Verze z 20. 9. 2011, 15:41

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVANCV}
 
\begin{cvi} Napište rozdělovací funkci Gaussova pravděpodobnostního rozdělení. Interpretujte význam jejích parametrů. Vypočítejte jeho momenty. Napište vzorec pro
\[ I(n,a,b):=\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-ax^2+bx}dx,\ n\in\integer,\ a,b\in\complex,\ {\rm Re}\ a>0. \]
(Zapamatujte si jej pro n=0,1,2!)
\end{cvi}
\navod Rozdělovací funkce $$\rho(x)=N e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} $$
Normalizace: $\int_{-\infty}^{\infty} \rho(x) dx = N \sqrt{2 \pi} \sigma = 1 $, tj. $ N = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} $
(k výpočtu integrálu je vhodné počítat jeho kvadrát přechodem do polárních souřadnic)
\\ Momenty: definice
$$ \langle (x-\alpha)^{n} \rangle_{\rho} = N \int_{-\infty}^{\infty} (x-\alpha)^{n} e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} dx$$
Výsledky se liší pro $n$ liché, resp. sudé:
$$\langle (x-\alpha)^{2n+1} \rangle_{\rho} =0, \; \langle (x-\alpha)^{2n} \rangle_{\rho} = \sigma^{2n} (2n-1)!! $$
Hledaný vzorec:
$$ I(n,a,b) = \frac{\partial^n}{\partial b^n} I(0,a,b) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{\partial^n}{\partial b^n} e^{\frac{b^2}{4a}}$$
 
\begin{cvi}
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení klasického jednorozměrného oscilátoru
s energií $E$ v intervalu $(x,x+dx)$ ? Co potřebujeme znát, chceme-li tento pravděpodobnostní výrok změnit v deterministickou předpověď?
\end{cvi}
\navod $\rho(x) dx = \frac{doba \, stravena \, v \, intervalu \langle x,x+dx \rangle}{pulperioda} = \frac{\frac{dx}{|v(x)|}}{T/2} = \frac{2 dx}{\frac{2 \pi}{\omega} \sqrt{2(E-V(x))/m}} = { \frac{dx}{\pi \sqrt{\frac{2 E}{m \omega^2} - x^2}}}$, je vhodné si ověřit normalizaci $\int_{-\sqrt{\frac{2 E}{m \omega^2}}}^{\sqrt{\frac{2 E}{m \omega^2}}} \rho(x) dx =1$. K deterministické předpovědi potřebujeme znát polohu (nebo rychlost či hybnost) v jednom časovém okamžiku (tj. počáteční podmínku).
 
\begin{cvi} Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou
formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice.
Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální
veličiny jsou určeny?
\end{cvi}
\navod $H(p,q)=\frac{1}{2} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2})$ \\
Pohybové rovnice
$$ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \; \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} $$
tj.
$$ \dot{q}=\frac{p}{m}, \; \dot{p}= - m \omega^2 q$$
řešení: $q(t)=A \sin ( \omega t + \alpha) $, $p(t)= A \omega m \cos ( \omega t + \alpha)$, \\
Rovnice pro fázové trajektorie -- získáme vyloučením času z pohybových rovnic, jsou určeny hodnotou energie
$$ \frac{p^2}{2 A^2 \omega^2 m^2}+\frac{q^2}{2A^2}=1$$
 
 
\begin{cvi}Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v
atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou částici
pohybující se po kruhové dráze o (Bohrově) poloměru
$a\approx 10^{-10}$ m. (viz skripta Štoll, Tolar {\em Teoretická fyzika}, příklad 9.52)
\end{cvi}
\navod viz skripta Štoll, Tolar {\em Teoretická fyzika}, příklad 9.52
 
\begin{cvi} Nechť statistická rozdělovací funkce stavů klasického mechanického oscilátoru je dána Gibbsovou formulí
\[ w(p,q) = a\ e^{-\frac{E(p,q)}{kT} }. \]
%kde $a$ je normovací konstanta a $E$ je energie stavu $(p,q)$.
Spočtěte střední hodnotu energie.
\end{cvi}
\navod
Energie mechanického oscilátoru
$$E(p,q) = \frac{1}{2} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2})$$
Normalizace: $\int_{-\infty }^{\infty} \int_{-\infty }^{\infty } a {e^{\frac{1}{2 k T} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq}=1$, tj. $a={\frac {\omega}{2 \pi k T }}$ \\
Střední hodnota energie: $$ \int_{-\infty }^{\infty} \int_{-\infty }^{\infty} \frac{a}{2} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2}) {e^{\frac{1}{2 k T} (\frac {{p}^{2}}{m}+m \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq} = { k T }$$
 
\begin{cvi} Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož
zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace
\[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
v klidu?
\end{cvi}
\navod Ze zákona zachování energie je energie fotonu rovna $E = m_{e} c^2 = 0.511 {\rm MeV } $,
vlnová délka pak je $ \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{c h}{m_{e} c^2} = 0.24\, 10^{-11} {\rm m}.$
 
\begin{cvi} Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu
kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10
$\mu$g pohybující se rychlostí zvuku.
\end{cvi}
\navod Kyslík: $E = \frac{3}{2} k T \dot{=} 6,2 \, 10^{-21} J \; (T = 300 K), \; p = \sqrt{2 m_{O_2} E}= \ldots,$ z de Broglieho vztahů pak plyne $\lambda = \frac{h}{p} =  2,58 \cdot 10^{-11} {\rm m}$.
Částice: obdobně $\lambda = 2 \cdot 10^{-28} {\rm m}$.
 
\begin{cvi} Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) rychlostí 0,5 m/s obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozměrech $1\times 1.5$ m.
\end{cvi}
\navod Z Vlnění, optiky \ldots je známo $\theta\dot{=} \lambda /L$, kde L je šířka štěrbiny, po dosazení $1.3 \cdot 10^{-32} \,{\rm rad}$, resp. $9 \cdot 10^{-33} \,{\rm rad}$.
 
