02KVANCV:Kapitola7
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 29. 8. 2013, 15:11, kterou vytvořil Steffy (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Posunovací operátory} \begin{cvi} \label{shift:L} Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat ...)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Posunovací operátory} \begin{cvi} \label{shift:L} Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \end{cvi} \vysl $\hat{L}^{2}= \hat L_{+} \hat L_{-}+\hat{L}^2_{3}-\hbar \hat{L}_{3} = \hat L_{-} \hat L_{+}+\hat{L}^2_{3}+\hbar \hat{L}_{3} .$ \begin{cvi} Posunovací operátory momentu hybnosti působí na kulové funkce způsobem $$ \hat L_\pm |l,m\rangle = \alpha^\pm_{lm}|l,m\pm 1\rangle, $$ Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \end{cvi} \navod Snadno lze nalézt s využitím předchozího cvičení $|\alpha^\pm_{lm}|^2$ (obložte předchozí výsledek $\langle l,m|$ a $|l,m\rangle$ a uvědomte si, že kulové funkce jsou vlastní funkce $\hat L^2$, $\hat L_{3}$). Výsledek je $$|\alpha^{+}_{lm}|^2=\hbar^2 [l(l+1)-m(m+1)] , \; |\alpha^{-}_{lm}|^2= \hbar^2 [l(l+1)-m(m-1)].$$ Fáze $\alpha^\pm_{lm}$ neplyne z algebry operátorů, závisí na konkrétní volbě fází $Y_{l,m}$, pro standardní volbu uvedenou ve ``slabikáři'' jsou $\alpha^\pm_{lm}$ reálné. \begin{cvi} Kreační a anihilační operátory působí na vlastní funkce operátoru energie harmonického oscilátoru způsobem $$ \hat a_\pm|n\rangle=\alpha^\pm_n|n\pm 1\rangle . $$ Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$. Ukažte, že platí následující vztahy $$ \hat a_+\hat a_-|n\rangle=n |n\rangle,\qquad |n\rangle = \frac{\hat a_+^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle . $$ \end{cvi} \navod Obložte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_-\hat a_+ - \frac{1}{2}) $, resp. $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ vlastní funkcí harmonického oscilátoru (obdobně jako v předchozím cvičení), výsledek: $$\alpha^+_n = \sqrt{n+1}, \; \alpha^-_n = \sqrt{n}.$$ Ohledně fáze platí stejný komentář jako výše. V druhé části využijte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ a právě spočítané koeficienty $\alpha^\pm_n$. \begin{cvi} Najděte vlastní vektory anihilačního operátoru jednorozměrného harmonického oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ (koherentní stavy). \end{cvi} \navod Vlastní vektory jsou řešení rovnice $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x + \frac{d}{dx}\right)\psi_\alpha(x) = \alpha \psi_\alpha(x).$$ Řešení existuje pro každé $\alpha\in\mathds{C}$ a má tvar $$\psi_\alpha(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}} e^{\frac{\alpha^2-|\alpha|^2}{2}} e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}}.$$