Součásti dokumentu 02KVANCV
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV}
\chapter{Moment hybnosti}
\begin{cvi}
\label{cvi:kom:lqp}
Spočítejte komutátory
$$
[\hat L_j,\hat Q_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\
$$
kde
$$
\hat L_j=\varepsilon_{jkl}\hat Q_k\hat P_l.
$$
\end{cvi}
\navod
Vztahy jsou důsledkem kanonických komutačních relací
$$
[\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk},
$$
a chování komutátoru vůči součinu operátorů
$$
[\hat A \hat B,\hat C] = \hat A [\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C] \hat B .
$$
Výsledkem je
\begin{eqnarray}
\nonumber [\hat L_j,\hat Q_k] & = & i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat Q_l, \\
\nonumber [\hat L_j,\hat P_k] & = & i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat P_l, \\
\nonumber [\hat L_j,\hat L_k] & = & i \hbar \varepsilon_{jkl}\hat L_l .
\end{eqnarray}
V klasické mechanice platí analogické vztahy pro Poissonovy závorky (až na faktor $ i \hbar$). Z komutačních relací plyne, že operátory $ \hat{\vec{Q}}, \hat{\vec{P}}, \hat{\vec{L}}$ jsou tzv. vektorové operátory (kvantová analogie vektorů $\vec{x},\vec{p},\vec{l}$, tj. objektů se správnými transformačními vlastnostmi vzhledem ke grupě rotací prostoru $SO(3)$).
\begin{cvi} Ukažte, že vzájemně komutují operátory
$\hat H \equiv \frac{\hat P^2}{2M} + V(r),\ \hat L_j$ a $\hat L^2$.
\end{cvi}
\navod Pro důkaz kompatibility operátorů $\hat L_j,\ \hat L^2$ a $\hat P^2$ využijte výsledků cvičení (\ref{cvi:kom:lqp}). Kompatibilita $\hat L_j$ a $V(r)$ plyne z tvaru operátorů složek momentu hybnosti ve sférických souřadnicích (viz. cvičení (\ref{komut})), které na $r$ nezávisí. Odtud už plyne kompatibilita $V(r)$ a $\hat L^2 = \hat L_1^2 + \hat L_2^2 + \hat L_3^2$. Z praktických důvodů se pro částici ve sféricky symetrickém poli za kompatibilní pozorovatelnou s $\hat H$ a $\hat L^2$ volí složka $\hat L_3$, která má ve sférických souřadnicích nejjednodušší tvar.
\begin{cvi}
\label{komut}
Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ \hat L_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích?
\end{cvi}
\navod
Operátory $\hat Q_j$ vzniknou dosazením definice sférických souřadnic
\begin{eqnarray}
\nonumber \hat Q_1 & = & r\sin \theta \cos\varphi, \\
\nonumber \hat Q_2 & = & r\sin \theta \sin\varphi, \\
\nonumber \hat Q_3 & = & r\cos \theta .
\end{eqnarray}
Pro výpočet operátorů $\hat P_j$ je vhodné využít pravidla pro derivaci složené funkce
$$
\frac{\partial \psi}{\partial x_j}=\frac{\partial \psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{\partial \varphi}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x_j},
$$
a dosadit za $\frac{\partial r}{\partial x_j}$ atd. z definice sférických souřadnic. Výsledek je
\begin{eqnarray}
\nonumber \hat P_1 & = & -i \hbar\left(\cos \varphi \sin \theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin \varphi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}+\frac{\cos \theta \cos \varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right), \\
\nonumber \hat P_2 & = & -i \hbar\left(\sin \varphi \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \varphi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}+\frac{\cos \theta \sin \varphi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right), \\
\nonumber \hat P_3 & = & - i \hbar \left(\cos \theta \frac{\partial}{\partial r}- \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\right).
\end{eqnarray}
Při výpočtu $\hat L_j$ nezapomínejte na správný postup při skládání operátorů (např. $x \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} x - {\bf id} \neq \frac{\partial}{\partial x} x$), pro názornost si lze na konci všech operátorových identit představit vlnovou funkci, a pak postupovat jako při derivování složené funkce. Výsledkem je
\begin{eqnarray}
\nonumber \hat L_1 &=& i\hbar \left( \cos\varphi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}+\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \\
\nonumber \hat L_2 &=& i\hbar \left( \sin\varphi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}-\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \\
\nonumber \hat L_3 &=& -i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi}.
\end{eqnarray}
\begin{cvi}
S použitím vzorců pro jednotlivé složky momentu hybnosti ukažte, že operátor
$\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar
$$
\hat L^2 = -\hbar^2\left[\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}+
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\right] .
$$
\end{cvi}
\navod Naučte se skládat (násobit) operátory.
\begin{cvi} "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momentem setrvačnosti $I$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie a určete příslušné vlastní funkce.