\begin{cvi} Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm?
\end{cvi}
\navod Z podmínky $\lambda \dot{=} 0,1 {\rm nm}$ nalezneme přibližně $v=7,3 \cdot 10^{6} {\rm m s^{-1}}$.
 
\begin{cvi}
Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané
\db ovou vlnou
\be \psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A
e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et)},
\ll{dbvlna}\ee
v oblasti
$(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ?
\end{cvi}
\navod Protože $|\psi(\vec{x},t)|^2=|A|^2=konst.$, je pravděpodobnost nalezení částice popsané
\db ovou vlnou úměrná objemu uvažované oblasti.
 
\begin{cvi} Nechť $\psi(x,y,z,t)$  je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
\[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]
je řešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním poli se zrychlením $g$.
\end{cvi}
\navod Dosaďte do \sv y \rc e a proveďte časovou derivaci.
 
\begin{cvi}
Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice). Pomocí Fourierovy
transformace určete řešení \sv y
\rc e, které v čase $t_0$ má tvar
%Nechť stav částice je zadán funkcí
\be \psi(\vec x,t_0)=g(\vec x)=C\exp[-Ax^2+\vec B\vec x]
\ll{mvb}\ee
%(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
kde $Re\  A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$.
\ll{ex:vlnbal}
\end{cvi}
\navod Při řešení používáme Fourierovu transformaci (FT)
$$\tilde\psi(\vec{p},t)=\frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{i \vec{p}\cdot\vec{x}} \psi(\vec{x},t) d^3 x,$$
která převede \sv u \rc i na obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu v čase
$$
\frac{\partial \tilde{\psi}}{\partial t} = -i\hbar \frac{p^2}{2m}\tilde{\psi}.
$$
Řešení této rovnice je
$$
\tilde{\psi}(\vec{p},t) = e^{-\frac{i\hbar}{2m}p^2(t-t_0)}\tilde{\psi}(\vec{p},t_0),
$$
kde $\tilde{\psi}(\vec{p},t_0)$ je FT počáteční podmínky $\psi(\vec x,t_0)$, tj.
$$
\tilde{\psi}(\vec{p},t_{0}) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{i \vec{p}\cdot\vec{x}} \psi(\vec{x},t_0) d^3 x = \frac{C}{\left(\sqrt{2 A}\right)^3} e^\frac{(\vec{B}+i\vec{p})^2}{4 A}
$$
Řešení v proměnné $\vec{x}$ získáme inverzní FT
$$
\psi(\vec{x},t) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{-i \vec{p}\cdot\vec{x}} \tilde{\psi}(\vec{p},t) d^3 p =
C\chi(t)^{-3/2}e^{\frac{\vec B^2}{4A}}
 e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}},
$$
kde $\chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0)$.
 
\begin{cvi}
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
\be {\LARGE \psi(\vec x,t)=C\chi(t)^{-3/2}e^{\frac{\vec
B^2}{4A}}
 e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}
} \ll{mvbt}\ee
\[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
z příkladu \ref{ex:vlnbal}
pro $A>0$?
Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je
rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem?
Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku
pro elektron lokalisovaný s přesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotě 1 gram
jehož těžiště je lokalisováno s přesností $10^{-6}$m?
\ll{ex:pstvb}
\end{cvi}
\navod Je zapotřebí počítat $| \psi(x,t) |^2 \sim |e^{\frac{\vec
B^2}{4A}}
 e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}|^2$ (nezajímá nás časový vývoj normalizace, i v dalším počítání je vhodné vynechávat celkové faktory nezávisející na $x$). Odvoďte si a využijte $|e^{z}|^2 = e^{2 {\rm Re} z}$. Pro určení střední kvadratická odchylky atd. porovnejte výsledek s tvarem Gaussovy rozdělovací funkce a najdete
$$ \vec{x}_0 = \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 A} + \frac{{\rm Im} \vec{B} \hbar}{m} t, \; \sigma(t)^2 = \frac{1+4 \frac{A^2 \hbar^2}{m^2} (t-t_0)^2}{4 A}.$$
Zdvojnásobení: pro elektron cca $ 3 \, {\rm s}$, pro hmotný bod cca $10^{12} \, {\rm let}$.
 
%\newpage
\begin{cvi}
Jaká je hustota pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu  ve
vzdálenosti $r$ od jádra, je-li popsán vlnovou funkcí
$$ \psi(x,y,z)=A\exp\left(-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}\right),$$
kde $a_0=0.53\times10^{-8}$ cm je tzv. Bohrův poloměr?
\end{cvi}
\navod Převeďte do sférických souřadnic (nezapomeňte, že nestačí jen přepsat vzorec pro hustotu pravěpodobnosti, také tam přispěje Jakobián transformace), pak integrujte přes úhlové proměnné. Výsledek je úměrný $r^2 e^{-\frac{2 r}{a_0}}$, nakreslete si graf.
 
 
%%\newpage
%\begin{cvi}
%Je funkce $g$ z příkladu \rf{ex:vlnbal}
%kvadraticky integrovatelná?
%\ll{ex:hilbspvb}
%\end{cvi}
%\newpage
 
\begin{cvi} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednoroz-měrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě" t.j. v potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$. Nalezněte příslušné vlastní vektory.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
\label{jama}
\end{cvi}
\navod Uvnitř ``jámy'' má vlnová funkce tvar vlnové funkce pro volnou částici.
Z podmínek na okrajích $\psi(-a)=0=\psi(a)$ dostáváme soustavu homogenních rovnic, požadavek nulovosti jejího determinantu dává rovnici pro energii, výsledek je $$E_n = \frac{1}{2m}\left(\frac{n \pi \hbar}{2 a}\right)^2, \; n \in \mathds{N}.$$
Vlastní vektory jsou (včetně normalizace)
$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{2a}(x-a)\right).$$
 
