Součásti dokumentu 02KVANCV
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV}
\chapter{Spin}
\begin{cvi}
Určete tvar matic operátorů projekce spinu do osy $x,y,z$ v bázi společných vlastních vektorů $\hat S_z$ a $\hat S^2$ pro spin $\frac{1}{2}$.
\end{cvi}
\navod
Spin je moment hybnosti. Společné vlastní vektory $\hat S_z$ a $\hat S^2$ jsou $|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle$ a $|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle$ splňující
\begin{eqnarray}
\nonumber \hat S_z |\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle & = & \pm\frac{\hbar}{2}|\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle,\\
\nonumber \hat S^2 |\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle & = & \frac{3}{4}\hbar^2 |\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle.
\end{eqnarray}
$\hat S_z$ je v bázi svých vlastních vektorů reprezentováno diagonální maticí
$$
S_z = \frac{\hbar}{2} \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right).
$$
Matice $S_x$ a $S_y$ určíme pomocí posunovacích operátorů
$$
\hat S_\pm = \hat S_x \pm i \hat S_y,
$$
jejichž působení na kety $|\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle$ známe (viz. příklad \ref{cvi:alpha}). Matice posunovacích operátorů mají tvar
$$
S_+ = \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right),\quad S_- = S_+^\dagger = \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right).
$$
Odtud už snadno získáme matice operátorů $\hat S_x$ a $\hat S_y$. Výsledek lze zapsat ve tvaru
$$
S_j = \frac{\hbar}{2}\sigma_j,
$$
kde $\sigma_j$ jsou Pauliho matice
$$
\sigma_1 = \left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right),\quad \left( \begin{array}{cc}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{array}
\right),\quad \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right).
$$
\begin{cvi}
Ukažte explicitně, že $S^2=\frac{3}{4}\hbar^2\mathds{1}$.
Porovnejte tento výsledek s $\hat L^2$.
\end{cvi}
\navod
Pro výpočet je vhodné použít komutační a antikomutační relace pro Pauliho matice
$$
[\sigma_i,\sigma_j] = 2i \varepsilon_{ijk}\sigma_k,\qquad \{\sigma_i,\sigma_j\} = 2\delta_{ij} \mathds{1},
$$
ze kterých plyne vztah
$$
\sigma_i\sigma_j = \frac{1}{2}\left(\frac{}{}[\sigma_i,\sigma_j] + \{\sigma_i,\sigma_j\}\right) = \delta_{ij} \mathds{1} + i \varepsilon_{ijk}\sigma_k.
$$
Porovnání s $\hat L^2$ - odpovídající $l$ pro spin je $\frac{1}{2}$, tj. spin elektronu je poločíselný.
\begin{cvi}
Napište vlnovou \fc i $\Psi(\vex,)$ základního stavu elektronu ve vodíku s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$.
\end{cvi}
\navod
Bez spinu je základní stav popsán vlnovou funkcí $\psi_1(r) = C e^{-\frac{r}{a}}$. Protože $\hat H$ je ve spinovém prostoru diagonální, bude mít základní stav stejnou energii, jako když spin neuvažujeme, a odpovídající vlastní vektor má tvar $\Psi_{1,i}(r) = C e^{-\frac{r}{a}} \left( a, b\right)^T$. Koeficienty $a, b$ určíme tak, aby to byl současně vlastní vektor odpovídající složky spinu $\hat{S}_i$. Výsledek:
$$
\Psi_{1,z+}(r) = C e^{-\frac{r}{a}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right), \quad \Psi_{1,x+}(r) = \frac{C}{\sqrt{2}} e^{-\frac{r}{a}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right), \quad \Psi_{1,y+}(r) = \frac{C}{\sqrt{2}} e^{-\frac{r}{a}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
i \\
\end{array}
\right)
$$
\begin{cvi}
Jakým vektorem z $\mathcal{H} = \mathds{C}^2$ můžeme popsat spin elektronu, jestliže víme, že má kladnou (zápornou) projekci spinu do směru $\vec{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$?
\end{cvi}
\navod
Hledáme vlastní vektory operátoru
$$\vec{n}\cdot\vec{\sigma} = \left( \begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta e^{-i\varphi} \\
\sin\theta e^{i\varphi} & -\cos\theta \\
\end{array}
\right)$$
s vlastními čísly $\pm 1$. Řešení je (včetně normalizace)
$$\psi_{\vec{n}+} = \left(
\begin{array}{c}
e^{-i\frac{\varphi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \\
e^{i\frac{\varphi}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}} \\
\end{array}
\right),\quad \psi_{\vec{n}-} = \left(
\begin{array}{c}
e^{-i\frac{\varphi}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}} \\
- e^{i\frac{\varphi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \\
\end{array}
\right).$$
\begin{cvi}
Nechť pro volnou \cc i se spinem $1/2$ je naměřena hodnota z--ové složky spinu
$s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu do směru $\vec{n}$ daného prostorovými úhly $\theta,\varphi$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota projekce spinu do směru $\vec{n}$?
