Součásti dokumentu 02KVANCV
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV}
\chapter{Volná částice}
\begin{cvi}
Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y
\rc e pro volnou částici, které v čase $t=0$ má tvar
\be
\psi(\vec x,0)=g(\vec x)=C\exp[-Ax^2+\vec B\vec x]
\ll{mvb}
\ee
kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$.
\ll{ex:vlnbal}
\end{cvi}
\navod
Při řešení používáme Fourierovu transformaci (FT) ve tvaru
$$\tilde\psi(\vec{p},t)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi\hbar})^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{p}\cdot\vec{x}} \psi(\vec{x},t) d^3 x,$$
která převede \sv u \rc i na obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu v čase
$$
i\hbar\frac{\partial \tilde{\psi}}{\partial t} = \frac{p^2}{2M}\tilde{\psi}.
$$
Řešení této rovnice je
\begin{equation}
\label{free:p}
\tilde{\psi}(\vec{p},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}t}\tilde{\psi}(\vec{p},0),
\end{equation}
kde $\tilde{\psi}(\vec{p},0)$ je FT počáteční podmínky $\psi(\vec x,0)$, tj.
$$
\tilde{\psi}(\vec{p},0) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi\hbar})^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{p}\cdot\vec{x}} \psi(\vec{x},0) d^3 x = \frac{C}{(\sqrt{2 A \hbar})^3} e^\frac{(\vec{B}-\frac{i}{\hbar}\vec{p})^2}{4 A}
$$
Řešení v proměnné $\vec{x}$ získáme inverzní FT
\begin{equation}
\label{free:x}
\psi(\vec{x},t) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi\hbar})^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{\frac{i}{\hbar} \vec{p}\cdot\vec{x}} \tilde{\psi}(\vec{p},t) d^3 p =
C\chi(t)^{-3/2}e^{\frac{\vec B^2}{4A}}
e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}},
\end{equation}
kde $\chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{M} t$.
\begin{cvi}
\label{vlnbal:pr}
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení (\ref{free:x})
z příkladu \ref{ex:vlnbal}? Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je
rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem?
Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku
pro elektron lokalisovaný s přesností 1 cm a pro částici s hmotností 1 gram,
jejíž těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m?
\ll{ex:pstvb}
\end{cvi}
\navod Je zapotřebí spočítat $| \psi(x,t) |^2 \sim \left|e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}\right|^2$ (nezajímá nás časový vývoj normalizace, i v dalším počítání je vhodné vynechávat celkové faktory nezávisející na $x$). Odvoďte si a využijte $|e^{z}|^2 = e^{2 {\rm Re} z}$. Pro určení střední kvadratické odchylky atd. porovnejte výsledek s tvarem Gaussovy rozdělovací funkce a najdete
\begin{eqnarray}
\nonumber \vec{x}_0(t) & = & \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 {\rm Re}A} + \frac{\hbar}{M}{\rm Im} \vec{B}\ t - \frac{\hbar}{M}\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A}{\rm Re}\vec{B}\ t ,\\
\nonumber \sigma^2(t) & = & \frac{1}{4{\rm Re} A} + \frac{\hbar^2}{M^2}{\rm Re}A\ t^2 + \frac{\hbar^2}{M^2}\frac{({\rm Im}A)^2}{{\rm Re}A}\ t^2 - \frac{\hbar}{M}\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A}\ t.
\end{eqnarray}
Neurčitost polohy je stejná ve všech směrech, tj. $(\Delta x_j) = \sigma(t)$. Vlnový balík se může po konečnou dobu zužovat, pokud je ${\rm Im}A\neq 0$. Pro $A>0$ se pouze rozšiřuje, vztahy se zjednoduší na
\begin{eqnarray}
\nonumber \vec{x}_0(t) & = & \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 A} + \frac{\hbar}{M}{\rm Im} \vec{B}\ t,\\
\nonumber \sigma^2(t) & = & \frac{1}{4A} + \frac{\hbar^2}{M^2}A\ t^2.
\end{eqnarray}
Zdvojnásobení: pro elektron cca $ 3 \, {\rm s}$, pro částici cca $10^{12} \, {\rm let}$.
\begin{cvi}
Částice s hmotností $m$ a hybností $p$ letí kolmo proti stěně se dvěma štěrbinami v bodech $\pm x_0$. Šířka štěrbin je $\sigma_0$. Ve vzdálenosti $d$ od štěrbin je stínítko. Určete hustotu pravděpodobnosti nalezení částice na stínítku. Předpokládejte, že po průchodu horní, resp. spodní štěrbinou, je stav částice možné popsat vlnovým balíkem se střední hodnotou polohy $\pm x_0$ a střední kvadratickou odchylkou rovnou $\sigma_0$.
\end{cvi}
\navod Vlnová funkce popisující stav částice po průchodu štěrbinami je superpozicí vlnových balíků
$$
\psi(x,t) = \psi_1(x,t) + \psi_2(x,t),\quad \psi_{1,2}(x,t) = e^{-\frac{(x\mp x_0)^2}{4 \sigma_0^2\chi(t)}} = e^{\frac{(x\mp x_0)^2(2\sigma_0^2-i\frac{\hbar}{M}t)}{2(4\sigma_0^4 + \frac{\hbar^2 t^2}{M^2})}}.
$$
Doba letu částice od štěrbin na stínítko je $t = \frac{d M}{p}$. Hustota pravděpodobnosti nalezení částice v místě $x$ na stínítku je tedy rovna
$$
\left|\psi(x,t = \frac{d M}{p})\right|^2 = |\psi_1(x) + \psi_2(x)|^2 = |\psi_1(x)|^2 + |\psi_2(x)|^2 + \psi_1(x)\overline{\psi_2}(x) + \overline{\psi_1}(x)\psi_2(x).
$$
První dva členy odpovídají situaci jen s horní (resp. spodní) štěrbinou
$$
|\psi_{1,2}(x)|^2 = e^{-\frac{(x\mp x_0)^2}{2\sigma^2}},\quad \sigma^2 = \sigma_0^2 + \left(\frac{\hbar d}{4p\sigma_0}\right)^2.
$$
Zbylé dva členy jsou zodpovědné za interferenci
$$
\psi_1(x)\overline{\psi_2}(x) + \overline{\psi_1}(x)\psi_2(x) = 2 e^{-\frac{x^2 + x_0^2}{2\sigma^2}} \cos\left(\frac{4\hbar d p x x_0}{4 p^2\sigma_0^4 + \hbar^2 d^2}\right).
$$