\begin{cvi} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v jednorozměrné konstantní  potenciálové jámě t.j. v potenciálu $V(x)=-V_0<0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $\forall x\in \real$.
\end{cvi}
\navod Nejprve si ukažte, že pro potenciály ve tvaru sudé funkce lze z libovolné vlastní funkce Hamiltoniánu $\psi(x)$ sestavit (ne nezbytně různou) vlastní funkci $\psi(-x)$ a odvoďte, že vlastní funkce lze v tomto případě volit sudé a liché. Využijte podmínek navázání (spojitost a spojitost 1. derivací) vlnových funkcí pro volnou částici v bodě $x=a$ (tím je díky symetrii splněna i podmínka v $x=-a$, jinak bychom měli 4 rovnice pro 4 konstanty)
Výsledkem jsou následující vztahy pro sudý
$$ \eta = \xi \tan\xi$$
a lichý případ
$$ \eta = -\xi \cot\xi,$$
kde jsme označili
$$
\xi = a \frac{\sqrt{2 m (E+V_{0})}}{\hbar},\quad  \eta =  \frac{\sqrt{-2m E}}{\hbar}
$$
Pro proměnné $\xi$ a $\eta$ navíc platí
$$
\xi^2 + \eta^2 = \frac{2m}{\hbar} V_0 a^2 = \beta^2 = {\rm konst.}
$$
Energie částice v konečné potenciálové jámě jsou tedy určeny průsečíky kružnice $\xi^2 + \eta^2 = \beta^2$ a grafů $\eta = \xi \tan\xi$, $\eta = -\xi \cot\xi$. Počet řešení $n$ je dán poloměrem kružnice, tj. hloubkou a šířkou potenciálové jámy. Platí vztah
$$
\frac{n-1}{2}\pi < \sqrt{2mV_0}\frac{a}{\hbar}\leq \frac{n}{2} \pi.
$$
 
 
\begin{cvi} Najděte ortonormální basi  v $\complex^2$, jejíž prvky jsou
vlastními vektory matice
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc} 0&1\\1&0 \end{array} \right)\]
\end{cvi}
\vysl Vlastní čísla $\pm 1$, normalizované vlastní vektory
$$\psi_+ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right),\qquad \psi_- = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right).$$
 
\begin{cvi} Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
\be
\ll{herpol2}
H_n(z):=(-1)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}
\ee
Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2}) splňuje rovnici
\be u''=2 z u' -2n u \ll{hermrce}\ee
\end{cvi}
\navod Po dosazení zadaného tvaru $H_n(z)$ do $u''=2 z u' -2 n u $ využijte vhodně Lebnizova pravidla na $(n+1)$-ní derivaci součinu $2z.e^{-z^2} \, (= -\frac{{\rm d} }{{\rm d} z} e^{-z^2})$ a upravte. Shodnost definic pak plyne z věty o jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic (ještě porovnejte koeficient u nejvyšší mocniny $z$, aby bylo zaručeno splnění stejné počáteční podmínky).
 
\begin{cvi} \ll{cvvytvfce}Ukažte, že
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp[x^2-(x-\xi)^2] \]
\end{cvi}
\navod Ověřte, že $(-1)^n e^{x^2}(\frac{d}{dx})^n e^{-x^2} = \frac{\partial^n}{\partial \xi^n}\exp[x^2-(x-\xi)^2] |_{\xi=0}, \; \forall n $.
 
\begin{cvi} Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \]
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita vlastních funkcí harmonického oscilátoru.
\end{cvi}
\navod
\begin{eqnarray}
\nonumber \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx & = & \frac{\partial^n}{\partial \xi^n} \frac{\partial^m}{\partial \rho^m} \int_{-\infty}^\infty e^{x^2-(x-\xi)^2} e^{x^2-(x-\rho)^2} e^{-x^2}dx |_{\xi,\rho=0}\\
\nonumber & = & \frac{\partial^n}{\partial \xi^n} \frac{\partial^m}{\partial \rho^m} \sqrt{\pi} e^{2 \xi \rho} |_{\xi,\rho=0}.
\end{eqnarray}
 
\begin{cvi}
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru
s energií $\hbar\omega(n+\half)$ v
bodě $x$ ? Spočítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,...$ a srovnejte je s hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v daném místě.
\end{cvi}
\vysl \begin{trivlist} \item $n=0: \; |\psi_0(x)|^2= |A_0|^2 e^{-\xi^2}$,
\item $n=1: \; |\psi_1(x)|^2= 4 |A_1|^2 \xi^2 e^{-\xi^2}$,
\item $n=2: \; |\psi(x)|^2= 4 |A_2|^2 (2 \xi^2-1)^2 e^{-\xi^2}$.
\end{trivlist}
V grafech je počet maxim roven stupni příslušného Hermiteova polynomu $+1$.
 
\begin{cvi} Spočítejte komutátory
\be [\hat L_j,\hat X_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\
\ll{loper1}\ee
kde
\be \hat L_j:=\epsilon_{jkl}\hat X_k\hat P_l \ll{loper}\ee
\end{cvi}
\vysl $[\hat L_j,\hat X_k]= i \hbar \epsilon_{jkl}\hat X_l$, $[\hat L_j,\hat P_k]= i \hbar \epsilon_{jkl}\hat P_l$, $[\hat L_j,\hat L_k]= i \hbar \epsilon_{jkl}\hat L_l$, tj. operátory $ \hat{\vec{X}}, \hat{\vec{P}}, \hat{\vec{L}}$ jsou tzv. vektorové operátory (kvantová analogie vektorů $\vec{x},\vec{p},\vec{l}$, tj. objektů se správnými transformačními vlastnostmi vzhledem ke grupě rotací prostoru $SO(3)$).
 
\begin{cvi} Ukažte, že vzájemně komutují operátory
$\hat H \equiv \half\hat P^2/m+V(|\vex|),\ \hat L_3\equiv \hat L_z$ a
\be \hat L^2 \equiv \hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2, \ll{lkvad}\ee
\end{cvi}
\navod Přejděte do sférických souřadnic.
 
