02KVANCV:Kapitola8: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 98: | Řádka 98: | ||
\end{cvi} | \end{cvi} | ||
\navod | \navod | ||
− | Nezapomeňte, že energie $\frac{5}{2}\hbar\omega$ třírozměrného harmonického oscilátoru je degenerovaná, musíte spočítat pravděpodobnosti přechodu do jednotlivých ortogonálních vlastních stavů příslušných k této energii a pak je sečíst. Výsledná pravděpodobnost: $\frac{p^2}{2}e^{-\frac{p^2}{ | + | Nezapomeňte, že energie $\frac{5}{2}\hbar\omega$ třírozměrného harmonického oscilátoru je degenerovaná, musíte spočítat pravděpodobnosti přechodu do jednotlivých ortogonálních vlastních stavů příslušných k této energii a pak je sečíst. Výsledná pravděpodobnost: $\frac{p^2}{2}e^{-\frac{p^2}{2}}$. |
\begin{cvi} | \begin{cvi} |
Verze z 12. 12. 2013, 13:10
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Výsledky měření} \begin{cvi} \label{shpmvb} Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}). \end{cvi} \vysl $\langle \hat{Q}_{i} \rangle_\psi = \frac{{\rm Re} B_i}{2 {\rm Re} A}$ \begin{cvi}\label{shhmvb} Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}). Napište tvar vlnové \fc e \rf{mvb}) popisující vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$. \end{cvi} \vysl $\langle \hat{P}_{i} \rangle_\psi = - i \hbar (B_i - A \frac{{\rm Re} B_i}{{\rm Re} A}) \stackrel{A \in {\real}}{=} \hbar {\rm Im} B_i$ \\ Vlnový balík: $$\psi(x,t) = C \chi(t)^{-\frac{3}{2}} e^{-\frac{\vec{B}^2}{4 A}} e^{-A\frac{(\vec{x}- \frac{\vec{B}}{2 A})^2}{\chi(t)}},$$ kde $\vec{B} = 2 A \vec{x}_0 + \frac{i}{\hbar} \vec{p}_0 $. \begin{cvi} Elektron v atomu vodíku je v základním stavu. Jaká je jeho střední vzdálenost od jádra? Jaké jsou střední hodnoty složek hybnosti elektronu? \end{cvi} \navod Vlnová funkce základního stavu je elektronu je $$ \psi(x,y,z) = C e^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}} . $$ Funkci je třeba převést do sférických souřadnic, vzít absolutní hodnotu na druhou, vynásobit jakobiánem a vyintegrovat přes prostorové úhly. Hustota pravděpodobnosti nalezení elektronu ve vzdálenosti $r$ od jádra je pak rovna $$ w(r) = \frac{4}{a_0^3}r^2 e^{-\frac{2r}{a_0}} . $$ Střední vzdálenost elektronu od jádra je $$ \langle r\rangle_\psi = \int\limits_0^{\infty} r w(r) dr = \frac{3}{2}a_0 . $$ Pro určení středních hodnot složek hybnosti je vhodné využít tvar $\hat{P}_{i}$ ve sférických souřadnicích (viz cvičení \ref{komut}). Výsledek je $\langle \hat{P}_{i} \rangle_\psi=0$, jak lze ostatně očekávat ze symetrie vlnové funkce. \begin{cvi} Určete pravděpodobnostní rozdělení hybností částice popsané vlnovou \fc í $$ \psi(x)=C e^{-\vec x^2 + \frac{i}{\hbar} \vec{p}_0\cdot \vec{x}}. $$ Čemu je rovna pravděpodobnost nalezení hybnosti v intervalu $J = (a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$? Jaká je střední hodnota hybnosti částice? \end{cvi} \vysl Rozdělení hybností částice ve stavu $\psi$ je dáno vztahem $$ w_\psi(\vec{p}) = \frac{|(\psi_{\vec{p}},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}, $$ kde $\psi_{\vec{p}}$ jsou zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti normované k $\delta$-funkci. Výsledkem je Gasussovo normální rozdělení $$ w_\psi(\vec{p}) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\hbar\right)^3}e^{-\frac{(\vec{p}-\vec{p}_0)^2}{2\hbar^2}}. $$ Pravděpodobnost naměření hybnosti částice v intervalu $J$ je rovna integrálu z hustoty pravděpodobnosti přes daný interval. Střední hodnota hybnosti je $\vec{p}_0$. \begin{cvi} Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $$ \psi(x) = C x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} $$ S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$? \end{cvi} \navod Snadno zjistíme, že stav je superpozicí vlastních vektorů hamiltoniánu $$ \psi = \sqrt{\frac{1}{3}}\psi_0 + \sqrt{\frac{2}{3}}\psi_2. $$ Lze tedy naměřit energie $\half\hbar\omega$ a $\frac{5}{2}\hbar\omega$ s pravděpodobnostmi $P_0 = \frac{1}{3}$ a $P_2 = \frac{2}{3}$. Energii $\hbar \omega$ nelze naměřit (není ve spektru). \begin{cvi} Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v koherentním stavu s amplitudou $\alpha$. S jakou pravděpodobností naměříme hodnotu energie rovnu $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$? \label{koh:2} \end{cvi} \navod Pravděpodobnost naměření hodnoty $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ je dána výrazem $P_n = |\langle\alpha|n\rangle|^2$. S použitím vztahu $|n\rangle = \frac{\hat a_+^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle$ dostaneme pro amplitudu pravděpodobnosti $$\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\langle 0|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!