NME01:Kapitola2
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 5. 6. 2021, 15:55, kterou vytvořil Kunzmart (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka s textem „% \wikiskriptum{NME01} \section{Chyby} \begin{itemize} \item zdroje chyb: \begin{enumerate} \item \underline{chyby vstupních dat} = chyby…“)
| [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
| PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
| ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu NME01
| součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu NME01 | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:33 | ||
| Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:59 | ||
| Header | editovat | Hlavičkový soubor | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:54 | header.tex | |
| Kapitola1 | editovat | Reprezentace čísel v počítači | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:55 | 01_reprezentace_cisel_v_pocitaci.tex | |
| Kapitola2 | editovat | Chyby | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:55 | 02_chyby.tex | |
| Kapitola3 | editovat | Úlohy lineární algebry | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:30 | 03_ulohy_lin_alg.tex | |
| Kapitola4 | editovat | Řešení soustav Ax - b | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:56 | 03a_reseni_soustav_Ax-b.tex | |
| Kapitola5 | editovat | Vlastní čísla | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:56 | 03b_vlastni_cisla.tex | |
| Kapitola6 | editovat | Determinant | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:57 | 03c_determinant.tex | |
| Kapitola7 | editovat | Aproximace funkcí | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:31 | 04_aproximace_funkci.tex | |
| Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:57 | 04a_interpolace.tex | |
| Kapitola9 | editovat | Čebyševova aproximace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:58 | 04b_cebysevovy_aproximace.tex | |
| Kapitola10 | editovat | Metoda nejmenších čtverců | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:58 | 04c_metoda_nejmensich_ctvercu.tex | |
| Kapitola11 | editovat | Řešení nelineárních rovnic | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:32 | 05_reseni_nelinearnich_rovnic.tex | |
| Kapitola12 | editovat | Bisekce | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:59 | 05a_bisekce.tex | |
| Kapitola13 | editovat | Metoda sečen | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 15:59 | 05b_metoda_secen.tex | |
| Kapitola14 | editovat | Regula falsi | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:00 | 05c_regula_falsi.tex | |
| Kapitola15 | editovat | Metoda Newton-Raphsonova | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:00 | 05d_newton_raphsonova_metoda.tex | |
| Kapitola16 | editovat | Hledání kořenu polynomu | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:00 | 05e_hledani_korenu_polynomu.tex | |
| Kapitola17 | editovat | Mullerova metoda | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:01 | 05f_mullerova_metoda.tex | |
| Kapitola18 | editovat | Prostá iterace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:01 | 05g_prosta_iterace.tex | |
| Kapitola19 | editovat | Metoda Newton-Raphson pro systémy rovnic | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:01 | 05h_newton_raphsonova_metoda_pro_systemy_rovnic.tex | |
| Kapitola20 | editovat | Hledání extrémů funkcí | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:32 | 06_hledani_extremu_funkci.tex | |
| Kapitola21 | editovat | Metoda zlatého řezu | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:03 | 06a_metoda_zlateho_rezu.tex | |
| Kapitola22 | editovat | Parabolická iterpolace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:04 | 06b_parabolicka_iterpolace.tex | |
| Kapitola23 | editovat | Nelder Meadova metoda | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:09 | 06c_nelder_meadova_metoda.tex | |
| Kapitola24 | editovat | Gradientní metody | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:09 | 06d_gradientni_metody.tex | |
| Kapitola25 | editovat | Numerická integrace | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:32 | 07_numericka_integrace.tex | |
