01DIFRnew:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Změna notace bodů a intervalů na novější.) |
m (Hlavně typografické korektury.) |
||
Řádka 9: | Řádka 9: | ||
\index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!s~pravou stranou} | \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!s~pravou stranou} | ||
\index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!bez pravé strany} | \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!bez pravé strany} | ||
− | Systém | + | Systém ve tvaru |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\tag{\ref{eq:sysdrlin}} | \tag{\ref{eq:sysdrlin}} | ||
Řádka 150: | Řádka 150: | ||
Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$. Pak platí buď | Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$. Pak platí buď | ||
\[ | \[ | ||
− | \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0 \Bigr) | + | \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0 \Bigr), |
\] | \] | ||
nebo | nebo | ||
Řádka 191: | Řádka 191: | ||
\[ | \[ | ||
y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro všechna } x\in I. | y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro všechna } x\in I. | ||
+ | \qedhere | ||
\] | \] | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 209: | Řádka 210: | ||
y(x_0) &=& \vec{e}_j, | y(x_0) &=& \vec{e}_j, | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
− | pro $j | + | pro $j\in\widehat{n}$, kde $\vec{e}_j$ značí $j$-tý vektor standardní báze $\R^n$. |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 456: | Řádka 457: | ||
Než přistoupíme k~další větě, připomeneme si tvrzení, které se nám pro její důkaz bude hodit. | Než přistoupíme k~další větě, připomeneme si tvrzení, které se nám pro její důkaz bude hodit. | ||
− | Podle \emph{Jordanovy}\footnote{\textbf{Marie Ennemond Camille Jordan} (1838-1922), francouzský matematik.} \emph{věty} (viz~\cite[Věta 17.8]{bican}) je každá | + | Podle \emph{Jordanovy}\footnote{\textbf{Marie Ennemond Camille Jordan} (1838--1922), francouzský matematik.} \emph{věty} (viz~\cite[Věta 17.8]{bican}) je každá |
matice $\mat{A}\in\C^{n,n}$ podobná\footnote{\index{podobnost matic}Řekneme, že matice $\mat{A}$ je \textbf{podobná} matici $\mat{B}$ právě tehdy, když | matice $\mat{A}\in\C^{n,n}$ podobná\footnote{\index{podobnost matic}Řekneme, že matice $\mat{A}$ je \textbf{podobná} matici $\mat{B}$ právě tehdy, když | ||
existuje regulární matice $\mat{T}$ tak, že platí $\mat{A} = \mat{T}^{-1} \mat{B} \mat{T}$.} matici $\mat{J}$ v~tzv.~\emph{Jordanově normálním tvaru}. | existuje regulární matice $\mat{T}$ tak, že platí $\mat{A} = \mat{T}^{-1} \mat{B} \mat{T}$.} matici $\mat{J}$ v~tzv.~\emph{Jordanově normálním tvaru}. |
Verze z 20. 6. 2014, 01:29
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFRnew
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFRnew | Nguyebin | 1. 9. 2013 | 22:56 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:45 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 1. 9. 2013 | 22:47 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Nguyebin | 29. 8. 2013 | 15:23 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod | Kubuondr | 7. 6. 2017 | 09:21 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Řešení speciálních typů rovnic | Kubuondr | 8. 6. 2017 | 10:00 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Teoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnic | Perinhyn | 2. 6. 2018 | 22:54 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Analytické řešení lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu | Kubuondr | 10. 6. 2017 | 11:19 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Analytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu | Krasejak | 20. 6. 2014 | 01:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice | Kubuondr | 10. 6. 2017 | 11:16 | kapitola6.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Krasejak | 20. 6. 2014 | 01:33 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:priklad1.pdf | priklad1.pdf |