\end{cvi}
\navod $\hat H=-\frac{\hbar^2}{2 I} \frac{d^2}{d \varphi^2}$ (viz princip korespondence a klasickou kinetickou energii $\frac{1}{2} I \dot{\varphi}^2$). Řešením stacionární Schr\"odingerovy rovnice nalezneme řešení ve tvaru $\psi(\varphi)=A e^{i \alpha \varphi} + B e^{-i \alpha \varphi}, \; \alpha=\ldots$ a z požadavku jednoznačnosti $\psi(\varphi)=\psi(\varphi+2 \pi)$ najdeme možné hodnoty energie $E_m= \frac{m^2 \hbar^2}{2 I}, \; m \in \mathds{Z}$. Odpovídající vlastní funkce jsou $\psi_m(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i m\varphi}$.
\begin{cvi}
Najděte explicitní tvar kulových funkcí pro stavy $s,p,d$ a určete příslušné pravděpodobnosti nalezení částice v daném prostorovém úhlu.
\end{cvi}
\vysl
Kulové funkce jsou určeny vztahem
$$
Y_{l,m}(\theta,\varphi) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta)e^{im\varphi},
$$
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendreovy polynomy
$$
P_l^m(t) = \frac{(1-t^2)^{\frac{m}{2}}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}(t^2-1)^l .
$$
Pak už snadno nalezneme
\begin{description}
\item[$l=0: \;$] $Y_{0,0}(\theta,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}$
\item[$l=1: \;$] $\ Y_{1,1}(\theta,\varphi) = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta e^{i\varphi},\ Y_{1,0}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,\ Y_{1,-1}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta e^{-i\varphi}$
\item[$l=2: \;$] $Y_{2,2}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{15}{32\pi}}\sin^2\theta e^{2i\varphi},\ Y_{2,1}(\theta,\varphi) = -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\cos\theta\sin\theta e^{i\varphi},$\\
$Y_{2,0}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{5}{16\pi}}(3\cos^2\theta-1),\ Y_{2,-1}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\cos\theta\sin\theta e^{-i\varphi},$ \\ $Y_{2,-2}(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{15}{32\pi}}\sin^2\theta e^{-2i\varphi} . $
\end{description}
Pravděpodobnost nalezení pod daným prostorovým úhlem je rovna $|Y_{l,m}(\theta,\varphi)|^2 \sin\theta$. Výsledné rozdělení nezávisí na úhlu $\varphi$ a je stejné pro kvantové číslo $m$ a $-m$. Nakreslete si grafy (nejlépe trojrozměrné na počítači).
\begin{cvi} Napište všechny vlnové \fc e harmonického oscilátoru pro stavy s energiemi
$\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$ a $\frac{7}{2}\hbar\omega$, které jsou současně vlastní funkce $\hat L^2, \hat L_3 $. Oscilátor má vlastní frekvenci $\omega = \hbar/M$.
\end{cvi}
\navod Společné vlastní funkce $\hat H, \hat L^2, \hat L_3 $ mají tvar
$$
\psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{nl} r^l e^{-\frac{r^2}{2}}L_{n}^{l+\frac{1}{2}}(r^2)Y_{l,m}(\theta,\varphi),
$$
kde $L_n^\beta(z)$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy
$$
L_n^\beta(z) = \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{d^n}{d z^n}\left(e^{-z} z^{n+\beta}\right).
$$
Normalizační konstanta je rovna
$$
K_{nl} = \frac{2}{\sqrt[4]{\pi}}\sqrt{\frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!}}.
$$
Výsledky jsou následující:
\begin{description}
\item[$E=\frac{3}{2}\hbar\omega: \;$] $n=l=m=0$
$$\psi_{0,0,0}(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{\pi^\frac{3}{4}}e^{-\frac{r^2}{2}} $$
\item[$E=\frac{5}{2}\hbar\omega: \;$] $n=0$, $l=1$, $m=-1,0,1$
$$\psi_{0,1,-1} = \frac{1}{\pi^\frac{3}{4}} r e^{-\frac{r^2}{2}} \sin\theta e^{-i\varphi},\quad \psi_{0,1,0} = \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{3}{4}}r e^{-\frac{r^2}{2}} \cos\theta, \quad \psi_{0,1,1} = - \frac{1}{\pi^\frac{3}{4}}r e^{-\frac{r^2}{2}} \sin\theta e^{i\varphi} $$
\item[$E=\frac{7}{2}\hbar\omega: \;$] $n=1$, $l=m=0$
$$\psi_{1,0,0} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\pi^\frac{3}{4}}\left(\frac{3}{2}-r^2\right) e^{-\frac{r^2}{2}} $$
$n=0$, $l=2$, $m=-2,-1,0,1,2$
$$
\psi_{0,2,-2} = \frac{1}{\sqrt{2}\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} \sin^2\theta e^{-2i\varphi},\quad \psi_{0,2,-1} = \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} \cos\theta \sin\theta e^{-i\varphi}$$
$$\psi_{0,2,0} = \frac{1}{\sqrt{3}\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} (\cos^2\theta-1),\quad \psi_{0,2,1} = -\frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} \cos\theta \sin\theta e^{i\varphi}
$$
$$
\psi_{0,2,2} = \frac{1}{\sqrt{2}\pi^\frac{3}{4}} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} \sin^2\theta e^{2i\varphi}
$$
\end{description}
