NME01:Kapitola26
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 5. 6. 2021, 16:09, kterou vytvořil Kunzmart (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka s textem „% \wikiskriptum{NME01} \subsection{Kvadraturní vzorce} \begin{itemize} \item kvadraturní vzorce převádí výpočet integrálu na konečnou sumu \(\su…“)
| [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
| PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
| ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu NME01
| součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu NME01 | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:33 | ||
| Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:59 | ||
| Header | editovat | Hlavičkový soubor | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:54 | header.tex | |
| Kapitola1 | editovat | Reprezentace čísel v počítači | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:55 | 01_reprezentace_cisel_v_pocitaci.tex | |
| Kapitola2 | editovat | Chyby | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:55 | 02_chyby.tex | |
| Kapitola3 | editovat | Úlohy lineární algebry | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:30 | 03_ulohy_lin_alg.tex | |
| Kapitola4 | editovat | Řešení soustav Ax - b | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:56 | 03a_reseni_soustav_Ax-b.tex | |
| Kapitola5 | editovat | Vlastní čísla | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:56 | 03b_vlastni_cisla.tex | |
| Kapitola6 | editovat | Determinant | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:57 | 03c_determinant.tex | |
| Kapitola7 | editovat | Aproximace funkcí | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:31 | 04_aproximace_funkci.tex | |
| Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:57 | 04a_interpolace.tex | |
| Kapitola9 | editovat | Čebyševova aproximace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:58 | 04b_cebysevovy_aproximace.tex | |
| Kapitola10 | editovat | Metoda nejmenších čtverců | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:58 | 04c_metoda_nejmensich_ctvercu.tex | |
| Kapitola11 | editovat | Řešení nelineárních rovnic | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:32 | 05_reseni_nelinearnich_rovnic.tex | |
| Kapitola12 | editovat | Bisekce | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:59 | 05a_bisekce.tex | |
| Kapitola13 | editovat | Metoda sečen | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:59 | 05b_metoda_secen.tex | |
| Kapitola14 | editovat | Regula falsi | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:00 | 05c_regula_falsi.tex | |
| Kapitola15 | editovat | Metoda Newton-Raphsonova | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:00 | 05d_newton_raphsonova_metoda.tex | |
| Kapitola16 | editovat | Hledání kořenu polynomu | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:00 | 05e_hledani_korenu_polynomu.tex | |
| Kapitola17 | editovat | Mullerova metoda | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:01 | 05f_mullerova_metoda.tex | |
| Kapitola18 | editovat | Prostá iterace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:01 | 05g_prosta_iterace.tex | |
| Kapitola19 | editovat | Metoda Newton-Raphson pro systémy rovnic | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:01 | 05h_newton_raphsonova_metoda_pro_systemy_rovnic.tex | |
| Kapitola20 | editovat | Hledání extrémů funkcí | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:32 | 06_hledani_extremu_funkci.tex | |
| Kapitola21 | editovat | Metoda zlatého řezu | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:03 | 06a_metoda_zlateho_rezu.tex | |
| Kapitola22 | editovat | Parabolická iterpolace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:04 | 06b_parabolicka_iterpolace.tex | |
| Kapitola23 | editovat | Nelder Meadova metoda | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:09 | 06c_nelder_meadova_metoda.tex | |
| Kapitola24 | editovat | Gradientní metody | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:09 | 06d_gradientni_metody.tex | |