Image:rotujici_sklenice.pdf | rotujici_sklenice.pdf |
Image:mat_kyvadlo.pdf | mat_kyvadlo.pdf |
Soubor:lorentz-attractor.pdf | lorentz-attractor.pdf |
Soubor:vedeni-tepla.pdf | vedeni-tepla.pdf |
Image:smerova_pole.pdf | smerova_pole.pdf |
Image:RL_obvod.pdf | RL_obvod.pdf |
Image:k_lomene_care.pdf | k_lomene_care.pdf |
Image:k_peanove_vete.pdf | k_peanove_vete.pdf |
Image:k_prodlouzeni.pdf | k_prodlouzeni.pdf |
Image:k_prodl_lemma.pdf | k_prodl_lemma.pdf |
Image:k_prodl_tvrz.pdf | k_prodl_tvrz.pdf |
Image:k_prodl_lemma_2.pdf | k_prodl_lemma_2.pdf |
Image:ke_spoj_zav_na_datech.pdf | ke_spoj_zav_na_datech.pdf |
Image:metoda_strelby.pdf | metoda_strelby.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRnew} % **************************************************************************************************************************** % KAPITOLA: Analytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu % **************************************************************************************************************************** \chapter{Analytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu} \begin{define} \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních} \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!s~pravou stranou} \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!bez pravé strany} Systém ve tvaru \begin{equation} \tag{\ref{eq:sysdrlin}} y' - \mat{A}(x) y = b(x) \end{equation} se nazývá \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu bez pravé strany} právě tehdy, když $b \equiv \theta$. V~opačném případě se nazývá \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu s~pravou stranou}. \end{define} \begin{remark} V~dalším textu budeme kvůli větě o~existenci a jednoznačnosti předpokládat, že funkce $\mat{A}(x)$ a $b(x)$ jsou spojité na nějakém otevřeném intervalu $I\subset\R$. \end{remark} \begin{remark} Analogicky jako v~předchozí kapitole můžeme rovnice zapsat kompaktněji pomocí lineárního diferenciálního operátoru $L$ ve tvarech \begin{eqnarray} \label{eq:sysdrlin_sps} Ly &=& b(x), \\ \label{eq:sysdrlin1_bezps} Ly &=& \theta, \end{eqnarray} kde $Ly = y' - \mat{A}(x)y$. \end{remark} \begin{remark} Vzhledem k~linearitě platí \[ Lz = b \wedge Ly = \theta \Rightarrow L(y+z) = b. \] Libovolná funkce $z$ taková, že $Lz=b$, se nazývá \emph{partikulární řešení rovnice} \eqref{eq:sysdrlin}. \end{remark} % **************************************************************************************************************************** % SEKCE: Řešení soustavy bez pravé strany % **************************************************************************************************************************** \section{Řešení soustavy bez pravé strany} \begin{remark} \label{rmrk:o_reseni_sysdrlin1r_bezps} Uvedeme několik poznámek k~řešení soustavy bez pravé strany: \begin{enumerate}[(1)] \item Funkce $y \equiv \theta$ řeší rovnici bez pravé strany \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}. \item Počáteční úloha \begin{equation} \begin{array}{r@{ \ = \ }l} y' - \mat{A}(x) y & \theta \\ y(x_0) & \theta \end{array} \end{equation} má jediné řešení $y(x) = \theta$, $\forall x\in I$, kde $I$ je definiční obor maticové funkce $\mat{A}(x)$. Tvrzení plyne z~věty o~existenci a jednoznačnosti \ref{theo:exajedn_sysdrlin}. \item Pokud funkce $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}, potom pro $\forall \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R$ je $y=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i y_i$ také řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}. Tvrzení plyne z~linearity $L$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \index{determinant!Wronskiho} Nechť jsou dány funkce $y_1,\ldots,y_n : I \to \R^n$, $I$ je interval v~$\R$, kde $y_j(x) = (y_j^1(x),\ldots,y_j^n(x))$. Potom \textbf{wrońskiánem funkcí} $y_1,\ldots,y_n$ rozumíme determinant \begin{equation} W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = \left| \begin{matrix} y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\ y_1^2(x) & \ldots & y_n^2(x) \\ & \ddots & \\ y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x) \end{matrix} \right|. \end{equation} \end{define} \begin{define} Funkce $y_1,\ldots,y_n$ jsou \textbf{na intervalu $I$ lineárně závislé (LZ)} právě tehdy, když \[ \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \forall x\in I : \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) = \theta\Bigr). \] V~opačném případě řekneme, že jsou \textbf{lineárně nezávislé (LN) na $I$}. \end{define} \begin{theorem} Nechť $y_1,\ldots,y_n$ jsou LZ na $I$. Pak $(\forall x\in I)(W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0)$. \begin{proof} Tvrzení je zřejmé. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Uvažme dvě funkce \[ y_1(x) = \col{x}{0} \qquad \text{a} \qquad y_2(x) = \col{x^2}{0}. \] Potom zřejmě \[ W_{y_1,y_2}(x) = \left| \begin{matrix} x & x^2 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| = 0 \] a přitom jsou funkce $y_1,y_2$ LN na libovolném intervalu. Vidíme tedy, že tvrzení předchozí věty nelze jednoduše obrátit. Situace je podobná situaci v~předchozí kapitole o~lineárních diferenciálních rovnicích $n$-tého řádu, kde jsme zformulovali opačné tvrzení s~dodatečným předpokladem, že funkce $y_1,\ldots,y_n$ splňovaly rovnici bez pravé strany. Následující věta nás přesvědčí, že takové tvrzení lze zformulovat i zde. \end{remark} \begin{theorem} Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na intervalu $I$ a nechť \[ \Bigl( \exists x_0\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) = 0 \Bigr). \] Potom $y_1,\ldots,y_n$ jsou LZ na $I$. \begin{proof} Je-li $W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) = 0$, pak jsou vektory $y_1(x_0),\ldots,y_n(x_0)$ LZ a tedy \[ \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x_0) = \theta \Bigr). \] Definujme funkci $Y$ tak, že \[ Y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro každé } x\in I. \] Potom $Y(x_0) = \theta$ a zároveň $Y$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na intervalu $I$, což plyne z~poznámky \ref{rmrk:o_reseni_sysdrlin1r_bezps}, bodu (3). Potom, využijeme-li ještě bod (2) poznámky \ref{rmrk:o_reseni_sysdrlin1r_bezps}, dostaneme \[ Y(x) = \theta \qquad \text{pro všechna } x\in I \] a tedy funkce $y_1,\ldots,y_n$ jsou LZ na $I$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Důsledkem právě uvedené věty je následující tvrzení. Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$. Pak platí buď \[ \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0 \Bigr), \] nebo \[ \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0 \Bigr). \] \end{remark} \begin{define} \index{systém!fundamentální} Řekneme, že soubor $y_1,\ldots,y_n$ je \textbf{fundamentální systém (FS)} řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$ právě tehdy, když tyto funkce řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$ a zároveň jsou LN na $I$. \end{define} \begin{theorem} Nechť $y_1,\ldots,y_n$ je FS na $I$. Pak každé řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} lze v~něm jednoznačně vyjádřit (tj.