\end{cvi}
\navod
Stav spinu po měření do osy $z$ je dán vektorem $\psi_{z+} = (1,0)^T$. Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné (záporné) hodnoty projekce spinu do směru $\vec{n}$ je dána skalárním součinem $\psi_{z+}$ s příslušným vlastním vektorem (viz. předchozí příklad). Pravděpodobnosti jsou nezávislé na úhlu $\varphi$, výsledek je
$$P_+=\frac{1}{2}(1 + \cos \theta),\qquad P_-=\frac{1}{2}(1 - \cos \theta).$$
Střední hodnota je rovna
$$
\langle\vec{n}\cdot\hat{\vec{S}}\rangle_{z+} = \frac{\hbar}{2}\cos\theta.
$$
\begin{cvi}
Částice se spinem $1/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli $\vec{B}=(0,0,B)$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota x-ové složka spinu částice $+\hbar/2$. Jakým vektorem bude popsán stav částice v čase $t>0$? S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její x-ové složky spinu $+\hbar/2$ (resp. $-\hbar/2$)? Jak se s časem mění střední hodnota projekce spinu do osy $x$?
\end{cvi}
\navod
Hamiltonián částice je roven
$$
\hat H = \mu_0 \vec{B}\cdot\vec{\sigma} = \mu_0 B\sigma_3.$$
Jeho vlastní čísla jsou $\pm \mu_0 B$, příslušné vlastní vektory $\psi_{z\pm}$.
Stav v čase $t>0$ je dán jako řešení Schr\"odingerovy rovnice
$$
\hat H \psi = i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t},
$$
s počáteční podmínkou
$$
\psi(t=0) = \psi_{x+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{z+} + \psi_{z-}).
$$
V našem případě tak dostaneme (označíme $\omega = \frac{\mu_0 B}{\hbar}$)
$$
\psi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-i\omega t}\psi_{z+} + e^{i\omega t}\psi_{z-}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} e^{-i\omega t} \\ e^{i\omega t} \\ \end{array} \right).
$$
Pravděpodobnosti naměření kladné (záporné) projekce spinu do osy $x$ v čase $t$ jsou rovny
\begin{eqnarray}
\nonumber P_+ & = & |(\psi_{x+},\psi(t))|^2 = \frac{1}{2} \left(1 + \cos\left(2\omega t\right) \right), \\
\nonumber P_- & = & |(\psi_{x-},\psi(t))|^2 = \frac{1}{2} \left(1 - \cos\left(2\omega t\right) \right).
\end{eqnarray}
Střední hodnota projekce spinu do osy $x$ v čase $t$ je
$$
\langle\hat{S}_x\rangle(t) = \frac{\hbar}{2} (P_+ - P_-) = \frac{\hbar}{2}\cos(2\omega t).
$$
\begin{cvi}
Ukažte, že pokud výraz $\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]$
definujeme pomocí řady
$$
\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec
a\cdot\vec\sigma)^n}{n!},
$$
pak platí
$$
\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]=\cos (|\vec a|)\mathds{1} +i\frac{\vec
a\cdot\vec\sigma}{|\vec a|}\sin(|\vec a|).
$$
\end{cvi}
\navod
Spočtěte nejprve $(\vec a\cdot\vec\sigma)^2$ a povšimněte si, že je to násobek jednotkové matice, pak sumu rozdělte na součet přes sudé a liché indexy.
\begin{cvi}
Částice se spinem $1/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli \\ $\vec{B}=(B,0,0)$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota její z-ové složky spinu $+\hbar/2$. S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její y-ové složky spinu $+\hbar/2$? Jak se s časem mění střední hodnota projekce spinu do osy $z$?
\end{cvi}
\navod
Počáteční stav spinu je popsán vektorem
$$
\psi(t=0) = \psi_{z+} = \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right).
$$
V čase $t>0$ má řešení Pauliho rovnice v homogenním magnetickém poli tvar
$$
\psi(t) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\mu_0\vec{\sigma}\cdot\vec{B}t\right)\psi(0).
$$
V našem případě dostaneme (označíme $\omega = \frac{\mu_0}{\hbar}B$)
$$
\psi(t) = \left(\cos(\omega t) \mathds{1} - i \sin(\omega t)\sigma_1\right)\psi(0) = \left(
\begin{array}{c}
\cos(\omega t) \\
-i\sin(\omega t) \\
\end{array}
\right).
$$
Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné projekce spinu do osy $y$ v čase $t$ je dána skalárním součinem $\psi(t)$ a $\psi_{y+}$. Výsledná pravděpodobnost je rovna
$$P_{S_y=\frac{\hbar}{2}} = \frac{1}{2} \left(1 - \sin\left(2\omega t\right) \right) .$$
Střední hodnota projekce spinu do osy $z$ v čase $t$ je
$$
\langle\hat{S}_z\rangle(t) = \frac{\hbar}{2}\psi^\dagger(t)\sigma_z\psi(t) = \frac{\hbar}{2}\cos(2\omega t).
$$
\begin{cvi}
Najděte energie a vlnové funkce základního a prvního excitovaného
stavu dvou nerozlišitelných částic se spinem 0, respektive 1/2, v poli isotropního harmonického oscilátoru.