| Kapitola25 | editovat | Numerická integrace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:32 | 07_numericka_integrace.tex | |
| Kapitola26 | editovat | Kvadraturní vzorce | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:09 | 07a_kvadraturni_vzorce.tex | |
| Kapitola27 | editovat | Integrály se singularitami | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:10 | 07b_integraly_se_singularitami.tex | |
| Kapitola28 | editovat | Gaussovy kvadratury | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:20 | 07c_gaussovy_kvadratury.tex | |
| Kapitola29 | editovat | Integrace Monte Carlo | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:20 | 07d_integrace_monte_carlo.tex | |
| Kapitola30 | editovat | Obyčejné diferenciální rovnice | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:33 | 08_obycejne_diferencialni_rce.tex | |
| Kapitola31 | editovat | Eulerova metoda | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:21 | 08a_eulerova_metoda.tex | |
| Kapitola32 | editovat | Metoda středního bodu | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:21 | 08b_metoda_stredniho_bodu.tex | |
| Kapitola33 | editovat | Heunova metoda | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:22 | 08c_heunova_metoda.tex | |
| Kapitola34 | editovat | Runge Kuttovy metody | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:22 | 08d_runge_kuttovy_metody.tex | |
| Kapitola35 | editovat | Metoda leap frog | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:22 | 08e_metoda_leap_frog.tex | |
| Kapitola36 | editovat | Metoda prediktor korektor | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:22 | 08f_metoda_prediktor_korektor.tex | |
| Kapitola37 | editovat | Metoda střelby | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:23 | 08g_metoda_strelby.tex | |
| Kapitola38 | editovat | Metoda konečných diferencí | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:23 | 08h_metoda_konecnych_diferenci.tex | |
| Kapitola39 | editovat | Variační metody | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:23 | 08i_variacni_metody.tex | |
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{NME01} \subsection{Kvadraturní vzorce} \begin{itemize} \item kvadraturní vzorce převádí výpočet integrálu na konečnou sumu \(\sum_{i=0}^{n} c_i f(x_{i}) \approx \mathcal{I}\) \item \uwave{Levostromné pravidlo:} \begin{itemize} \item krok \( \underline{h = x_2 - x_1}, f_1 = f(x_1) \implies \underline{\int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x = h \cdot f_1 + \mathcal{O}(h^{?})} \) \item řád z Taylora: \[ \begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x & \annotateabove{ = }{\( t = x - x_1 \)\hspace{2em}} \int_{0}^{h} f(x_1 + t) \d t = \int_{0}^{h}[f(x_1) + t\cdot f'(x_1) + \frac{t^2}{2}\cdot f''(x_1) + \mathcal{O}(t^3)]\d t \\ & = [f(x_1)\cdot t + \frac{t^2}{2}\cdot f'(x_1) + \frac{t^3}{6}\cdot f''(x_1)]_{0}^{h} = \underline{f(x_1)\cdot h} + \text{\stackengine{\stackgap}{\(\underbrace{\frac{h^2}{2}\cdot f'(x_1)}\)}{\scriptsize\underline{metoda 2. řádu} \(\rightarrow\) celková \underline{chyba 1. řádu}}{U}{l}{F}{T}{\stacktype}} \end{aligned} \] \end{itemize} \item \uwave{Midpoint:} (obdélníková) \begin{itemize} \item vyčíslíme funkci v bodě \(x_3 = \frac{x_2 + x_1}{2} \implies \underline{\int_{x_1}^{x_2}f(x)\d x = h \cdot f(x_3)} + \hookannotateunder{\mathcal{O}(h^3)}{\underline{metoda 3. řádu} \(\rightarrow\) \underline{celková chyba 2. řádu}}\) \item "otevřený vzorec" \end{itemize} \item \uwave{Lichoběžníkové pravidlo:} \begin{itemize} \item krok \(\underline{h = x_2 - x_1} \rightarrow \int_{x_1}^{x_2} f(x) \d x = \frac{h}{2}(f(x_1) + f(x_2)) + \mathcal{ O }(h^{?})\) \item řád z Taylor: \[ \begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2} f(x) \d x & = \int_{0}^{h} f(x_1 + t) \d t = \int_{0}^{h} [f(x_1) + t\cdot f'(x_1) + \frac{t^2}{2}\cdot f''(x_1) + \frac{t^3}{6}\cdot f'''(x_1)]\d t = \\ & = h\cdot f(x_1) + \frac{h^2}{2}\cdot f'(x_1) + \uwave{\frac{h^3}{6}\cdot f''(x_1)} + \frac{h^{4}}{24}\cdot f'''(x_1) = \\ & = \frac{h}{2}\cdot f(x_1) + \frac{h}{2}\cdot \overbrace{\left( f(x_1) + h\cdot f'(x_1) + \underline{\frac{h^2}{2}\cdot f''(x_1)}\right)}^{f(x_1 + h) \equiv f(x_2)} + \hspace{-5em}\overbrace{h^3(\uwave{\frac{1}{3!