\pi}}e^{\frac{\alpha^2-|\alpha|^2}{2}}\int_\mathds{R} e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}} dx = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}$$ takže pravděpodobnost naměření energie $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ je $$P_n = \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} e^{-|\alpha|^2}.$$ Pravděpodobnost je tedy dána Poissonovým rozdělením s parametrem $\lambda = |\alpha|^2$. S použitím výsledku pro $\langle n|\alpha\rangle$ můžeme rozepsat koherentní stav do báze vlastních vektorů hamiltoniánu $$|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.$$ \begin{cvi} Isotropní oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $$ \psi(x)=C e^{-\frac{\vec x^2}{2} + i \vec{p}\cdot\vec{x}} . $$ S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$? \end{cvi} \navod Nezapomeňte, že energie $\frac{5}{2}\hbar\omega$ třírozměrného harmonického oscilátoru je degenerovaná, musíte spočítat pravděpodobnosti přechodu do jednotlivých ortogonálních vlastních stavů příslušných k této energii a pak je sečíst. Výsledná pravděpodobnost: $\frac{p^2}{2}e^{-\frac{p^2}{2}}$. \begin{cvi} Nechť \cc e je popsána vlnovou \fc í $$ \psi(x,y,z) = (2x + iy + z)\exp (-\alpha\sqrt{x^2+y^2+z^2}). $$ Jaké hodnoty kvadrátu momentu hybnosti můžeme naměřit? Jaké hodnoty $z$-ové složky momentu hybnosti můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Návod: zapište $\psi$ pomocí kulových \fc í. \end{cvi} \navod Převeďte vlnovou funkci do sférických souřadnic. Funkce má tvar $f(r) \Psi(\theta,\varphi)$. Úhlová část vlnové funkce je lineární kombinací kulových funkcí s $l=1$ $$ \Psi = \frac{1}{\sqrt{12}} Y_{1-1} + \frac{1}{\sqrt{6}} Y_{10} - \sqrt{\frac{3}{4}} Y_{11}, $$ lze tedy naměřit jen $l=1$. Projekce momentu hybnosti do osy $z$ mohou nabývat hodnot $L_z = -\hbar,0,\hbar$, s pravděpodobnostmi $$ P_{-1} = \frac{1}{12},\quad P_0 = \frac{1}{6},\quad P_1 = \frac{3}{4}. $$ \begin{cvi} Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $$ \psi=(4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\theta+\cos\theta )g(r). $$ Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota $L_z$ v tomto stavu? Jaká je střední hodnota $x$-ové složky momentu hybnosti? \end{cvi} \navod Úhlová část vlnové funkce je superpozice kulových funkcí $Y_{11}$ a $Y_{10}$. Lze tedy naměřit $L_z=0$ a $L_z = \hbar $ s pravděpodobnostmi $P_0 = \frac{1}{3}$ a $P_1 = \frac{2}{3}$. Střední hodnota $L_z$ je $\frac{2 \hbar}{3} $. Pro výpočet střední hodnoty $x$-ové složky momentu hybnosti je vhodné rozepsat $\hat{L}_x$ pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_{\pm}$ (viz. cvičení \ref{shift:L}). Výsledek je $\langle\hat{L}_x\rangle_\Psi = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\hbar$. \begin{cvi} \ll{dpx} Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové části-ce při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}). Ukažte, že pokud $A>0$, pak pro tento stav platí $$ \Delta_{\psi}(\hat Q_{\underline k})\Delta_{\psi}(\hat P_{\underline k})=\frac{\hbar}{2} \ll{dxdp} $$ \end{cvi} \navod Snadno určíme $$\langle \hat Q_j \rangle_\psi = \frac{{\rm Re} B_j}{2{\rm Re} A},\qquad \langle \hat Q_j^2 \rangle_\psi = \frac{1}{4{\rm Re}A}+\left(\frac{{\rm Re} B_j}{2 {\rm Re}A}\right)^2.$$ Po dosazení do patřičného vzorce je tedy (porovnejte s výsledkem příkladu \ref{vlnbal:pr}) $$\Delta_\psi(\hat Q_j)= \sqrt{\frac{1}{4 {\rm Re}A }}.$$ Obdobně najdete $$\Delta_\psi(\hat P_j)= \hbar \sqrt{{\rm Re}A + \frac{({\rm Im}A)^2}{{\rm Re}A}}.$$ Součin středních kvadratických odchylek je tedy roven $$ \Delta_\psi(\hat Q_j)\Delta_\psi(\hat P_j) = \frac{\hbar}{2}\sqrt{1+\left(\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A}\right)^2}. $$ Pro ${\rm Im}A=0$ stav minimalizuje relace neurčitosti. \begin{cvi} Ukažte, že v jednorozměrném případě podmínka $$ [\hat A - <\hat A>_{\psi} - i\alpha(\hat B -<\hat B>_{\psi})]\psi=0,\quad \alpha\in\mathrm{R} $$ pro operátory $\hat A = \hat Q,\hat B =\hat P$ je integrodiferenciální rovnicí, jejímiž jedinými řešeními jsou funkce %\rf{mvb}) \[ \psi( x)=C\exp[-Ax^2+B x],\quad A>0 \] \end{cvi} \navod Prozatím si označte $\langle \hat Q \rangle_{\psi}=x_0, \, \langle \hat P \rangle_{\psi}=p_0$ a najděte řešení patřičné diferenciální rovnice $$x \psi - x_0 \psi - i \alpha ( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi - p_0 \psi)=0 .$$ Na závěr určete vztah mezi $\alpha$, integrační konstantou a $x_0,p_0$ nalezením středních hodnot $\langle \hat Q \rangle_{\psi}$, $\langle \hat P \rangle_{\psi}$ a jejich porovnáním s $x_0,p_0$ (můžete využít výsledek cvičení \ref{shpmvb}, \ref{shhmvb}).