02KVANCV:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Pravoúhlá potenciálová jáma} \begin{cvi} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednoroz-měrné...) |
|||
Řádka 8: | Řádka 8: | ||
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
\navod Uvnitř ``jámy'' má vlnová funkce tvar vlnové funkce pro volnou částici. | \navod Uvnitř ``jámy'' má vlnová funkce tvar vlnové funkce pro volnou částici. | ||
− | Z podmínek na okrajích $\psi(-a)=0=\psi(a)$ dostáváme soustavu homogenních rovnic, požadavek nulovosti jejího determinantu dává rovnici pro energii, výsledek je $$E_n = \frac{1}{ | + | Z podmínek na okrajích $\psi(-a)=0=\psi(a)$ dostáváme soustavu homogenních rovnic, požadavek nulovosti jejího determinantu dává rovnici pro energii, výsledek je $$E_n = \frac{1}{2M}\left(\frac{n \pi \hbar}{2 a}\right)^2, \; n \in \mathds{N}.$$ |
Vlastní funkce jsou (včetně normalizace) | Vlastní funkce jsou (včetně normalizace) | ||
$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{2a}(x-a)\right).$$ | $$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{2a}(x-a)\right).$$ | ||
Řádka 22: | Řádka 22: | ||
kde jsme označili | kde jsme označili | ||
$$ | $$ | ||
− | \xi = a \frac{\sqrt{2 | + | \xi = a \frac{\sqrt{2 M (E+V_{0})}}{\hbar},\quad \eta = \frac{\sqrt{-2M E}}{\hbar} |
$$ | $$ | ||
Pro proměnné $\xi$ a $\eta$ navíc platí | Pro proměnné $\xi$ a $\eta$ navíc platí | ||
$$ | $$ | ||
− | \xi^2 + \eta^2 = \frac{ | + | \xi^2 + \eta^2 = \frac{2M}{\hbar} V_0 a^2 = \beta^2 = {\rm konst.} |
$$ | $$ | ||
Energie částice v konečné potenciálové jámě jsou tedy určeny průsečíky kružnice $\xi^2 + \eta^2 = \beta^2$ a křivek $\eta = \xi \tan\xi$, $\eta = -\xi \cot\xi$. Počet řešení $n$ je dán poloměrem kružnice, tj. hloubkou a šířkou potenciálové jámy. Platí vztah | Energie částice v konečné potenciálové jámě jsou tedy určeny průsečíky kružnice $\xi^2 + \eta^2 = \beta^2$ a křivek $\eta = \xi \tan\xi$, $\eta = -\xi \cot\xi$. Počet řešení $n$ je dán poloměrem kružnice, tj. hloubkou a šířkou potenciálové jámy. Platí vztah | ||
$$ | $$ | ||
− | \frac{n-1}{2}\pi < \sqrt{ | + | \frac{n-1}{2}\pi < \sqrt{2MV_0}\frac{a}{\hbar}\leq \frac{n}{2} \pi. |
$$ | $$ |
Aktuální verze z 11. 9. 2017, 12:22
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Pravoúhlá potenciálová jáma} \begin{cvi} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednoroz-měrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě" t.j. v potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$. Nalezněte příslušné vlastní funkce. \\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$. \label{jama} \end{cvi} \navod Uvnitř ``jámy'' má vlnová funkce tvar vlnové funkce pro volnou částici. Z podmínek na okrajích $\psi(-a)=0=\psi(a)$ dostáváme soustavu homogenních rovnic, požadavek nulovosti jejího determinantu dává rovnici pro energii, výsledek je $$E_n = \frac{1}{2M}\left(\frac{n \pi \hbar}{2 a}\right)^2, \; n \in \mathds{N}.$$ Vlastní funkce jsou (včetně normalizace) $$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{2a}(x-a)\right).$$ \begin{cvi} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednoroz-měrné konstantní potenciálové jámě t.j. v potenciálu $V(x)=-V_0<0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$. \\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $\forall x\in \real$. \end{cvi} \navod Nejprve si ukažte, že pro potenciály ve tvaru sudé funkce lze z libovolné vlastní funkce Hamiltoniánu $\psi(x)$ sestavit (ne nezbytně různou) vlastní funkci $\psi(-x)$ a odvoďte, že vlastní funkce lze v tomto případě volit sudé a liché. Využijte podmínek navázání (spojitost a spojitost 1. derivací) vlnových funkcí pro volnou částici v bodě $x=a$ (tím je díky symetrii splněna i podmínka v $x=-a$, jinak bychom měli 4 rovnice pro 4 konstanty) Výsledkem jsou následující vztahy pro sudý $$ \eta = \xi \tan\xi$$ a lichý případ $$ \eta = -\xi \cot\xi,$$ kde jsme označili $$ \xi = a \frac{\sqrt{2 M (E+V_{0})}}{\hbar},\quad \eta = \frac{\sqrt{-2M E}}{\hbar} $$ Pro proměnné $\xi$ a $\eta$ navíc platí $$ \xi^2 + \eta^2 = \frac{2M}{\hbar} V_0 a^2 = \beta^2 = {\rm konst.} $$ Energie částice v konečné potenciálové jámě jsou tedy určeny průsečíky kružnice $\xi^2 + \eta^2 = \beta^2$ a křivek $\eta = \xi \tan\xi$, $\eta = -\xi \cot\xi$. Počet řešení $n$ je dán poloměrem kružnice, tj. hloubkou a šířkou potenciálové jámy. Platí vztah $$ \frac{n-1}{2}\pi < \sqrt{2MV_0}\frac{a}{\hbar}\leq \frac{n}{2} \pi. $$