}} - \underline{\frac{1}{4}})\cdot f''(x_1)}^{\hspace{7em}-\frac{1}{12}h^3\cdot f''(x_1)\quad\leftarrow\text{\underline{ metoda 3. řádu}}} \end{aligned} \] \end{itemize} \uwave{Simpsonovo pravidlo:} \begin{itemize} \item aproximace funkce \(f(x)\) v bodech \(x_1,x_2,x_3\) polynomem 2. stupně \item odvození: \begin{enumerate}[label=\roman*)] \item na intervalu \(\left< x_1, x_3 \right>\) aproximujeme Lagrangeovým polynomem: \[ f(x) \approx L(x) = f_1 \frac{(x-x_3)(x-x_2)}{(x_1-x_3)(x_1-x_2)} + f_2 \frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} + f_3 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} \] \item pro zjednodušení máme ekvidistantní body \[ \implies h \coloneqq x_2 - x_1 = x_3- x_2 \quad\land\quad \underline{t \coloneqq \frac{x-x_1}{h}} \quad\rightarrow \quad \begin{aligned} & x - x_1 = h \cdot t \\ & x - x_2 = h \cdot (t-1) \\ & x - x_3 = h \cdot (t-2) \end{aligned} \] \item \[ \begin{aligned} L(t) & = f_1\cdot \frac{h^2\cdot (t-1) (t-2)}{2h^2} + f_2\cdot \frac{h^2\cdot t (t-2)}{-h^2} + f_3\cdot \frac{h^2\cdot t (t-1)}{2h^2} \\ L(t) & = \frac{f_1}{2}\cdot (t^2 + 3t + 2) - f_2\cdot (t^2 - 2 t)+ \frac{f_3}{2}\cdot (t^2 - t) \end{aligned} \] \item \[ \begin{aligned} \int_{x_1}^{x_3} L(x) \d x & = {\scriptstyle\left\{ \begin{aligned} x-x_1 & = th \\ \d x & = h \d t \end{aligned} \right\}} = h \int_{0}^{2} L(t) \d t = \\ & = h \left[ \frac{f_1}{2}\cdot \left(\frac{t^3}{3} + \frac{3}{2}t^2 + 2t\right) - f_2\cdot \left(\frac{t^3}{3} - t^2\right) + \frac{f_3}{2}\cdot \left(\frac{t^3}{3}- \frac{t^2}{2}\right) \right]_{0}^{2} = \boxed{h\cdot \left(\frac{f_1}{3} + \frac{4}{3}\cdot f_2 + \frac{f_3}{3}\right)} \end{aligned} \] \end{enumerate} \end{itemize} \item \uwave{Rombergova metoda:} \begin{itemize} \item umožňuje zpřesnění kvadraturních vzorců díky iterativní eliminaci chyby \item podstatně snižuje počet bodů, ve kterých musíme funkci vyčíslovat \item \underline{odvození:} \begin{enumerate}[label=\roman*)] \item použijeme lichoběžníkové pravidlo a délku kroku \(\underline{h_n = \frac{b-a}{2^{n-1}}}\) \item budeme chtít eliminovat celkovou chybu lichoběžníkového pravidla, která je úměrná 2. mocnině \(h\) \[ \rightarrow \annotateabove{\mathcal{I}}{přesná hodnota} = \annotateunder{\mathcal{I}_{h}}{přibližná hodnota s krokem délky \(h\)} + Ah^2 + Bh^{4} + \ldots\] \item vyjádříme stejnou integraci s dvojnásobným \hookannotateunder{\text{krokem}}{\(2h\)} \[ \mathcal{ I } = \annotateunder{\mathcal{I}_{2h}}{hrubší výsledek} + A(\annotateabove{2h}{"hrubší"\ rozdělení})^2 + B(2h)^{4} \ldots \] \(\rightarrow\) \underline{vyloučíme chybu u \(h^2\)} \[ \begin{aligned} \mathcal{I} & = \mathcal{I}_{h} + Ah^2 + Bh^{4} & /\cdot \alpha \\ \mathcal{I} & = \mathcal{I}_{h} + 4Ah^2 + 16Bh^{4} & /\cdot \beta \end{aligned} \quad \oplus \implies (\alpha + \beta)\cdot \mathcal{ I } = \alpha\cdot \mathcal{ I }_{h} + \beta\cdot \mathcal{ I }_{2h} + (\alpha + 4\beta)\cdot Ah^2 + (\alpha + 16 \beta) \cdot B h^{4} \] \item chceme splnit podmínky: \[ \alpha + \beta = 1 \quad\land\quad \alpha + 4\beta = 0 \quad\rightarrow\quad \begin{pmatrix}[cc|c] 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}[cc|c] 1 & 1 & \phantom{-}1 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad \begin{aligned} \alpha & = \frac{4}{3} \\ \beta & = - \frac{1}{3} \end{aligned} \] \item výsledek: \(\boxed{\mathcal{I} = \frac{4}{3} \annotateunder{ \mathcal{I}_{h} }{jemnější} - \frac{1}{3}\annotateunder{\mathcal{I}_{2h}}{hrubší} + \mathcal{O}(h^{4})}\) (\ldots složené lichoběžníkové pravidlo) \end{enumerate} \item[\underline{pozn.:}] pokud bychom chtěli dále eliminovat chybu, lze opět vzít krok \(2^{k}\cdot h\) a dále zpřesňovat\\ \(\rightarrow\) \underline{v praxi se používá iterační vzorec} \item[\underline{pozn.:}] chybu lze určit rozdílem mezi iteracemi \(| \mathcal{I}^{(k)} - \mathcal{I}^{(k-1)}| \eqqcolon \varepsilon\) \end{itemize} % TODO: figure here <18-07-20, kunzaatko> % \end{itemize}
