Verze z 11. 9. 2017, 09:56

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVANCV}
 
\chapter{Výsledky měření}
 
\begin{cvi}
Částice na přímce je ve stavu popsaném vlnovou funkcí 
$$
\psi(x) = C e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma^2}+\frac{i}{\hbar}p_0 x}.
$$
Určete střední hodnoty a střední kvadratické odchylky polohy a hybnosti.
\end{cvi}
\vysl
$$
\langle\hat Q\rangle_\psi = x_0,\quad \Delta_\psi \hat Q = \sigma, \quad \langle\hat P\rangle_\psi = p_0,\quad \Delta_\psi \hat P = \frac{\hbar}{2\sigma}
$$
Stav mimimalizuje relace neurčitosti.
 
 
\begin{cvi}
Elektron v atomu vodíku je v základním stavu. Jaká je jeho střední vzdálenost od jádra? Jaké jsou střední hodnoty složek hybnosti elektronu?
\end{cvi}
\navod
Vlnová funkce základního stavu elektronu je
$$
\psi(x,y,z) = C e^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}} .
$$
Funkci je třeba převést do sférických souřadnic, vzít absolutní hodnotu na druhou, vynásobit jakobiánem a vyintegrovat přes prostorové úhly. Hustota pravděpodobnosti nalezení elektronu ve vzdálenosti $r$ od jádra je pak rovna
$$
w(r) = \frac{4}{a_0^3}r^2 e^{-\frac{2r}{a_0}} .
$$
Střední vzdálenost elektronu od jádra je
$$
\langle r\rangle_\psi = \int\limits_0^{\infty} r w(r) dr = \frac{3}{2}a_0 .
$$
Pro určení středních hodnot složek hybnosti je vhodné využít tvar $\hat{P}_{i}$ ve sférických souřadnicích (viz cvičení \ref{komut}). Výsledek je $\langle \hat{P}_{i} \rangle_\psi=0$, jak lze ostatně očekávat ze symetrie vlnové funkce.
 
\begin{cvi}
Určete pravděpodobnostní rozdělení hybností volné částice popsané
vlnovou \fc í (\ref{free:x}). Jaká je střední hodnota a střední kvadratická odchylka hybnosti částice?
\end{cvi}
\vysl
Rozdělení hybností částice ve stavu $\psi$ je dáno vztahem
$$
w_\psi(\vec{p}) = |(\psi_{\vec{p}},\psi)|^2 = |\tilde\psi(\vec{p})|^2,
$$
kde $\psi_{\vec{p}}$ jsou zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti normované k $\delta$-funkci. Skalární součin je vlastně Fourierovou transformací funkce $\psi(\vec{x})$. Tu jsme počítali v příkladě (\ref{ex:vlnabal}), viz. vztah \ref{free:p}, takže máme
$$
\tilde\psi(\vec{p},t) \approx e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}(t-t_0)} e^{\frac{(\vec{B}-\frac{i}{\hbar}\vec{p})^2}{4A}} .
$$
Rozdělení hybností pak dostaneme stejným postupem jako v příkladě  (\ref{ex:vlnabalpr}). Výsledkem je Gaussovo normální rozdělení
$$
w_\psi(\vec{p}) \approx e^{-\frac{(\vec{p}-\vec{p}_0)^2}{2(\Delta p)^2}},
$$
Odtud už snadno určíme střední hodnotu a střední kvadratickou odchylku hybnosti
$$
\vec{p}_0 = \hbar\left({\rm Im}\vec{B}-\frac{{\rm Im A}}{{\rm Re A}}\ {\rm Re \vec{B}}\right),\quad (\Delta p)^2 = \frac{\hbar^2|A|^2}{{\rm Re A}}.
$$
Ani jeden z výsledků nezávisí na čase, jak lze očekávat z faktu, že pro volnou částici je hybnost integrálem pohybu. 
 
\begin{cvi}
Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
$$
\psi(x) = C x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}
$$
S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné
$\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$? Jaká je střední hodnota energie oscilátoru? Čemu je rovna střední hodnota hybnosti?
\end{cvi}
\navod
Snadno zjistíme, že stav je superpozicí vlastních vektorů hamiltoniánu
$$
\psi = \frac{1}{\sqrt{3}}\psi_0 + \sqrt{\frac{2}{3}}\psi_2.
$$
Lze tedy naměřit energie $\half\hbar\omega$ a $\frac{5}{2}\hbar\omega$ s pravděpodobnostmi $P_0 = \frac{1}{3}$ a $P_2 = \frac{2}{3}$. Energii $\hbar \omega$ nelze naměřit (není ve spektru). Střední hodnota energie je rovna
$$
\langle\hat H\rangle_\psi = \frac{11}{6}\hbar\omega.
$$
Střední hodnotu hybnosti můžeme buď počítat přímo integrací v $x$-reprezentaci, nebo využít zápis operátoru $\hat P$ pomocí posunovacích operátorů. Výsledek je nula.
 
