…metoda řízené relaxace (nevyžaduje se, následující věta však bude užitečná i dále). U soustavy lineárních alebraických rovnic s regulární maticí lze rovnic

\vec u^T & \alpha …ceni12}) a dostaneme $\vec r=\hat D^{-1}\hat L^{-1}\vec v$, $\vec l^T=\vec u^T\hat R^{-1}\hat D^{-1}\, \delta=\alpha-\vec l^T\hat D\vec r$. Našli jsme

…$n\times n$ (v jednom musí být po celou dobu uložena matice soustavy). U LR-algoritmu stačí jediné pole o rozměrech $n\times n$. Je-li matice so …dničkami na diagonále $\mathcal L_s$ a horní trojúhelníkovou matici $\mathcal R_s$.

\newcommand{\separator}{\hrulefill} % or pagebreak if u wanna \newcommand{\rint}{\mathcal{R}\!\!\int}

\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak \newcommand{\M}{{\mathcal M}}

\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c, kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.

$\Gamma$ po částech třídy $\mathcal C^1$. Zabývejme se lineární parciální u&=\gamma_0\quad\text{na }\gamma_h.

$\Gamma$ po částech třídy $\mathcal C^1$, $L$ je eliptický parciální budeme značit $u$, resp. $\widehat u$.

\tucne U = (\rho, \rho v, E) \qquad , \qquad \tucne F(\tucne U) = (\rho v, \rho v^2 + p, v(E + p)) …artial\tucne U}{\partial t}+\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)=\tucne0.

: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ borelovsky měřitelná na $ \left(\Omega,\mathcal{B} \right) $ taková, > 0 \right)\left(\forall M \in \mathcal{B}_n \right) $ platí

kde $ A_j \in \mathcal{A},\ a_j \in \mathbb{R} $. Integrál takové funkce $ \varphi $ vzhledem k a u Vrány jsme to dělali obdobně, totiž

Buď $ X \in \mathcal{L}_1 $. Potom pro každé $ \varepsilon > 0 $ platí Buď $ X \in \mathcal{L}_2 $. Potom pro každé $ \varepsilon > 0 $ platí

…_j \right)_{j=1}^{N} $ náhodné veličiny na prostorech $ \left(\Omega_j,\mathcal{A}_j, \mathrm{P}_j \right) $ s rozděleními $ \mathrm{P}^{X_j} = \mathrm{P …dehat{N} \right) = \sigma \left( \times_{k=1}^{l} A_{j_k}\ :\ A_{j_k} \in \mathcal{A}_{j_k},\ l \in \widehat{N} \right) $$

\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak \newcommand{\M}{{\mathcal M}}

…tné, tj. pro nekonečnou dimenzi věta neplatí. Protipříklad: Nechť $\mathcal P_{[0,1]}$ je prostor reálných polynomů definovaných na $[0,1]$, na ně v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to

\newcommand{\px}{\mathcal{X}} % pytlickovo x \newcommand{\jak}{\mathcal{J}} % jakobian

V dalších příkladech už budeme pokračovat rychleji. V tomto jsme problém rozebrali až do morku \[ u = \frac{y^2}{x}, \ v = \sqrt{xy}. \]

Pro spojitou náhodnou veličinu $x\in\mathcal{X}$ s hustotou pravděpodobnosti $w(x)$ se entropie definuje analogicky vzt $$S = -\int\limits_\mathcal{X} w(x)\ln w(x) dx.$$

Uvažujme systém s mikrostavy $x\in\mathcal{X}$. Systém má zadané střední hodnoty funkcí $A_j$ definovaných na m Z(\lambda_j) = \int\limits_\mathcal{X}\exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)dx.

\newcommand{\iu}{\' u} \newcommand{\uu}{\r u}

Dochází u~něj k~vlnovým jevům např.~interferenci a ohybu.

$w=f(z) \to w=u+\ui v$ kde $u,v \in \mathbb{R}$ \\ f(x+\ui y)=\underbrace{u(x,y)}_{\reca f}+\ui \underbrace{v(x,y)}_{\imca f}

Ne všechny podmnožiny $\Omega$ jsou jevy. To platí pouze u~spočetných $\Omega$. Nechť $\mathcal C$ značí systém jevů. Jevy z~$\mathcal C$ nazýváme {\bf

$10^8$ & 1 & & velmi krátké & & (v užším \\ prostředí \(\varepsilon\), \(\mu\) budeme definovat podobně jako u

Nechť $\mathcal{C}$ je množina všech jednoduchých spojitých křivek a zobrazení $\psi:E\mapsto\mathcal{C}$, takové že

\newtheorem*{notation*}{\'{U}mluva} \newtheorem*{cor*}{D\r{u}sledek}

a $H=(U,F)$ jako graf\[ G[H]=(V\times U,\mathcal{E}),\]

…se tím nezmění). Grupové vlastnosti $N_G(A)$ se ukáží podobně jako u $C_G(A)$. Mějme libovolnou množinu $A$ a její potenční množinu $\mathcal{P}(A)=2^A$. Zavedeme uspořádání $(\all M,N \in 2^A)(M \preceq N \lra M

\item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{uk|k \in K\}$, \item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{ku|k \in K\}$.