~lze jej jednoznačně zapsat jako lineární kombinaci funkcí $y_1,\ldots,y_n$). \begin{proof} Nechť $y(x)$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$ a nechť $x_0\in I$. Dále nechť $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS na $I$. Potom soubor vektorů $(y_1(x_0),\ldots,y_n(x_0))$ tvoří bázi prostoru $\R^n$. Pak \[ \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R \Bigr) \Bigl( y(x_0) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x_0) \Bigr). \] Definujme \[ Y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro každé } x\in I. \] Ihned vidíme, že $Y(x_0) = y(x_0)$ a zároveň $Y$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$. Máme tedy počáteční úlohu \begin{eqnarray*} f' - \mat{A}(x) f &=& \theta, \\ f(x_0) &=& Y(x_0). \end{eqnarray*} Podle věty \ref{theo:exajedn_sysdrlin} má tato úloha jednoznačné řešení a přitom $y$ i $Y$ jsou jejím řešením na $I$. Musí tedy platit \[ \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( Y(x) = y(x) \Bigr). \] Odtud dostáváme \[ y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro všechna } x\in I. \qedhere \] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Doposud jsme se zabývali situacemi, kdy jsme měli k~dispozici nějaký FS. Vůbec jsme však neřešili otázku existence FS. To napravíme v~následující větě. \end{remark} \begin{theorem} Pro systém \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} existuje FS. \begin{proof} FS získáme řešením počátečních úloh ve tvaru \begin{eqnarray*} y' - \mat{A}(x) y &=& \theta, \\ y(x_0) &=& \vec{e}_j, \end{eqnarray*} pro $j\in\widehat{n}$, kde $\vec{e}_j$ značí $j$-tý vektor standardní báze $\R^n$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$, $\mat{C} = (c_{ij})_{i,j=1}^n$, $z_i(x) = \sum\limits_{j=1}^n c_{ij} y_j(x)$, $i\in\widehat{n}$, $x\in I$. Pak $z_1,\ldots,z_n$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} a platí \[ W_{z_1,\ldots,z_n}(x) = \abs{\mat{C}} W_{y_1,\ldots,y_n}(x), \qquad \forall x\in I \] a tedy $(z_1,\ldots,z_n)$ je FS právě tehdy, když $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS a zároveň $\abs{\mat{C}} \neq 0$. \begin{proof} Snadno prověříme \[ W_{z_1,\ldots,z_n}(x) = \left| \begin{matrix} z_1^1(x) & \ldots & z_n^1(x) \\ & \ddots & \\ z_1^n(x) & \ldots & z_n^n(x) \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\ & \ddots & \\ y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x) \end{matrix} \right| \cdot \left| \begin{matrix} c_{11} & \ldots & c_{n1} \\ & \ddots & \\ c_{1n} & \ldots & c_{nn} \end{matrix} \right| = \abs{\mat{C}} W_{y_1,\ldots,y_n}(x). \] Zbývající tvrzení je již zřejmé. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$, $x_0 \in I$. Pak \[ W_{y_1\ldots,y_n}(x) = W_{y_1\ldots,y_n}(x_0) \exp \left\{\int_{x_0}^x \Tr \mat{A}(\xi) \dif\xi \right\}, \qquad \forall x\in I. \] \begin{proof} Podle poznámky \ref{rmrk:der_det} platí \[ \frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr) = \sum_{j=1}^n \left| \begin{matrix} y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\ & \ddots & \\ (y_1^j)'(x) & \ldots & (y_n^j)'(x) \\ & \ddots & \\ y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x) \end{matrix} \right| = (*). \] Využijeme nyní toho, že podle předpokladů věty řeší $y_j$ rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} a platí tudíž \[ (y_i^j)'(x) = \sum_{l=1}^n a_{jl}(x) y_i^l(x). \] Dostaneme \[ (*) = \sum_{j=1}^n \sum_{l=1}^n a_{jl}(x) \left| \begin{matrix} y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\ & \ddots & \\ y_1^l(x) & \ldots & y_n^l(x) \\ & \ddots & \\ y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x) \end{matrix} \right| \begin{matrix} \vdots \\ \vdots \\ \leftarrow \text{$j$-tý řádek} \\ \vdots \\ \vdots \end{matrix}. \] Snadno si rozmyslíme, že determinanty v~jednotlivých sčítancích jsou rovny $0$ pro $l \neq j$. Pro $l=j$ z~nich naopak dostáváme wrońskiány $W_{y_1,\ldots,y_n}(x)$. Shrneme-li dosavadní výsledky, máme \[ \frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr) = (*) = \ub{\sum_{j=1}^n a_{jj}(x)}_{\Tr \mat{A}(x)} W_{y_1,\ldots,y_n}(x). \] Dostali jsme tedy diferenciální rovnici ve tvaru \[ \frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr) = \Tr \mat{A}(x) \ W_{y_1,\ldots,y_n}(x), \] jejímž řešením je (jak se snadno přesvědčíme dosazením) \[ W_{y_1\ldots,y_n}(x) = W_{y_1\ldots,y_n}(x_0) \exp \left\{\int_{x_0}^x \Tr \mat{A}(\xi) \dif\xi \right\}, \] což jsme chtěli dokázat. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť funkce $y_1,\ldots,y_n \in \Cc^{(1)}(I)$ a nechť $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$ na $I$. Potom existuje právě jeden systém tvaru \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}, pro nějž je $(y_1,\ldots,y_n)$ FS na $I$. \begin{proof} Je třeba dokázat existenci a jednoznačnost. \begin{enumerate}[(1)] %\item EXISTENCE \item Existenci dokážeme konstrukcí. Označme nejdříve \[ D_i (x,y(x)) = \left| \begin{matrix} (y^i)'(x) & (y_1^i)'(x) & \ldots & (y_n^i)'(x) \\ y^1(x) & y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\ \vdots & & \ddots & \\ y^n(x) & y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x) \end{matrix} \right|. \] Všimneme si, že pravý dolní minor matice na pravé straně je vlastně wrońskián $W_{y_1,\ldots,y_n}(x)$. Rovněž pozorujeme, že \[ \Bigl( \forall j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( D_i(x,y_j(x)) = 0 \Bigr). \] Rozvojem determinantu podle 1.~sloupce dostáváme \[ D_i(x,y(x)) = (y^i)'(x) \ub{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)}_{\neq 0} + \sum_{j=1}^n (-1)^j y^j(x) \tilde{D}_{ij}(x), \] kde $\tilde{D}_{ij}(x)$ je determinant matice, jež vznikne z~matice determinantu $D_i(x,y(x))$ vynecháním 1.~sloupce a $(j+1)$-ního řádku. Sestavíme matici $\mat{A}(x) = (a_{ij}(x))$ tak, že \[ a_{ij}(x) = (-1)^j \frac{\tilde{D}_{ij}(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)}. \] Potom \[ y' - \mat{A}(x) y = \theta \] je hledanou diferenciální rovnicí s~fundamentálním systémem $(y_1,\ldots,y_n)$. %\item JEDNOZNAČNOST \item Nechť funkce $y_j$ řeší na intervalu $I$ dvě různé diferenciální rovnice \[ y' - \mat{A}(x) y = \theta \qquad \text{a} \qquad y' - \mat{B}(x) y = \theta, \] kde $(\exists x_0\in I)(\mat{A}(x_0) \neq \mat{B}(x_0))$. Potom zřejmě platí \[ \Bigl( \forall j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( \bigl(\mat{A}(x) - \mat{B}(x)\bigr) y_j(x) = \theta \Bigr) \] a zároveň vektory $y_1(x),\ldots,y_n(x)$ tvoří bázi vektorového prostoru $\R^n$, pro libovolné pevné $x\in I$. Potom ale musí platit \[ \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( \mat{A}(x) = \mat{B}(x) \Bigr), \] což je spor. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} % **************************************************************************************************************************** % SEKCE: Řešení soustavy s pravou stranou % **************************************************************************************************************************** \section{Řešení soustavy s~pravou stranou} \begin{remark}[\textbf{Metoda variace konstant}] \index{metoda!variace konstant} Nechť $(y_1,\ldots,y_n)$ je fundamentální systém pro \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na intervalu $I$. Hledejme řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin_sps} ve tvaru \[ z(x) = \sum_{j=1}^n c_j(x) y_j(x), \] kde $c_j : I\to\R$ pro všechna $j\in\widehat{n}$. Potom