\end{cvi}
\navod
\begin{itemize}
\item Spin 0:
\begin{itemize}
\item základní stav - $E=3\hbar\omega$, nedegenerovaný
\item 1. excitovaný stav - $E=4\hbar\omega$, degenerace 3
\end{itemize}
\item Spin 1/2:
\begin{itemize}
\item základní stav - $E=3\hbar\omega$, nedegenerovaný
\item 1. excitovaný stav - $E=4\hbar\omega$, degenerace 12
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{cvi}
Uvažujte soustavu dvou různých částic se spinem $\frac{1}{2}$. Jaké jsou možné hodnoty celkového momentu hybnosti soustavy? Napište vlastní vektory $\hat J^2$ a $\hat J_3$ pomocí standardních bazí $|\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\rangle$ pro jednotlivé spiny.
\end{cvi}
\navod
Operátor celkového momentu hybnosti je
$$
\hat J_k = \hat S_k^{(1)} + \hat S_k^{(2)},
$$
kde $\hat S_k^{(j)}$ je operátor spinu $j$-té částice
$$
\hat S_k^{(1)} = \hat S_k\otimes\mathds{1},\quad \hat S_k^{(2)} = \mathds{1} \otimes\hat S_k.
$$
Společné vlastní vektory $\hat J^2$ a $\hat J_3$ splňují vztahy
$$
\hat J^2|j,m\rangle = \hbar^2 j(j+1)|j,m\rangle,\quad \hat J_3|j,m\rangle = m\hbar |j,m\rangle.
$$
Pro dva spiny $\frac{1}{2}$ může $j$ nabývat hodnot $j=1$ a $j=0$. Odpovídající vlastní vektory se získají postupem pro skládání momentů hybnosti, mají následující tvar
\begin{itemize}
\item $j=1$ \begin{eqnarray}
\nonumber |1,1\rangle & = & |\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle\otimes|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle, \\
\nonumber |1,0\rangle & = & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle\otimes |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle + |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle\otimes |\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle\right),\\
\nonumber |1,-1\rangle & = & |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle\otimes |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle,
\end{eqnarray}
\item $j=0$ $$|0,0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle\otimes |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle - |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle\otimes |\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle\right).$$
\end{itemize}
\begin{cvi}
Uvažujte soustavu dvou různých částic se spinem $\frac{1}{2}$. Jejich hamiltonián je dán vztahem
$$
H = \frac{\varepsilon_0}{\hbar^2} \left( \left. \hat{S}_x^{(1)}\right.^2 + \left. \hat{S}_y^{(1)}\right.^2 + \left. \hat{S}_x^{(2)}\right.^2 + \left. \hat{S}_y^{(2)}\right.^2 + 2 \hat{S}_x^{(1)} \hat{S}_x^{(2)} + 2 \hat{S}_y^{(1)} \hat{S}_y^{(2)} \right).
$$
Najděte možné hodnoty energie a příslušné vlastní vektory.
\end{cvi}
\navod
Můžeme zkonstruovat matici hamiltoniánu v bázi získané tenzorovými součiny z vlastních vektorů $\hat{S}_z$
\begin{eqnarray}
\bigg\{ && |\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle\otimes|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle, \notag \\
&& |\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle\otimes|\frac{1}{2},\frac{-1}{2}\rangle, \notag \\
&& |\frac{1}{2},\frac{-1}{2}\rangle\otimes|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle, \notag \\
&& |\frac{1}{2},\frac{-1}{2}\rangle\otimes|\frac{1}{2},\frac{-1}{2}\rangle \bigg\}, \notag
\end{eqnarray}
která má tvar
$$
H = \varepsilon_0\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right),
$$
a vyřešit úlohu na vlastní čísla. Elegantnější postup je využít skládání momentů hybnosti. Pomocí vztahu
$$
\hat J^2 = \hat S^{(1)^{2}} + 2\hat{\vec S^{(1)}}\cdot \hat{\vec S^{(2)}} + \hat S^{(2)^{2}},
$$
snadno přepíšeme hamiltonián do tvaru
$$
\hat H = \frac{\varepsilon_0}{\hbar^2}\left(\hat J^2 - \hat J_z^2\right).
$$
Odtud už je vidět, že vlastní vektory celkového momentu hybnosti $|j,m\rangle$ jsou i vlastní vektory hamiltoniánu
$$
\hat H|j,m\rangle = \varepsilon_0\left(j(j+1)-m^2\right)|j,m\rangle.
$$
Tento vztah platí pro jakoukoli velikost spinů částic. Pro dva spiny $\frac{1}{2}$ jsou možné hodnoty $j,m$ uvedeny v předchozím příkladě. Příslušné energie $E_{j,m}$ pak jsou
$$
E_{1,1} = E_{1,-1} = \varepsilon_0,\quad E_{1,0} = 2\varepsilon_0, \quad E_{0,0} = 0.
$$
