02KVANCV:Kapitola10
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 29. 8. 2013, 15:12, kterou vytvořil Steffy (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Spin} \begin{cvi} Ukažte že $\hat S^2=\frac{3}{4}\hbar^2\unit$. Porovnejte tento výsledek s $\hat L^2$. \end{cvi} \navod Pro výpoče...)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Spin} \begin{cvi} Ukažte že $\hat S^2=\frac{3}{4}\hbar^2\unit$. Porovnejte tento výsledek s $\hat L^2$. \end{cvi} \navod Pro výpočet je vhodné použít komutační a antikomutační relace pro Pauliho matice $$ [\sigma_i,\sigma_j] = 2i \varepsilon_{ijk}\sigma_k,\qquad \{\sigma_i,\sigma_j\} = 2\delta_{ij} I, $$ ze kterých plyne vztah $$ \sigma_i\sigma_j = \frac{1}{2}\left(\frac{}{}[\sigma_i,\sigma_j] + \{\sigma_i,\sigma_j\}\right) = \delta_{ij} I + i \varepsilon_{ijk}\sigma_k. $$ Porovnání s $\hat L^2$ - odpovídající $l$ pro spin je $\frac{1}{2}$, tj. spin elektronu je ``poločíselný''. \begin{cvi} Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu elektronu ve vodíku s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$. \end{cvi} \navod Bez spinu je základní stav popsán vlnovou funkcí $\psi_1(r) = C e^{-\frac{r}{a}}$. Protože $\hat H$ je ve spinovém prostoru diagonální, bude mít základní stav stejnou energii, jako když spin neuvažujeme, a odpovídající vlastní vektor má tvar $\psi_{1,i}(r) = C e^{-\frac{r}{a}} \left( a, b\right)^T$. Koeficienty $a, b$ určíme tak, aby to byl současně vlastní vektor odpovídající složky spinu $\hat{S}_i$. Výsledek: $$ \psi_{1,z+}(r) = C e^{-\frac{r}{a}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right), \quad \psi_{1,x+}(r) = \frac{C}{\sqrt{2}} e^{-\frac{r}{a}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right), \quad \psi_{1,y+}(r) = \frac{C}{\sqrt{2}} e^{-\frac{r}{a}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ i \\ \end{array} \right) $$ \begin{cvi} Jakým vektorem můžeme popsat spin elektronu, jestliže víme, že má kladnou (zápornou) projekci spinu do směru $\vec{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$? \end{cvi} \navod Hledáme vlastní vektory operátoru $$\vec{n}\cdot\vec{\sigma} = \left( \begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta e^{-i\varphi} \\ \sin\theta e^{i\varphi} & -\cos\theta \\ \end{array} \right)$$ s vlastními čísly $\pm 1$. Řešení je (včetně normalizace) $$\psi_{\vec{n}+} = \left( \begin{array}{c} e^{-i\frac{\varphi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \\ e^{i\frac{\varphi}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}} \\ \end{array} \right),\quad \psi_{\vec{n}-} = \left( \begin{array}{c} e^{-i\frac{\varphi}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}} \\ - e^{i\frac{\varphi}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} \\ \end{array} \right).$$ \begin{cvi} Nechť pro volnou \cc i se spinem $1/2$ je naměřena hodnota z--ové složky spinu $s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu do směru $\vec{n}$ daného prostorovými úhly $\theta,\varphi$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota projekce spinu do směru $\vec{n}$? \end{cvi} \navod Stav spinu po měření do osy $z$ je dán vektorem $\psi_{z+} = (1,0)^T$. Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné (záporné) hodnoty projekce spinu do směru $\vec{n}$ je dána skalárním součinem $\psi_{z+}$ s příslušným vlastním vektorem (viz. předchozí příklad). Pravděpodobnosti jsou nezávislé na úhlu $\varphi$, výsledek je $$P_+=\frac{1}{2}(1 + \cos \theta),\qquad P_-=\frac{1}{2}(1 - \cos \theta).$$ Střední hodnota je rovna $$ \langle\vec{n}\cdot\hat{S}\rangle_{z+} = \frac{\hbar}{2}\cos\theta. $$ \begin{cvi} Ukažte, že pokud výraz $\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]$ definujeme pomocí řady $$ \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec a\cdot\vec\sigma)^n}{n!}, $$ pak platí $$ \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]=\cos (|\vec a|)\mathds{1} +i\frac{\vec a\cdot\vec\sigma}{|\vec a|}\sin(|\vec a|). $$ \end{cvi} \navod Spočtěte nejprve $(\vec a\cdot\vec\sigma)^2$ a povšimněte si, že je to násobek jednotkové matice, pak sumu rozdělte na součet přes sudé a liché indexy. \begin{cvi} Částice se spinem $1/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli \\ $\vec{B}=(B,0,0)$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota její z-ové složky spinu $+\hbar/2$. S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její y-ové složky spinu $+\hbar/2$? Jak se s časem mění střední hodnota projekce spinu do osy $z$? \end{cvi} \navod Počáteční stav spinu je popsán vektorem $$ \psi(t=0) = \psi_{z+} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right). $$ V čase $t>0$ má řešení Pauliho rovnice v homogenním magnetickém poli tvar $$ \psi(t) = \exp\left(\frac{i}{\hbar}\mu_0\vec{\sigma}\cdot\vec{B}t\right)\psi(0). $$ V našem případě dostaneme (označíme $\omega = \frac{\mu_0}{\hbar}B$) $$ \psi(t) = \left(\cos(\omega t) \mathds{1} + i \sin(\omega t)\sigma_1\right)\psi(0) = \left( \begin{array}{c} \cos(\omega t) \\ i\sin(\omega t) \\ \end{array} \right). $$ Amplituda pravděpodobnosti naměření kladné projekce spinu do osy $y$ v čase $t$ je dána skalárním součinem $\psi(t)$ a $\psi_{y+}$. Výsledná pravděpodobnost je rovna $$P_{S_y=\frac{\hbar}{2}} = \frac{1}{2} \left(1 + \sin\left(2\omega t\right) \right) .$$ Střední hodnota projekce spinu do osy $z$ v čase $t$ je $$ \langle\hat{S}_z\rangle(t) = \frac{\hbar}{2}\psi^\dagger(t)\sigma_z\psi(t) = \frac{\hbar}{2}\cos(2\omega t). $$