\begin{cvi}
Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v koherentním stavu s amplitudou $\alpha$. S jakou pravděpodobností naměříme hodnotu energie rovnu $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$? Jaká je střední hodnota energie oscilátoru?
\label{koh:2}
\end{cvi}
\navod
Pravděpodobnost naměření hodnoty $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ je dána výrazem $P_n = |\langle n|\alpha\rangle|^2$. S použitím vztahu $|n\rangle = \frac{\hat a_+^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle$ dostaneme pro amplitudu pravděpodobnosti
$$\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\langle 0|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}C_\alpha\int_\mathds{R} e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}} dx = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\left({\rm Im}\alpha\right)^2} e^{i\varphi_\alpha} e^{-\frac{\alpha^2}{2}}$$
takže pravděpodobnost naměření energie $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ je
$$P_n = \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} e^{-|\alpha|^2}.$$
Pravděpodobnost je tedy dána Poissonovým rozdělením s parametrem $\lambda = |\alpha|^2$. Odtud už snadno určíme střední hodnotu energie
$$
\langle\hat H\rangle_\alpha = \hbar\omega(|\alpha|^2 + \frac{1}{2}).
$$
Stejný výsledek lze získat i rozepsáním hamiltoniánu pomocí posunovacích operátorů.
 
Zvolíme-li fázi koherentního stavu jako
$$
\varphi_\alpha = {\rm Re}\alpha {\rm Im}\alpha,
$$
zjednoduší se skalární součin $\langle n|\alpha\rangle$ do tvaru
$$
\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}.
$$
Koherentní stav pak můžeme rozložit do báze vlastních vektorů hamiltoniánu způsobem
$$
|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.
$$
Pro tuto volbu fáze je normovací konstanta koherentního stavu rovna
$$ 
C_\alpha = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{\frac{\alpha^2-|\alpha|^2}{2}}.
$$
\begin{cvi}
Isotropní oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
$$
\psi(x)=C e^{-\frac{\vec x^2}{2} + i \vec{p}\cdot\vec{x}} .
$$
S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné
$\frac{5}{2}\hbar\omega$?
\end{cvi}
\navod
Nezapomeňte, že energie $\frac{5}{2}\hbar\omega$ třírozměrného harmonického oscilátoru je degenerovaná, musíte spočítat pravděpodobnosti přechodu do jednotlivých ortogonálních vlastních stavů příslušných k této energii a pak je sečíst. Výsledná pravděpodobnost: $\frac{p^2}{2}e^{-\frac{p^2}{2}}$.
 
\begin{cvi}
Nechť \cc e je popsána vlnovou \fc í
$$
\psi(x,y,z) = (2x + y + z)\exp (-\alpha\sqrt{x^2+y^2+z^2}).
$$
Jaké hodnoty kvadrátu momentu hybnosti můžeme naměřit? Jaké hodnoty $z$-ové složky momentu hybnosti můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jakou vlnovou funkcí popíšeme stav částice, pokud naměříme hodnotu $L_z=\hbar$?
 
Návod: zapište $\psi$ pomocí kulových \fc í.
\end{cvi}
\navod
Převeďte vlnovou funkci do sférických souřadnic. Funkce má tvar $f(r) \Psi(\theta,\varphi)$. Úhlová část vlnové funkce je lineární kombinací kulových funkcí s $l=1$
$$
\Psi = \frac{2+i}{2\sqrt{3}} Y_{1-1} + \frac{1}{\sqrt{6}} Y_{10} - \frac{2-i}{2\sqrt{3}} Y_{11},
$$
lze tedy naměřit jen $l=1$. Projekce momentu hybnosti do osy $z$ mohou nabývat hodnot $L_z = -\hbar,0,\hbar$, s pravděpodobnostmi
$$
P_{-1} = \frac{5}{12},\quad P_0 = \frac{1}{6},\quad P_1 = \frac{5}{12}.
$$
Po naměření hodnoty $L_z=\hbar$ stav částice popíšeme vlnovou funkcí
$$
g(r,\theta,\varphi) = Y_{11}(\theta,\varphi)e^{-\alpha r}.
$$
 
\begin{cvi}
Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
$$
\psi=(4\pi)^{-1/2} (e^{i\varphi}\sin\theta+\cos\theta )g(r).
$$
Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota $L_z$ v tomto stavu? Jaká je střední hodnota $x$-ové složky momentu hybnosti?
\end{cvi}
\navod
Úhlová část vlnové funkce je superpozice kulových funkcí $Y_{11}$ a $Y_{10}$. Lze tedy naměřit $L_z=0$ a $L_z = \hbar $ s pravděpodobnostmi $P_0 = \frac{1}{3}$ a $P_1 = \frac{2}{3}$. Střední hodnota $L_z$ je $\frac{2}{3}\hbar $. Pro výpočet střední hodnoty $x$-ové složky momentu hybnosti je vhodné rozepsat $\hat{L}_x$ pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_{\pm}$ (viz. cvičení \ref{shift:L}). Výsledek je $\langle\hat{L}_x\rangle_\Psi = -\frac{2}{3}\hbar$.
 
