{3}{2}\hbar\omega: \;$] $n=l=m=0$ $$\psi_{0,0,0}(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{\pi^\frac{3}{4}}e^{-\frac{r^2}{2}} $$ \item[$E=\frac{5}{2}\hbar\omega: \;$] $n=0$, $l=1$, $m=-1,0,1$ $$\psi_{0,1,-1} = \frac{1}{\pi^\frac{3}{4}} r e^{-\frac{r^2}{2}} \sin\theta e^{-i\varphi},\quad \psi_{0,1,0} = \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{3}{4}}r e^{-\frac{r^2}{2}} \cos\theta, \quad \psi_{0,1,1} = - \frac{1}{\pi^\frac{3}{4}}r e^{-\frac{r^2}{2}} \sin\theta e^{i\varphi} $$ \item[$E=\frac{7}{2}\hbar\omega: \;$] $n=1$, $l=m=0$ $$\psi_{1,0,0} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\pi^\frac{3}{4}}\left(\frac{3}{2}-r^2\right) e^{-\frac{r^2}{2}} $$ $n=0$, $l=2$, $m=-2,-1,0,1,2$ $$ \psi_{0,2,-2} = \frac{1}{\sqrt{2}\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} \sin^2\theta e^{-2i\varphi},\quad \psi_{0,2,-1} = \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} \cos\theta \sin\theta e^{-i\varphi}$$ $$\psi_{0,2,0} = \frac{1}{\sqrt{3}\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} (\cos^2\theta-1),\quad \psi_{0,2,1} = -\frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} \cos\theta \sin\theta e^{i\varphi} $$ $$ \psi_{0,2,2} = \frac{1}{\sqrt{2}\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} \sin^2\theta e^{2i\varphi} $$ \end{description}