\begin{cvi}\label{komut} Jak vypadají operátory $\hat X_j,\
\hat P_j,\ \hat L_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích?
\end{cvi}
\navod Operátory $\hat X_j$ vzniknou dosazením definice sférických souřadnic, např. $ \hat X_1= r \cos \phi \sin \theta$.
Pro výpočet operátorů $\hat P_j$ je vhodné využít pravidla pro derivaci složené funkce $\frac{\partial \psi}{\partial x_j}=\frac{\partial \psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x_j}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x_j}$ a dosadit za $\frac{\partial r}{\partial x_j}$ atd. z definice sférických souřadnic. Výsledek je
$$ \hat P_1 = -i \hbar(\cos \phi \sin \theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin \phi}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}+\frac{\cos \theta \cos \phi}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}), \hat P_2 = \ldots $$
$$ \hat P_3 = - i \hbar (\cos \theta \frac{\partial}{\partial r}- \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}) $$
výsledky pro $\hat L_j$ jsou uvedeny ve ``slabikáři''. Nezapomínejte na správný postup při skládání operátorů (např. $x \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} x - {\bf id} \neq \frac{\partial}{\partial x} x$), pro názornost si lze na konci všech operátorových identit představit vlnovou funkci, a pak postupovat jako při derivování složené funkce.
 
\begin{cvi} S použitím vzorců pro jednotlivé složky momentu hybnosti ukažte, že operátor
$\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar
\be \hat L^2=
-\hbar^2[(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})]
\ll{lkvadsfer}\ee
\end{cvi}
\navod Naučte se skládat (násobit) operátory !
 
\begin{cvi} "Kvantové tuhé těleso" (např. dvouatomová molekula) s momentem setrvačnosti $I$ volně rotuje v rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
\end{cvi}
\navod $\hat H=-\frac{\hbar^2}{2 I} \frac{d^2}{d \phi^2}$ (viz princip korespondence a klasickou kinetickou energii $\frac{1}{2} I \dot{\phi}^2$). Řešením stacionární Schr\"odingerovy rovnice nalezneme řešení ve tvaru $\psi(\phi)=A e^{i \alpha \phi} + B e^{-i \alpha \phi}, \; \alpha=\ldots$ a z požadavku jednoznačnosti $\psi(\phi)=\psi(\phi+2 \pi)$ najdeme možné hodnoty energie $E_m= \frac{m^2 \hbar^2}{2 I}, \; m \in \mathds{Z}$.
 
\begin{cvi}
Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v daném prostorovém úhlu
pro stavy $s, p, d$.
\end{cvi}
\vysl \begin{description}
\item[$l=0: \;$]$|Y_{0,0}|^2=C_{0,0}$
\item[$l=1: \;$]$|Y_{1,-1}|^2=C_{1,-1} \sin^2 (\theta)$, $|Y_{1,0}|^2=C_{1,0} \cos^2 (\theta)$, $|Y_{1,1}|^2=C_{1,1} \sin^2 (\theta)$,
\item[$l=2: \;$]$|Y_{2,-2}|^2=C_{2,-2} \sin^4 (\theta)$, $|Y_{2,-1}|^2=C_{2,-1} \sin^2 (\theta) \cos^2 (\theta)$, \\
$|Y_{2,0}|^2 =
 C_{2,0} (\frac{3}{2} \cos^2 (\theta)-\frac{1}{2})^2$, $|Y_{2,1}|^2=C_{2,1} \sin^2 (\theta) \cos^2 (\theta)$, \\
 $|Y_{2,2}|^2=C_{2,2} \sin^4 (\theta)$
\end{description}
Nakreslete si grafy (nejlépe trojrozměrné na počítači).
 
\begin{cvi} Napište všechny vlnové \fc e harmonického oscilátoru pro stavy s energiemi
$3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou současně vlastní funkce $\hat L^2, \hat L_z $.
\end{cvi}
\navod Viz slabikář, nezapomeňte na degeneraci energie.
 
\begin{cvi} Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů  $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$.
\end{cvi}
\vysl $\hat{L}^{2}= \hat L_{+} \hat L_{-}+\hat{L}^2_{3}-\hbar \hat{L}_{3} = \hat L_{-} \hat L_{+}+\hat{L}^2_{3}+\hbar \hat{L}_{3} $
 
\begin{cvi} Posunovací operátory momentu hybnosti působí na kulové funkce způsobem \be \hat L_\pm Y_{lm}=\alpha^\pm_{lm}Y_{l,m\pm 1}, \ee
Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$
\end{cvi}
\navod Snadno lze nalézt s využitím předchozího cvičení $|\alpha^\pm_{lm}|^2$ (obložte předchozí výsledek $(Y_{lm},$ a $Y_{lm})$ a uvědomte si, že kulové funkce jsou vlastní funkce $\hat L^2$, $L_{3}$). Výsledek je
$$|\alpha^{+}_{lm}|^2=\hbar^2 [l(l+1)-m(m+1)] , \;  |\alpha^{-}_{lm}|^2= \hbar^2 [l(l+1)-m(m-1)].$$ Fáze $\alpha^\pm_{lm}$ neplyne z algebry operátorů, závisí na konkrétní volbě fází $Y_{l,m}$, pro standartní volbu uvedenou ve ``slabikáři'' jsou $\alpha^\pm_{lm}$ reálné.
 
\begin{cvi} Kreační a anihilační operátory působí na vlastní funkce operátoru energie harmonického oscilátoru způsobem
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ee
Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$. Ukažte, že pro kreační a anihilační operátory energie harmonického oscilátoru platí
\[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n \]
\end{cvi}
\navod Obložte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_-\hat a_+ - \frac{1}{2}) $, resp. $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ vlastní funkcí harmonického oscilátoru (obdobně jako v předchozím cvičení), výsledek:
$$\alpha^+_n = \sqrt{n+1}, \; \alpha^-_n = \sqrt{n}.$$ Ohledně fáze platí stejný komentář jako výše. V druhé části využijte $\hat H = \hbar \omega ( \hat a_+\hat a_- + \frac{1}{2}) $ a právě spočítané koeficienty $\alpha^\pm_n$.
 