| Kapitola26 | editovat | Kvadraturní vzorce | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:09 | 07a_kvadraturni_vzorce.tex | |
| Kapitola27 | editovat | Integrály se singularitami | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:10 | 07b_integraly_se_singularitami.tex | |
| Kapitola28 | editovat | Gaussovy kvadratury | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:20 | 07c_gaussovy_kvadratury.tex | |
| Kapitola29 | editovat | Integrace Monte Carlo | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:20 | 07d_integrace_monte_carlo.tex | |
| Kapitola30 | editovat | Obyčejné diferenciální rovnice | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:33 | 08_obycejne_diferencialni_rce.tex | |
| Kapitola31 | editovat | Eulerova metoda | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:21 | 08a_eulerova_metoda.tex | |
| Kapitola32 | editovat | Metoda středního bodu | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:21 | 08b_metoda_stredniho_bodu.tex | |
| Kapitola33 | editovat | Heunova metoda | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:22 | 08c_heunova_metoda.tex | |
| Kapitola34 | editovat | Runge Kuttovy metody | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:22 | 08d_runge_kuttovy_metody.tex | |
| Kapitola35 | editovat | Metoda leap frog | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:22 | 08e_metoda_leap_frog.tex | |
| Kapitola36 | editovat | Metoda prediktor korektor | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:22 | 08f_metoda_prediktor_korektor.tex | |
| Kapitola37 | editovat | Metoda střelby | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:23 | 08g_metoda_strelby.tex | |
| Kapitola38 | editovat | Metoda konečných diferencí | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:23 | 08h_metoda_konecnych_diferenci.tex | |
| Kapitola39 | editovat | Variační metody | Kunzmart | 5. 6. 2021 | 16:23 | 08i_variacni_metody.tex | |
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{NME01} \section{Chyby} \begin{itemize} \item zdroje chyb: \begin{enumerate} \item \underline{chyby vstupních dat} = chyby měření, chyby modelu\ldots \item \underline{chyby metody} = chyba v důsledku převodu matematické úlohy na numerickou \item \underline{zaokrouhlovací} = při výpočtech s čísly konečné délky a jejich zaokrouhlením \end{enumerate} \item nechť \( x= \)(přesná hodnota), \( \tilde{x}= \)(přibližná hodnota), definujeme: \begin{itemize} \item \underline{absolutní chyba} \( \boxed{A(x) = |\tilde{x} - x| \le a(x)} \) \ldots odhad absolutní chyby \item \underline{relativní chyba} \( \boxed{R(x) = \frac{A(x)}{|x|} \le r(x)} \) \ldots odhad relativní chyby \hspace{5 em} \( \boxed{r(x)\cong \frac{a(x)}{|\tilde{x}|}} \) \item hodnoty \( x \) pak přibližně určíme jako \( \boxed{x = \tilde{x} \pm a(x) = \tilde{x}(1 \pm r(x))} \)\\ \underline{pozn.:} \begin{itemize} \item v praxi hlavně relativní chyba a vždy bereme nejhorší "scénář" \item relativní chyba \( \rightarrow \) počet platných číslic \end{itemize} \end{itemize} \item \underline{šíření chyb ve výpočtech}: \begin{itemize} \item některé operace mohou výrazně zvýšit relativní chybu \item \underline{sčítání a odečítání}: \( a(x\pm y) = a(x) + a(y) \implies r(x\pm y) = \frac{a(x) + a(y)}{|x\pm y|} \) \begin{itemize} \item pokud \( |x \pm y| \) je velmi malý \( \implies \) silně roste relativní chyba \( r \) ! \item snažíme se vyhnout odečítání dvou blízkých čísel \end{itemize} \item [\underline{př.:}] čísla \( \tunderbrace{1,32483726}_{x\coloneqq} \) a \( \tunderbrace{ 1,32483357 }_{y\coloneqq} \rightarrow x-y = 0,00000369 \rightarrow \) přesnost na 3 cifry \item \underline{násobení a dělení:} \begin{itemize} \item \( a(x\cdot y ) = a(x)\cdot |y| + a(y)\cdot |x| \rightarrow r(x\cdot y)=\frac{a(x\cdot y)}{|x\cdot y|} = \frac{a(x)\cdot |y|}{|x|\cdot |y|}+ \frac{a(y)\cdot|x|}{|x|\cdot|y|} = r(x) + r(y) \) \item \( a(\frac{x}{y}) = \frac{a(x)}{|y|} + |\frac{\tilde{x}}{y}-\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}|\le \frac{a(x)}{|y|} + \frac{|x|a(y)}{|y|^2} = \frac{a(x)|y| + |x|a(y)}{|x|\cdot|y|} \rightarrow r(\frac{x}{y}) = r(x)+r(y) \) \item \underline{násobení a dělení nezvyšují} podstatně chybu! \end{itemize} \item \underline{kvadratická rovnice} \( a x^2+bx+c=0 \) : \( x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\leftarrow \) pokud \( (b^2 \gg ac) \land (b > 0) \implies x_1 = \tunderbrace{\frac{-b+\tilde{b}}{2a}}_{\text{\underline{problém!