 
\begin{cvi} \ll{dpx}
Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a
hybnosti kvantové části-ce při měření na stavu
popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}). Ukažte, že pokud $A>0$, pak pro tento stav platí
$$
\Delta_{\psi}(\hat Q_{\underline k})\Delta_{\psi}(\hat P_{\underline k})=\frac{\hbar}{2}
\ll{dxdp}
$$
\end{cvi}
\navod
Snadno určíme $$\langle \hat Q_j \rangle_\psi = \frac{{\rm Re} B_j}{2{\rm Re} A},\qquad \langle \hat Q_j^2 \rangle_\psi = \frac{1}{4{\rm Re}A}+\left(\frac{{\rm Re} B_j}{2 {\rm Re}A}\right)^2.$$ Po dosazení do patřičného vzorce je tedy (porovnejte s výsledkem příkladu \ref{vlnbal:pr}) $$\Delta_\psi(\hat Q_j)= \sqrt{\frac{1}{4 {\rm Re}A }}.$$ Obdobně najdete
 $$\Delta_\psi(\hat P_j)= \hbar \sqrt{{\rm Re}A + \frac{({\rm Im}A)^2}{{\rm Re}A}}.$$
Součin středních kvadratických odchylek je tedy roven
$$
\Delta_\psi(\hat Q_j)\Delta_\psi(\hat P_j) = \frac{\hbar}{2}\sqrt{1+\left(\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A}\right)^2}.
$$
Pro ${\rm Im}A=0$ stav minimalizuje relace neurčitosti.
 
\begin{cvi}
Ukažte, že v jednorozměrném případě podmínka
$$
[\hat A - <\hat A>_{\psi} - i\alpha(\hat B -<\hat
B>_{\psi})]\psi=0,\quad \alpha\in\mathrm{R}
$$
pro operátory $\hat A = \hat
Q,\hat B =\hat P$  je integrodiferenciální rovnicí, jejímiž jedinými
řešeními jsou funkce %\rf{mvb})
\[ \psi( x)=C\exp[-Ax^2+B x],\quad A>0 \]
\end{cvi}
\navod
Prozatím si označte $\langle \hat Q \rangle_{\psi}=x_0, \, \langle \hat P \rangle_{\psi}=p_0$ a najděte řešení patřičné diferenciální rovnice
$$x \psi - x_0 \psi - i \alpha ( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi - p_0 \psi)=0  .$$
Na závěr určete vztah mezi $\alpha$, integrační konstantou a $x_0,p_0$ nalezením středních hodnot $\langle \hat Q \rangle_{\psi}$, $\langle \hat P \rangle_{\psi}$ a jejich porovnáním s $x_0,p_0$ (můžete využít výsledek cvičení \ref{shpmvb}, \ref{shhmvb}).
 
\begin{cvi}
Uvažujte systém se Hilbertovým prostorem ${\mathcal H} = \mathds{C}^3$ a hamiltoniánem $\hat H$ daným maticí
$$
H = \varepsilon \left(
                       \begin{array}{ccc}
                         0 & i & 0 \\
                         -i & 0 & 0 \\
                         0 & 0 & -1 \\
                       \end{array}
                     \right).
$$
Systém je ve stavu popsaném vektorem 
$$
|\psi\rangle = \frac{1}{2} (1-i,i,1)^T .
$$
Jaké hodnoty energie můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota energie?
\end{cvi}
 
\navod
Spektrum  $\hat H$ tvoří vlastní čísla $E_1 = \varepsilon,\quad E_2 = E_3 = -\varepsilon$, příslušné vlastní vektory jsou
$$
|\phi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(
                   \begin{array}{c}
                     i \\
                     1 \\
                     0 \\
                   \end{array}
                 \right),\quad |\phi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(
                   \begin{array}{c}
                     -i \\
                     1 \\
                     0 \\
                   \end{array}
                 \right),\quad |\phi_3\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(
                   \begin{array}{c}
                     0 \\
                     0 \\
                     1 \\
                   \end{array}
                 \right).
$$
Můžeme tedy naměřit energii $\varepsilon$ nebo $-\varepsilon$ s pravděpodobnostmi
\begin{eqnarray}
\nonumber  p(E=\varepsilon) & = & |\langle\phi_1|\psi\rangle|^2 = \frac{1}{8},\\
\nonumber  p(E=-\varepsilon) & = & |\langle\phi_2|\psi\rangle|^2 + |\langle\phi_3|\psi\rangle|^2 = \frac{7}{8}.
\end{eqnarray}
Střední hodnotu energie můžeme spočítat dvěma způsoby
$$
\langle \hat H \rangle_\psi = \langle\psi|\hat H|\psi\rangle, \quad {\rm resp.}\quad   \langle \hat H \rangle_\psi = p(E=\varepsilon) \varepsilon + p(E=-\varepsilon) (-\varepsilon),
$$
v obou případech je výsledek $-\frac{3}{4}\varepsilon$.