\begin{cvi}
Najděte vlastní vektory anihilačního operátoru jednorozměrného harmonického oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ (koherentní stavy).
\end{cvi}
\navod
Vlastní vektory jsou řešení rovnice
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x + \frac{d}{dx}\right)\psi_\alpha(x) = \alpha \psi_\alpha(x).$$
Řešení existuje pro každé $\alpha\in\mathds{C}$ a má tvar
$$\psi_\alpha(x) = \pi^{-1/4} e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}}.$$
 
\begin{cvi} Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice
v Coulombově poli  s energií $-\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$  a nulovým
momentem hybnosti (elektron v atomu vodíku ve stavu 1s).
\end{cvi}
\navod  Využijte tvar $\hat{P}_{i}$ ve sférických souřadnicích (viz cvičení \ref{komut}) a spočítejte $\langle \hat{P}_{i} \rangle_\psi=(\psi,\hat{P}_{i} \psi )/(\psi,\psi)$. Výsledek je $\langle \hat{P}_{i} \rangle_\psi=0$ (jak lze ostatně očekávat ze symetrie vlnové funkce).
 
\begin{cvi}\label{shpmvb} Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice
popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}).
\end{cvi}
\vysl $\langle \hat{X}_{i} \rangle_\psi = \frac{{\rm Re} B_i}{2 {\rm Re} A}$
 
\begin{cvi}\label{shhmvb} Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice
popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}). Napište tvar vlnové \fc e \rf{mvb})
popisující vlnový balík se střední hodnotou hybnosti
$\vec p_0$, který má v čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$.
\end{cvi}
\vysl $\langle \hat{P}_{i} \rangle_\psi = - i \hbar (B_i - A \frac{{\rm Re} B_i}{{\rm Re} A}) \stackrel{A \in {\real}}{=} \hbar {\rm Im} B_i$ \\
Vlnový balík: $$\psi(x,t) = C \chi(t)^{-\frac{3}{2}} e^{-\frac{\vec{B}^2}{4 A}} e^{-A\frac{(\vec{x}- \frac{\vec{B}}{2 A})^2}{\chi(t)}},$$
kde $\vec{B} = 2 A \vec{x}_0 + \frac{i}{\hbar} \vec{p}_0 $.
 
\begin{cvi} Určete pravděpodobnostní rozdělení hybností částice popsané
vlnovou \fc í \be \psi(x)=C e^{-\vec x^2 + \frac{i}{\hbar} \vec{p}_0\cdot \vec{x}}. \ll{cvi3}\ee Čemu je rovna pravděpodobnost nalezení hybnosti v intervalu $J = (a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$? Jaká je střední hodnota hybnosti částice?
\end{cvi}
\vysl
Rozdělení hybností částice ve stavu $\psi$ je dáno vztahem
$$
w_\psi(\vec{p}) = \frac{|(\psi_{\vec{p}},\psi)|^2}{(\psi,\psi)},
$$
kde $\psi_{\vec{p}}$ jsou zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti normované k $\delta$-funkci. Výsledkem je Gasussovo rozdělení
$$
w_\psi(\vec{p}) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\hbar\right)^3}e^{-\frac{(\vec{p}-\vec{p}_0)^2}{2\hbar^2}}.
$$
Pravděpodobnost naměření hybnosti částice v intervalu $J$ je rovna integrálu z hustoty pravděpodobnosti přes daný interval. Střední hodnota hybnosti je $\vec{p}_0$.
 
 
\begin{cvi} Částice s hmotností $M$ je v poli jednorozměrného harmonického
oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Její stav je popsán vlnovou
\fc í
\be \psi(x)=C e^{-x^2 + ix}. \ee
S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné
$\half\hbar\omega$ resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?
\end{cvi}
\navod S využitím znalosti vlastních funkcí harmonického oscilátoru a definice pravdě-podobnosti přechodu do přísl. vlastních stavů lze snadno spočítat
$$P_{E=\frac{1}{2} \hbar \omega}=\frac{2\sqrt{2}}{3} e^{-\frac{1}{3}}, \; P_{E=\frac{3}{2} \hbar \omega}=\frac{4\sqrt{2}}{27} e^{-\frac{1}{3}},$$ energii $\hbar \omega$ nelze naměřit (není ve spektru).
 
\begin{cvi} Nechť částice s hmotností $M$ v potenciálu harmonického
oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
\be \psi(x)=C e^{-\vec x^2 + i x_1} .\ll{cvic3}\ee
S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné
$\frac{5}{2}\hbar\omega$?
\end{cvi}
\navod Nezapomeňte, že energie $\frac{5}{2}\hbar\omega$ třírozměrného harmonického oscilátoru je degenerovaná, musíte spočítat pravděpodobnosti přechodu do jednotlivých ortogonálních vlastních stavů příslušných k této energii a pak je sečíst. Výsledná pravděpodobnost: $e^{-\frac{1}{3}} \frac{32 \sqrt{2}}{243} $.
 
\begin{cvi}
Částice s hmotností $M$ v poli jednorozměrného harmonického
oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v koherentním stavu s amplitudou $\alpha$. S jakou pravděpodobností naměříme hodnotu její energie rovnu $(n+1/2)\hbar\omega$?
\label{koh:2}
\end{cvi}
\navod
Pravděpodobnost naměření hodnoty $(n+1/2)\hbar\omega$ je dána výrazem $P_n = |\langle\alpha|n\rangle|^2$. S použitím vztahu $|n\rangle = \frac{\hat{a}^\dagger}{\sqrt{n!}}|0\rangle$ dostaneme pro amplitudu pravděpodobnosti
$$\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\langle 0|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\pi^{-1/2}\int_\mathds{R} e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}} dx = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\frac{\alpha^2}{2}}$$
takže pravděpodobnost naměření $(n+1/2)\hbar\omega$ je
$$P_n = \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} e^{-|\alpha|^2}.$$
Pravděpodobnost je tedy dána Poissonovým rozdělením s parametrem $\lambda = |\alpha|^2$. S použitím výsledku pro $\langle\alpha|n\rangle$ můžeme rozepsat koherentní stav do báze vlastních vektorů hamiltoniánu
$$|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.$$
 
\begin{cvi} Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
\be \psi=(4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\theta+\cos\theta )g(r).\ee
Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota $L_z$ v tomto stavu?
\end{cvi}
\navod Uvědomte si, že vlastní funkce $\hat L^2, \hat L_z$ mají tvar $f(r) Y_{lm}(\theta,\phi)$ pro libovolnou funkci $f(r)$.
Lze tedy uvažovat například $f(r)=g(r)$.
Výsledek: $P_{11} = \frac{2}{3}, \, P_{10} = \frac{1}{3}$, ostatní pravděpodobnosti pak musí být rovny nule. Lze naměřit $L_z=0, \, L_z = \hbar $. Střední hodnota $L_z$ je $\frac{2 \hbar}{3} $.
 