…a $\mathcal{H}$, nazýváme $T$ \textbf{unitární} reprezentací $G$ na $\mathcal{H}$. …r$. Hermitovské matice můžeme diagonalizovat pomocí unitární matice $U$. Nechť tato diagonalizované matice je:

\newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} % funkce třídy C %\newcommand{\I}{\mathcal{I}} % interval I

…\int \dif^3 x \mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)) = \int \dif^4 x\mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)). Zde $\mathcal{L}$ je \textbf{hustota Lagrangeovy funkce} nebo krátce \textbf{Lagrangián

\mathcal{L} = \frac{1}{2}\parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi …obecněné souřadnice, zavedeme další operátor: $\pi(x) = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \dot{\varphi}}$ (analogie zobecněné hybnosti). (Tečkou označu

…volného Hamiltoniánu $H_0$ a budeme řešit časový vývoj stavů daný už jen interakčním Hamiltoniánem $H_{int}$. Definujeme tedy Máme $H_I^{int}(t) = \int \dif^3 x \mathcal{H}_I^{int}(\vec{x},t)$, kde $\mathcal{H}_I^{int}(\vec{x},t)$ je hustota Hamiltoniánu. Můžeme také psát

…sociativní} $\Leftrightarrow (\forall u, v, w \in V)( m(u, m(v,w)) = m(m(u,v),w))$ …oli \textbf{abelovská} $\Leftrightarrow (\forall u, v \in V)(m(u,v) = m(v,u))$

Mějme lokální souřadnice $(x^i)$ na $U = U^\circ \subset M$, $p \in U$. Pak báze $\tecn$ má tvar $\left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right)_{i=1}^n$ …a_i^\alpha \right)_{i=1}^n \in \R^n$, a tedy $\tau_{\alpha \beta} (p) \in \mathcal{L} (\R^n)$ hladce závisející na $p$.

\newcommand{\ham}{\mathcal{H}} \newcommand{\kam}{\mathcal{K}}

…cal{M}$ a zkoumejme s jakou pravděpodobností naměříme hodnotu $m \in \mathcal{M}$. Od počátku uvažujeme, že tato pravděpodobnost bude záviset jedna …í-li operátory $F_m$ pro hodnoty $m \in \mathcal{M}$ vztah $\sum_{m \in \mathcal{M}} F_m = \ident$ a jsou-li všechny pozitivní, $F_m \geq 0$. Právě uved

…) \, \adj{K}_i = \trPar{B}(U (\rho_A(t_0) \tens \ketbraSame{\varphi}) \adj{U})$. Druhá rovnost představuje Krausovu reprezentaci, třetí rovnost pak …_{(t_1,t_0)} \rho_A(t_0) \ = \ \trPar{B}(U (\rho_A(t_0) \tens \sigma) \adj{U}) \\

…ec b \) na soustavu \( \matice U \vec x = \vec d \), kde matice \( \matice U \) je horní trojúhelníková. \item \textbf{Zpětný chod} - Řešíme soustavu \( \matice U \vec x = \vec d \) pomocí zpětné substituce.

\[ \sigma ( \matice A) \subset \mathcal S_{\mathcal R} = \bigcup_{i = 1}^n \mathcal R_i \] \[ \mathcal R_i = \left\{ z \in \mathbbm C \; \Big | \; \lvert z - \matice A_{ii} \rver

Nechť je \( f \in \mathcal C ( \left< a, b \right> ) \). Nechť dále \( f ( a ) f ( b ) < 0 \). Potom Nechť je \( f \in \mathcal C ( \left< a, b \right> ) \). Nechť dále \( f ( a ) f ( b ) < 0 \). Inter

…a Hanele ze svých výpisků. Chtělo by to přepsat podle prezentace, ale už se mi to ve zkouškovém dělat nechce.} Mějme funkci \(f \in \mathcal C^2 ( x ) \). Vyjádříme její Lagrangeův polynom stupně 1 na intervalu

Reprezentace $\mathfrak{so}(3)$ na $\mathcal{C}^{\infty}(\R^3)$: $\phi(X_i)=\varepsilon_{ijk}x_k\partial_{j}$ (sumace po …bset W^\perp$. Navíc na úrovni algeber platí $\phi_* : \g \to \mathfrak{u}(\mathscr{H})$ a pomocí exponenciely dostaneme pro $X \in \g$:

…\forall x \in M,\ \exists U = U^\circ,\ \pi^{(-1)}(U)=\bigcup_{\alpha \in \mathcal{I}}U_\alpha,\ U_\alpha = U_{\alpha}^\circ \subset \overline{M},\ U_\alpha \ \item $\left. \pi \right\rvert_{U_\alpha}: U_\alpha \to U$ je difeomorfismus.