platí \[ z'(x) = \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) + \sum_{j=1}^n c_j(x) \ub{y'_j(x)}_{=\mat{A}(x) y_j(x)} = \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) + \mat{A}(x) \ub{ \left( \sum_{j=1}^n c_j(x) y_j(x) \right) }_{= z(x)} \] a zároveň \[ z'(x) - \mat{A}(x) z(x) = b(x). \] Dostali jsme tedy soustavu $n$ lineárních rovnic pro $n$ neznámých $c'_j(x)$ ve tvaru \[ \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) = b(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \left(\begin{matrix} y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\ & \ddots & \\ y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x) \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} c'_1(x) \\ \vdots \\ c'_n(x) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} b^1(x) \\ \vdots \\ b^n(x) \end{matrix}\right). \] Determinant matice soustavy je wrońskián $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$, a proto jsou neznámé $c'_j(x)$ určeny jednoznačně. S~využitím Cramerova pravidla dostáváme \[ c'_j(x) = \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)} \] kde $W_j(x)$ je determinant matice, která vznikne z~matice soustavy nahradíme-li $j$-tý sloupec sloupcem pravých stran. Potom \[ c_j(x) = \int \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)} \dif x + d_j, \] kde $d_j$ jsou integrační konstanty. Obecné řešení rovnice s~pravou stranou \eqref{eq:sysdrlin_sps} potom je \[ z(x) = \sum_{j=1}^n \left[ \int \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)} \dif x \right] y_j(x) + \sum_{j=1}^n d_j y_j(x). \] \end{remark} % **************************************************************************************************************************** % SEKCE: Soustavy s konstantními koeficienty % **************************************************************************************************************************** \section{Soustavy s~konstantními koeficienty} \begin{define} \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!s~konstatními koeficienty} Nechť $\mat{A}\in\R^{n,n}$. Potom soustavu ve tvaru \begin{equation} \label{eq:sysdrlin1r_kk} y' - \mat{A} y = b(x) \end{equation} nazveme \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu s~konstantními koeficienty}. \end{define} \begin{remark} Uvažujme rovnici bez pravé strany ve tvaru \[ y' - \mat{A} y = \theta. \] Předpokládejme řešení ve tvaru \[ y(x) = \me^{\lambda x} v, \] kde $v\in\R^n$. Dosadíme-li za $y$ do rovnice, získáme vztah \[ \lambda \me^{\lambda x} v - \mat{A} \me^{\lambda x} v = \theta \quad\Longleftrightarrow\quad (\mat{A} - \lambda \mat{E}) v = \theta. \] Řešíme tedy úlohu hledání vlastních čísel a k~nim příslušejících vlastních vektorů matice $\mat{A}$. \end{remark} \begin{remark} \label{rmrk:Jordan} \index{věta!Jordanova} \index{matice!v~Jordanově normálním tvaru} Než přistoupíme k~další větě, připomeneme si tvrzení, které se nám pro její důkaz bude hodit. Podle \emph{Jordanovy}\footnote{\textbf{Marie Ennemond Camille Jordan} (1838--1922), francouzský matematik.} \emph{věty} (viz~\cite[Věta 17.8]{bican}) je každá matice $\mat{A}\in\C^{n,n}$ podobná\footnote{\index{podobnost matic}Řekneme, že matice $\mat{A}$ je \textbf{podobná} matici $\mat{B}$ právě tehdy, když existuje regulární matice $\mat{T}$ tak, že platí $\mat{A} = \mat{T}^{-1} \mat{B} \mat{T}$.} matici $\mat{J}$ v~tzv.~\emph{Jordanově normálním tvaru}. Tj.