\begin{cvi} %{\bf 3006:}
Nechť \cc e je popsána vlnovou \fc í
\[ \psi= (x+y+2z)\exp (-\alpha\sqrt{x^2+y^2+z^2}), \]
Jaká je \pst{} nalezení \cc e v prostorovém úhlu $(\theta,\theta+d\theta)\times(\phi,\phi+d\phi)$, kde $\theta, \phi$ jsou polární, respektive azimutální úhel?
Jaké hodnoty kvadrátu momentu hybnosti můžeme naměřit?
Jaká je střední hodnota z-ové složky momentu hybnosti?
Jaká je \pst{} naměření z-ové složky momentu hybnosti $L_z=+\hbar$?
Návod: zapište $\psi$ pomocí kulových \fc í.
\end{cvi}
\navod Převeďte vlnovou funkci do sférických souřadnic. Pravděpodobnost nalezení v prostorovém úhlu $d \Omega$ lze pak snadno nalézt
\begin{eqnarray} \nonumber P_{d \Omega}  & = & K (\sin \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi +2 \cos \theta )^2 d \Omega \\ \nonumber & = & K \sin \theta (\sin \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi +2 \cos \theta )^2  d \theta d \phi, \; (K= \frac{1}{8 \pi}). \end{eqnarray}
Pro další výpočet rozložte $\psi$ do kulových funkcí (ukažte, že je lineární kombinací $Y_{1,-1}$, $Y_{1,0}$ a  $Y_{1,1}$ ), je tedy vlastním vektorem kvadrátu momentu hybnosti příslušným $l=1$, dále dopočítejte střední hodnotu z-ové složky momentu hybnosti (výsledek je $0$) a \pst{} naměření z-ové složky momentu hybnosti $L_z=+\hbar$ (výsledek je $\frac{1}{6}$).
 
 
\begin{cvi} \ll{dpx}Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a
hybnosti kvantové částice při měření na stavu
popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}), kde $A>0$. Ukažte, že pro tento stav platí
\be \Delta_{\psi}(\hat X_{\underline k})\Delta_{\psi}(\hat P_{\underline k})=\hbar/2
\ll{dxdp}\ee\end{cvi}
\navod Spočítejte $\langle \hat X_j \rangle_\psi = \frac{{\rm Re} B_j}{2 A}$, $\langle \hat X_j^2 \rangle_\psi = \frac{({\rm Re} B_j)^2+A}{4 A^2}$ a po dosazení do patřičného vzorce $\Delta_\psi(\hat X_j)= \sqrt{\frac{1}{4 A }}$. Obdobně najdete
 $\Delta_\psi(\hat P_j)= \hbar \sqrt{A} $.
 
\begin{cvi} Ukažte, že v jednorozměrném případě podmínka
\be [\hat A - <\hat A>_{\psi} - i\alpha(\hat B -<\hat
B>_{\psi})]\psi=0 \ll{rovnost}\ee
pro operátory $\hat A = \hat
X,\hat B =\hat P$  je integrodiferenciální rovnicí, jejímiž jedinými
řešeními jsou funkce %\rf{mvb})
\[ \psi( x)=C\exp[-Ax^2+B x]. \]
\end{cvi}
\navod
Prozatím si označte $\langle \hat X \rangle_{\psi}={\bf x}, \, \langle \hat P \rangle_{\psi}={\bf p}$ a najděte řešení patřičné diferenciální rovnice
$$x \psi - {\bf x} \psi - i \alpha ( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi - {\bf p} \psi)=0  .$$
Na závěr určete vztah mezi $\alpha$, integrační konstantou a ${\bf x,p}$ nalezením středních hodnot $\langle \hat X \rangle_{\psi}$, $\langle \hat P \rangle_{\psi}$ a jejich porovnáním s ${\bf x,p}$ (můžete využít výsledek cvičení \ref{shpmvb}, \ref{shhmvb}).
 
 
\begin{cvi}
Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systé-mu byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má  čistě bodové spektrum a $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po čase $t$?
\end{cvi}
\navod Rozložíme--li $\psi_{a} = \psi(0) = \sum_{k} c_{k} \psi_{{k}}$, kde $\psi_{{k}}$ jsou vlastní funkce hamiltoniánu odpovídající energii $E_{k}$, pak s využitím znalosti časového vývoje vlastních funkcí hamiltoniánu
najdeme
$$ P_{A=a}(t)=|(\psi(0),\psi(t))|^2= | \sum_{k} |c_{k}|^2 e^{-\frac{i}{\hbar} E_{k} t}  |^{2} =\sum_{j,k} |c_{k}|^{2} |c_{j}|^2 e^{-\frac{i}{\hbar}(E_{k}-E_{j})t}.$$
 
