Součásti dokumentu 01PRA1_2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2}
\section{Charakteristiky vícerozměrných náhodných veličin}
\begin{define}
\[E(X|Y)=\int_\R xf_{X|Y}(x|y)\,\d x,\]
\[D(X|Y)=E[(X-E(X|Y))^2|Y].\]
\end{define}
\begin{define}
{\bf Kovariance} veličin $X_i$ a $X_j$ je definována vztahem
\[\Cov(X_i,X_j)=E[(X_i-EX_i)(X_j-EX_j)].\]
\end{define}
\begin{remark}
Kovariance má následující vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item $\Cov(X,Y)=E(XY)-EX\,EY$;
\item $\Cov(X,X)=DX$;
\item Jsou-li $X,Y$ nezávislé, pak $\Cov(X,Y)=0$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Korelační koeficient veličin $X,Y$ definujeme jako
\[\rho(X,Y)=\frac{\Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\]
za předpokladu, že $EX^2$ a $EY^2$ jsou konečné.
\end{define}
\begin{define}
Je-li $\rho(X,Y)=0$, pak říkáme, že $X$ a $Y$ jsou nekorelované.
\end{define}
\begin{theorem}
Jsou-li $X,Y$ nezávislé, pak jsou nekorelované.
\end{theorem}
\begin{example}
Buď $X$ náhodná veličina s~rozdělením symetrickým kolem 0,
tj. $F_X$ je sudá funkce. Potom
\begin{enumerate}
\item $\Cov(X,X^2)=EX^3-EX\,EX^2=0$;
\item $\Cov(X,X^2+X)=EX^3+EX^2-EX\,EX^3-EX\,EX\ge 0$;
\item $\Cov(X,X^3)=EX^4-EX\,EX^3=EX^4\ge 0$;
\item $\Cov(X,\abs{X})=EX\abs{X}-EX\,E\abs{X}=0$.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{theorem}[Schwarzova nerovnost]
Buďte $X,Y$ náhodné veličiny, $EX<+\infty$, $EY<+\infty$. Pak
$[E(XY)]^2\le EX^2\,EY^2$. Rovnost nastává, právě když existuje
$t\in\R$ tak, že $P(tX+Y=0)=1$ nebo $P(X+tY=0)=1$.
\begin{proof}
Pro libovolné $t\in\R$ platí $P((tX+Y)^2\ge 0)=1$ a tedy $E(tX+Y)^2\ge 0$ a
$t^2EX^2+2tE(XY)+EY^2\ge 0$. Aby nerovnost platila pro každé $t\in\R$,
musí být diskriminant levé strany nekladný, tedy
\[\frac D4=(E(XY))^2-EX^2\,EY^2\le 0.\]
Rovnost nastává, právě když existuje $t$ tak, že $E(tX+Y)^2=0$ a tedy
$tX+Y=0$ skoro všude tam, kde $f_{tX+Y}\not=0$, tedy $P(tX+Y=0)=1$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Buďte $X,Y$ náhodné veličiny, $DX>0$, $DY>0$. Potom $-1\le\rho(X,Y)\le
1$, přičemž rovnost $\rho=1$ nastává, právě když existuje $t>0$ tak,
že $Y-EY=t(X-EX)$. Rovnost $\rho=-1$ nastává, právě když existuje $t<0$
tak, že $Y-EY=t(X-EX)$.
\begin{proof}
Ze Schwarzovy nerovnosti vyplývá
\[\abs{E(X-EX)(Y-EY)}\le
\sqrt{E(X-EX)^2\,E(Y-EY)^2}.\]
Z~toho okamžitě plyne, že $\abs{\rho(X,Y)}\le 1$.
Rovnost nastane, právě když existuje $t$ takové, že $Y-EY=t(X-EX)$. Po
vynásobení $(X-EX)$ a vystředování dostaneme
$\Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=tDX$.
Protože $\abs{\rho}=1$ a $DX>0$, musí být $\rho=\sgn t$.
\end{proof}
\end{theorem}