Konečné prvky $(K,\mathcal P,\en)$ a $(K,\mathcal P, \widetilde{\en})$ jsou interpolačně ekvivalentní právě tehdy, když $Q^m u(x)$ je polynom stupně ostře menšího než $m$.

…\infty$, takže $\rho(g_0) = \{ \rho(H) | H \in \g_0 \}$ je podprostor v $\mathcal{L}(V)$ tvořený komutujícími operátory. Potřebujeme ukázat, že jsou \item \textbf{Váhová mřížka} je $\mathcal{J} \subset \h^\#,\ \mathcal{J} = \left\{ \lambda \in \h^\# \middle| \lambda(T_\alpha) \in \Z,\ \forall

$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$ …ikou již známé analýzy a zavedli pro ně operace kompatibilní s těmi u klasických funkcí.

Nyní už věta, jejíž důsledek chceme dokázat: …měli psát $\langle f,\overline{\phi} \rangle$, ale je to jedno. } Nyní už máme skalární součin (z~tohoto důvodu jsme požadovali kvadratickou

$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$ …= \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $.

…zí pod integrálem. Jde o určitou analogii diferenciálních rovnic, jak už totiž z fyziky víme, celou řadu rovnic lze ekvivalentně zapsat jak v …vnice. U Fredholmových rovnic má interval integrace konstantní hranice, u Volterrových rovnic je pak jedna z hranic funkcí nezávislé proměnné.

…Ty se budou odvíjet i od jeho definičního oboru, podobně jako tomu je u funkcí. …ight)\dd x = - \displaystyle \int_{G}v(x)\left(\div(p(x)\grad u(x)) - q(x) u(x)\right)\dd x$$

Mějme libovolný systém množin $ \emptyset \neq \tau \subset \mathcal{P}(\Omega)$. \textbf{Minimální $ \sigma $-algebrou} nad systémem $ \tau Budiž $ \tau \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^n) $ neprázdný systém, který \emph{generuje}\footnote{To

Nyní, když už máme zavedeny náhodné veličiny a ovládáme základní operace s~nimi …tuře se místo výrazu "$ \left(X_j\right)_{j \geq 1} $ jsou nezávislé" užívá anglické zkratky \textbf{i.~d.} -- \emph{independently distributed}

…že distribuční funkce nabývat pouze spočetně mnoha hodnot, můžeme učinit následující pozorování: a píšeme $ X \sim \mathcal{U}_{\{x_1, \ldots, x_n\}} $, kde $ \mathcal{U} $ znamená uniformní (rovnoměrné).

…note{Nemusíme ji však najít v~elementárním tvaru, jako je tomu např. u~normálního rozdělení.}, tedy $ F_X^{-1}(\alpha) = x $. \subsection{Prostor $\mathcal{L}_1$ a střední hodnota}

…+ \ii Y $ můžeme nahlížet jako na transformaci dvou reálných -- pak už výpočet $ \E Z = \E X + \ii \E Y $ má smysl. Rozdělení $ Z $ je tedy …imes \Omega_2 \rightarrow \mathbb{R} $. Je-li míra~$ P $ součinová, pak už můžeme použít Fubiniho větu~\ref{v-fubini} zvlášť na reálnou a i

Můžeme uvažovat i konvergenci na prostoru $ \mathcal{L}_p $, ale limitní prvek bude jednoznačný \emph{až na množinu míry n …ůžeme vyjádřit pomocí sjednocení přes $ k \in \mathbb{N}$. Podobné učiníme s~výrokem $ \forall n \geq k $. Výše uvedenou pravděpodobnost m

\item k odvození řádu metody užíváme \underline{Taylorův rozvoj}

…veďme její Taylorův rozvoj na okolí \(\vec{x}=\vec{x}_{0} \in \mathcal{U}(\vec{0})\)\ldots počáteční bod

…počet integrálu na konečnou sumu \(\sum_{i=0}^{n} c_i f(x_{i}) \approx \mathcal{I}\) …_1 = f(x_1) \implies \underline{\int_{x_1}^{x_2} f(x)\d x = h \cdot f_1 + \mathcal{O}(h^{?})} \)