\begin{cvi} Nechť částice s hmotností $M$ v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálo-vé jámě šířky $2a$ je v čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í, (která je superposicí  stacionárních stavů)
\[ \psi(x,0)=0,\ {\rm pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left(\frac{\pi}{2a}(x-a)\right)+\sin\left(\frac{\pi}{a}(x-a)\right),\ {\rm pro} \ |x|<a.\]
Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v čase $t\geq 0$ bude nacházet v intervalu $(-a,0)$? V jakém čase je tato pravděpodobnost minimální, resp. maximální.
\end{cvi}
\navod $\psi(x,0)$ je superpozice stacionárních stavů, viz. příklad \ref{jama}
$$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1(x) + \psi_2(x)).$$
Snadno naleznete časový vývoj $\psi(x,t)$, pak stačí prointegrovat $|\psi(x,t)|^2$ přes $(-a,0)$ a normovat. Výsledek je
\begin{eqnarray}
\nonumber P_{(-a,0)}(t) & = & \frac{1}{2}-\frac{4}{3\pi}\cos\left(\frac{3}{8M}\frac{\pi^2\hbar t}{a^2}\right),\\
\nonumber t_{min} & = & 0 ,\ P_{min} = \frac{3 - 8\pi}{6 \pi},\qquad t_{max}=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar} ,\ P_{max}=\frac{3 + 8\pi}{6 \pi}.
\end{eqnarray}
 
\begin{cvi}
Částice s hmotností $M$ je v poli jednorozměrného harmonického
oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. V čase $t=0$ je v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$. V jakém stavu je v libovolném čase $t>0$?
\end{cvi}
\navod
Z výsledku příkladu (\ref{koh:2}) plyne
$$|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.$$
Časový vývoj vlastních vektorů hamiltoniánu známe a pro koherentní stav tak dostaneme
$$|\alpha(t)\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}e^{-i\omega t(n+1/2)}|n\rangle =  e^{-\frac{i}{2}\omega t} |\alpha e^{-i\omega t}\rangle.$$
Stav tedy zůstává koherentní, s časem se pouze mění fáze jeho amplitudy $\alpha(t) = \alpha e^{-i \omega t}$.
 
 
\begin{cvi}
Určete časový vývoj střední hodnoty polohy a hybnosti částice, která je v poli jednorozměrného harmonického oscilátoru s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$. Částice je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\mathds{R}$.(Návod: rozepište $\hat{X}$ a $\hat{P}$ pomocí kreačního a anihilačního operátoru)
\end{cvi}
\navod
Z předchozího příkladu víme že $|\alpha(t)\rangle = |\alpha e^{-i\omega t}\rangle$ (globální fáze je irelevantní).
$\hat{X}$ a $\hat{P}$ zapsané pomocí kreačního a anihilačního operátoru:
$$\hat{X} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}^\dagger+\hat{a}\right),\quad \hat{P} = i\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}^\dagger-\hat{a}\right)$$
Pro střední hodnotu $\hat{X}$ dostaneme
$$\langle\hat{X}\rangle_\alpha(t) = \sqrt{2}\alpha\cos{(\omega t)}.$$
Analogicky střední hodnota $\hat{P}$ je
$$\langle\widehat{P}\rangle_\alpha = \sqrt{2}\hbar\alpha\sin{(\omega t)}.$$
Střední hodnoty tedy sledují klasickou trajektorii.
 
\begin{cvi} Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v elektromagnetickém poli.
\end{cvi}
\navod $\hat{\dot{\vec{Q}}} = \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat{\vec{Q}}] = \ldots$, výsledek odpovídá dle principu korespondence (nikoliv překvapivě) výsledku v klasické mechanice.
 
\begin{cvi} Ukažte, že vlastní čísla operátoru $\hat{\vec\mu}\cdot\vec B$ jsou
$\pm \mu_0|\vec B|$. Najděte vlastní \fc e.
\end{cvi}
\navod Využijte toho, že po nalezení vlastních čísel již víte, že rovnice pro odpovídající vlastní vektory má netriviální řešení, tj. řádky matice soustavy jsou lineárně závislé a tím pádem neřešíte soustavu, ale jednu rovnici pro 2 neznámé konstanty.
 
\begin{cvi} Ukažte že $\hat{\vec S}^2=\frac{3}{4}\hbar^2\unit$.
Porovnejte tento výsledek s $\hat{\vec L}^2$.
\end{cvi}
\navod Pro výpočet je vhodné použít komutační a antikomutační relace pro Pauliho matice
$$
[\sigma_i,\sigma_j] = 2i \varepsilon_{ijk}\sigma_k,\qquad \{\sigma_i,\sigma_j\} = 2\delta_{ij} I,
$$
ze kterých plyne vztah
$$
\sigma_i\sigma_j = \frac{1}{2}\left(\frac{}{}[\sigma_i,\sigma_j] + \{\sigma_i,\sigma_j\}\right) = \delta_{ij} I + i \varepsilon_{ijk}\sigma_k.
$$
Porovnání s $\hat{\vec L}^2$ - odpovídající $l$ pro spin je $\frac{1}{2}$, tj. spin elektronu je ``poločíselný''.
 
\begin{cvi}
Jakým vektorem můžeme popsat spin elektronu, jestliže víme, že prošel horním ramenem Stern-Gerlachova přístroje orientovaném ve směru $$\vec{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$$
\end{cvi}
\navod
Hledáme vlastní vektor operátoru
$$\vec{n}\cdot\vec{\sigma} = \left( \begin{array}{cc}
                                                                                    \cos\theta & \sin\theta e^{-i\varphi} \\
                                                                                    \sin\theta e^{i\varphi} & -\cos\theta \\
                                                                                  \end{array}
                                                                                \right)$$
s vlastním číslem $+1$. Řešení je (včetně normalizace)
$$\psi_+(\theta,\varphi) = \left(
                              \begin{array}{c}
                                \cos{\theta/2} \\
                                e^{i\varphi}\sin{\theta/2} \\
                              \end{array}
                            \right).$$
 
 
\begin{cvi} Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota z--ové složky spinu
$s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve směru, který se z--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností?
\end{cvi}
\navod Najděte si nějaký operátor spinu svírajícího se z--ovou osou úhel $\Theta$ (např. $\frac{\hbar}{2}\left( \cos(\Theta) \sigma_3 + \sin(\Theta) \sigma_1 \right) $ ), příslušné pravděpodobnosti získáte patřičnými skalárnímy součiny vlastních vektorů, výsledky jsou
$$P_+=\frac{1}{2}(1 + \cos \Theta),\qquad P_-=\frac{1}{2}(1 - \cos \Theta).$$
 