}}} \) \vspace{-2 em} \begin{itemize} \item pro \( b<0 \) pak získáme lepší výsledky z \( \boxed{x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{c}{a\cdot x_1}} \) \end{itemize} \item \underline{chyby metody:} \begin{itemize} \item souvisí s převedením matematické úlohy do numerické - např. nekonečně malou délku kroku \( \textnormal{d}h \) \\ \underline{nahradíme konečným krokem \( h \) } \item nijak \underline{nesouvisí se zaokrouhlováním} \item \underline{řád metody}: je-li chyba \( \delta x \) veličiny \( x \) úměrná \( \delta x \sim h^{\alpha} \sim \mathcal{O}(h^{\alpha}) \implies \) \underline{číslo \( \alpha \) nazýváme řádem metody} \item k odvození řádu metody užíváme \underline{Taylorův rozvoj} \item [\underline{např.:}] \[ f'(x) \cong \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h} [f(x) + f'(x)\cdot h + f''(x) \frac{h^2}{2} - f(x)] = f'(x) + \text{\stackengine{\stackgap}{\( \underbrace{\frac{f''(x)}{2}\cdot h} \)}{\scriptsize\( \delta x \rightarrow \) \underline{metoda 1. řádu}}{U}{c}{F}{T}{S}}\] \end{itemize} \vspace{-1em} \item \underline{korektnost úlohy:} \begin{itemize} \item úloha je \underline{korektní} \( \Leftrightarrow \) \underline{pro libovolné \( \vec{x} \) existuje} právě jedno \underline{řešení \( \vec{y} \)} \( \land \) řešení "spojitě"\ závisí na vstupních datech \begin{itemize} \item nechť pro posloupnost \( \vec{x}_n \exists \vec{y}_n , \forall n \in \N \), nechť \( \sigma , \rho \) jsou normy \( \implies \vec{x}_n \to^\sigma \vec{x} \land \vec{y}_n \to^\rho \vec{y} \) a pro \( \vec{x}_n \exists_1 \vec{y}_n \Leftarrow \) spojitá závislost řešení na na vstupních datech \item [\underline{pozn.:}] v praxi má smysl řešit i nekorektní úlohu a poté korektně vybrat řešení \end{itemize} \item \underline{podmíněnost úlohy:} \( C_p \) \begin{itemize} \item[=]určuje, za jakých podmínek vzhledem k vstupním datům ještě dostaneme vypovídající výsledek \( \rightarrow C_p \) udává poměr mezi relativní změnou výsledku ku relativní změně dat(vstupních), tj. \[ C_p = \frac{\frac{\|\delta \vec{y}\|}{\|\vec{y}\|}}{\frac{\|\delta \vec{x}\|}{\|\vec{x}\|}} \cong \frac{r(y)}{r(x)} \] \vspace{-5 em} \item \( C_p \sim 1 \)\ldots úloha je dobře podmíněná\\ \( C_p > 100 \)\ldots úloha je špatně podmíněná \item podmíněnost \underline{neznamená} chybu metody! \item [\underline{př.:}] soustava lineárních rovnic s \underline{maticí blízkou singulární} je \underline{špatně podmíněná} \[ \begin{aligned} \left.\begin{aligned} x + \alpha y =& 1 \\ \alpha x + y =& 0 \end{aligned} \right\} \,\rightarrow & \text{ řešením dostaneme } x = \frac{1}{1 - \alpha^2}\,\text{, vstup je hodnota } \alpha \text{ a výstup } x \\ & \implies C_p = \frac{\frac{\|\delta x\|}{\|x\|}}{\frac{\|\delta \alpha\|}{\|\alpha\|}} = \left\| \frac{\alpha}{x} \cdot \frac{\delta x }{\delta \alpha}\right\| \cong \left\| \frac{\alpha}{x}\cdot \frac{\textnormal{d}x}{\textnormal{d}\alpha}\right\| = \left| \frac{\alpha}{\frac{1}{1-\alpha^2}}\cdot \frac{2\alpha}{(1-\alpha^2)^2}\right| = \frac{2\alpha^2}{|1-\alpha^2|}\\ & \rightarrow \text{\scriptsize závěr: pro \( \alpha^2 \to 1 \) je úloha špatně podmíněná!} \end{aligned} \] \end{itemize} \end{itemize} \vspace{-1em} \item \underline{stabilita metody:} \begin{itemize} \item u některých metod se chyby při vyšších iteracích znásobí \\ \( \implies \) ztráta přesnosti a výsledek k ničemu \item vzniká v důsledku zaokrouhlovacích chyb nebo chyb metody \item typicky nestabilní úlohy: \begin{itemize} \item \underline{rekurzivní algoritmy} (počítání mocnin zlatého řezu \( \Phi^{n+1} = \Phi^{n-1} - \Phi^{n} \)) \item \underline{výpočet ODR} - např. Eulerova metoda po chvíli "ustřelí" \end{itemize} \item při volbě metody je třeba dbát na několik faktorů: \begin{itemize} \item řešení s \underline{požadovanou přesností} \( \rightarrow \) sledujeme pro velikost kroku \( h \) \underline{konvergenci} k reálné hodnotě \item \underline{složitost algoritmu} - počet operací \( N \), úměra složitosti \( \sim N^k \) \item \underline{paměťové nároky} \end{itemize} \end{itemize} \end{itemize} \end{itemize}