~existuje regulární matice $\mat{P}$ tak, že platí \[ \mat{A} = \mat{P}^{-1} \mat{J} \mat{P}, \] kde matici $\mat{J}$ lze zapsat v~blokově diagonálním tvaru \[ \mat{J} = \left(\begin{matrix} \mat{J}_1^1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & \mat{J}_{s_1}^1 & & & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & & &\mat{J}_1^p & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & \mat{J}_{s_p}^p \\ \end{matrix}\right), \quad \text{kde } \mat{J}_j^i = \left(\begin{matrix} \lambda_i & & & \\ 1 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda_i \end{matrix}\right). \] Zde $\lambda_i \in \sigma(\mat{A})$, čtvercové matice $\mat{J}_j^i$ nazýváme Jordanovy bloky (buňky) příslušné vlastnímu číslu $\lambda_i$. Čísla $s_i = \nu_g(\lambda_i)$ jsou geometrické násobnosti vlastního čísla $\lambda_i$ a zřejmě musí platit \[ \sum_{j=1}^{s_i} \dim \mat{J}_j^i = \nu_a(\lambda_i), \] kde $\nu_a(\lambda_i)$ je algebraická násobnost vlastního čísla $\lambda_i$. Snadno si také rozmyslíme, že každý blok $\mat{J}_j^i$ (považujeme-li jej za samostatnou matici) má právě jedno vlastní číslo $\lambda_i$ s~algebraickou násobností rovnou řádu matice $\mat{J}_j^i$ a s~geometrickou násobností 1. K~tomuto vlastnímu číslu tedy přísluší právě jeden vlastní vektor (a pochopitelně jeho libovolné nenulové násobky). \end{remark} \begin{theorem} Nechť $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ jsou různá vlastní čísla matice $\mat{A}$ s~algebraickými násobnostmi $k_1,\ldots,k_p$, $\sum\limits_{j=1}^p k_j = n$. Pak FS pro rovnici $y' - \mat{A} y = \theta$ má tvar \[ \begin{matrix} \me^{\lambda_1 x} y_{11}(x), & \ldots, & \me^{\lambda_1 x} y_{1k_1}(x) \\ \me^{\lambda_2 x} y_{21}(x), & \ldots, & \me^{\lambda_2 x} y_{2k_2}(x) \\ \vdots & & \vdots \\ \me^{\lambda_p x} y_{p1}(x), & \ldots, & \me^{\lambda_p x} y_{pk_p}(x) \end{matrix} \] kde $y_{ij}(x)$ je vektorový polynom stupně nejvýše $j-1$ (resp.~vektor o~složkách ve tvaru polynomů stupně menšího než $j$). \begin{proof} V~rovnici $y' - \mat{A} y = \theta$ provedeme substituci $y(x) = \mat{P}^{-1} z(x)$, kde $\mat{P}$ je matice z~poznámky \ref{rmrk:Jordan}. Dostaneme tak novou rovnici ve tvaru \[ z' - \mat{J} z = \theta. \] Ihned vidíme, že soustava se \uv{rozpadla} na několik nezávislých soustav podle bloků matice $\mat{J}$. Toho využijeme a řešení budeme hledat po jednotlivých blocích. Nechť např.~první blok je tvaru \[ \mat{J}_1^1 = \ub{\left(\begin{matrix} \lambda_1 & & & \\ 1 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda_1 \end{matrix}\right)}_{\text{$k$ sloupců}}. \] Potom je třeba řešit soustavu ve tvaru \begin{eqnarray*} (z^1)' & = & \lambda_1 z^1, \\ (z^2)' & = & z^1 + \lambda_1 z^2, \\ &\vdots& \\ (z^k)' & = & z^{k-1} + \lambda_1 z^k. \end{eqnarray*} Přitom klademe $z^i(x) = 0$ pro $i>k$. Provedeme-li další substituci $z^j(x) = \me^{\lambda_1 x} u^j(x)$, převedeme soustavu do tvaru \begin{eqnarray*} (u^1)' & = & 0, \\ (u^2)' & = & u^1, \\ &\vdots& \\ (u^k)' & = & u^{k-1}. \end{eqnarray*} Pro tuto soustavu však snadno nalezneme FS. Ten obsahuje $k$ funkcí \[ u_1(x) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right),\ u_2(x) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ x \end{matrix}\right),\ u_3(x) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ x \\ x^2/2 \end{matrix}\right),\ \ldots,\ u_k(x) = \left(\begin{matrix} 1 \\ x \\ \vdots \\ x^{k-2}/(k-2)! \\ x^{k-1}/(k-1)! \end{matrix}\right). \] Nyní je potřeba provést zpětnou transformaci \[ y_j(x) = \mat{P}^{-1} \cdot \left(\begin{matrix} z_j^1(x) \\ \vdots \\ z_j^k(x) \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right) = \me^{\lambda_1 x} \ \ub{\mat{P}^{-1} \cdot \left(\begin{matrix} u_j^1(x) \\ \vdots \\ u_j^k(x) \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right)}_{=y_{1j}(x)} \qquad \text{pro } j=1,\ldots,k. \] Odtud také vidíme, že řešení je v~požadovaném tvaru, kde $y_{1j}$ je vektorový polynom stupně nejvýše $j-1$. Analogicky se zpracují i ostatní bloky. \end{proof} \end{theorem}