\begin{cvi} Uvažujte systém (tzv. supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2(\real,dx) \otimes {\complex}^2$ hamiltoniánem
$$ \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes {\bf 1} + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes {\bf 1} + \frac{\hbar \omega}{2} {\bf 1} \otimes \sigma_{3}.$$
Dále je dán operátor
$$ \hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}).$$
Nalezněte $\hat{Q}^{\dagger}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké omezení lze vyvodit z těchto relací na spektrum hamiltoniánu (~tj. zda je shora či zdola omezené a čím~)? (~Postačí uvažovat bodovou část spektra.~)
\end{cvi}
\navod $\hat Q^{\dagger}=\hat Q, \, \hat Q^2 = \frac{1}{2} \hat H, \, [\hat H, \hat Q]=0$. Omezení na spektrum získáme ze vztahu $\hat H = 2 \hat Q^{\dagger} \hat Q$ (pozitivní operátor).
 
\begin{cvi} Ukažte, že pokud výraz $\exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]$
definujeme pomocí řady
\be \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]:=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec
a\cdot\vec\sigma)^n}{n!}, \ll{defexp}\ee
pak platí
\be  \exp[i\vec a\cdot\vec\sigma]=\cos (|\vec a|)+i\frac{\vec
a\cdot\vec\sigma}{|\vec a|}\sin(|\vec a|) \ee
\end{cvi}
\navod Spočtěte nejprve $(\vec a\cdot\vec\sigma)^2$ a povšimněte si, že je to násobek jednotkové matice, pak sumu rozdělte na součet přes sudé a liché indexy.
 
\begin{cvi} Částice se spinem $1/2$ je umístěna v konstantním magnetickém poli \\ $\vec{B}=(B,0,0)$. V čase $t=0$ byla naměřena hodnota její z-ové složky spinu $+\hbar/2$. S jakou \pst í nalezneme v libovolném dalším čase hodnotu její y-ové složky spinu $+\hbar/2$?
\end{cvi}
\vysl
$$P_{S_y=\frac{\hbar}{2}} = \frac{1}{2} \left(1 + \sin\left(\frac{2\mu_0}{\hbar} B t\right) \right) .$$
 
\begin{cvi} Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v poli Coulombova potenciálu s hodnotou z--ové, resp. x--ové, resp. y--ové složky spinu rovné $\hbar/2$.
\end{cvi}
\navod Protože $\hat H$ je ve spinovém prostoru diagonální, bude mít základní stav stejnou energii, jako když spin neuvažujeme, a odpovídající vlastní vektor má tvar $\psi = \left( \begin{array}{c} \alpha e^{-\frac{r}{a}} \\ \beta e^{-\frac{r}{a}}\end{array} \right)$. Konstanty $\alpha, \beta$ určíme tak, aby to byl současně vlastní vektor odpovídající složky spinu.
 
\begin{cvi} Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, respektive $\half$ v poli harmonického oscilátoru.
\end{cvi}
\vysl \\
Spin $0$: \begin{enumerate} \item základní stav $E = 3 \hbar \omega$, nedegenerovaný
\item  1. excitovaný stav $E=4 \hbar \omega$, 3 lineárně nezávislé stavy \end{enumerate}
Spin $\frac{1}{2}$: \begin{enumerate} \item základní stav $E = 3 \hbar \omega$, nedegenerovaný
\item  1. excitovaný stav $E=4 \hbar \omega$, 12 lineárně nezávislých stavů \end{enumerate}
 
\begin{cvi} Atom uhlíku má čtyři valenční elektrony (přesvědčte se). Můžeme na něj tedy nahlížet jako na systém čtyř elektronů ve sféricky symetrickém poli. Jaká je pak degenerace jeho základního stavu?
\end{cvi}
\vysl 15.
 
\begin{cvi} Najděte v 1. řádu poruchové teorie energii základního stavu atomu helia.
\end{cvi}
\navod \\
Neporušený systém $\ldots$ 2 elektrony v poli jádra, \\
porucha $\ldots$ elektrostatická interakce mezi elektrony $\hat H'={\tilde e}^2/|{\vec x}^{(1) }- {\vec x}^{(2)}|$, \\
základní stav neporušeného $\hat H_0$ (zdůvodněte a ověřte normalizaci)
$$\phi({\vec x}^{(1)},{\vec x}^{(2)}, \xi^{(1)}, \xi^{(2)}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \psi^{(1)}_0({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \psi^{(-1)}_0({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) - \left( ({\vec x}^{(1)},\xi^{(1)}) \leftrightarrow ({\vec x}^{(2)},\xi^{(2)}) \right) \right),$$
kde
$$ \psi^{(\alpha)}_0({\vec x},\xi) = \pi^{-1/2} (Z/a)^{3/2} \exp(-Zr/a) \delta_{\xi,\alpha}, \quad \xi=\pm 1. $$
Při výpočtu $E_0^{(1)}=\langle \phi | \hat H' | \phi  \rangle$ využijte (viz Formánek: úvod do kvantové teorie)
$$ \frac{1}{|{\vec x} - {\vec y}|} = \frac{1}{R} \sum_{l=0}^{\infty} (\frac{r}{R})^l P^0_l(\cos \theta), \qquad r<R, r=|\vec x|, R=|\vec y|, \, {\vec x}{\vec y}=rR\cos \theta  $$
a
$$ P^0_l({\vec n}_1 {\vec n}_2) = \frac{4 \pi}{ 2 l +1} \sum_{m=-l}^{l} Y_{lm}^*({\vec n}_1) Y_{lm}({\vec n}_2), \quad \forall {\vec n}_j: |{\vec n}_j|=1 . $$
Integrály pro $m \neq 0$, resp. $l \neq 0$ vymizí (proč?), zbývá provést triviální integraci přes úhly a per partes v $r_1,r_2$. Výsledek:
$$E_0^{(1)}= \frac{5 {\tilde e}^2}{4 a}, \quad E_0=E_0^{(0)}+E_0^{(1)}+\ldots \simeq -74,8 {\rm eV}.$$