01PRA1 2:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01PRA1_2}) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01PRA1_2} | %\wikiskriptum{01PRA1_2} | ||
+ | \section{Úvod} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Prostor elementárních jevů, algebra jevů} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Označme $\Omega$ prostor elementárních jevů, $\omega\in\Omega$ | ||
+ | elementární jev, $A\subset\Omega$ jev. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Buďte $A,B$ jevy, potom | ||
+ | \begin{itemize} | ||
+ | \item $A=\Omega$ je {\bf jev jistý}. | ||
+ | \item $A\compl$ je {\bf jev opačný} k~jevu $A$. Platí | ||
+ | $\omega\in A\veebar\omega\in A\compl$. | ||
+ | \item $A\cup B$ je jev, kdy nastává $A$ nebo $B$. | ||
+ | \item Pokud $A$ a $B$ nenastávají současně, říkáme, že jde o~jevy {\bf | ||
+ | navzájem neslučitelné}. | ||
+ | \item Jsou-li $A,B$ neslučitelné, píšeme $+$ místo $\cup$: $A+B$. | ||
+ | \item $A\subset B$, právě když platí $\omega\in A\implies\omega\in B$. | ||
+ | \item $A\cap B$ ($A\cdot B$) je jev, kdy $A$ a $B$ nastávají současně. | ||
+ | \item $\emptyset$ je {\bf jev nemožný}. | ||
+ | \item $A=B$, právě když $A\subset B$ a $B\subset A$. | ||
+ | \item $A-B$ je jev, kdy $A$ nastane a $B$ nenastane. | ||
+ | \item Symetrická diference $A\sd B=(A-B)\cup(B-A)$. | ||
+ | \end{itemize} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{poz} | ||
+ | Je-li $A\cup B=\emptyset$, pak $A$ a $B$ jsou neslučitelné. | ||
+ | \end{poz} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Nechť $A,B,C\subset\Omega$ jsou jevy, $N\in\N$ nebo $+\infty$. Pak | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $A\subset A$; | ||
+ | \item $A\subset B\wedge B\subset C\implies A\subset C$; | ||
+ | \item $A\cap A=A$, $A\cup A=A$; | ||
+ | \item $A\cup A=B\cup A$, $A\cap B=B\cap A$; | ||
+ | \item $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$, | ||
+ | $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$; | ||
+ | \item $\emptyset\subset A\subset\Omega$; | ||
+ | \item $A\cap B\subset A\subset A\cup B$; | ||
+ | \item $\emptyset\cap A=\emptyset$, $\emptyset\cup A\subset A$; | ||
+ | \item $\Omega\cap A=A$, $\Omega\cup A=\Omega$; | ||
+ | \item $(A\compl)\compl=A$; | ||
+ | \item $(A\cup B)\compl=A\compl\cap B\compl$, | ||
+ | $(A\cap B)\compl=A\compl\cup B\compl$; | ||
+ | \item $A\cup B=A+BA\compl$; | ||
+ | \item $B=AB+A\compl B$; | ||
+ | \item $A\cap(B\cup C)=AB\cup AC$, | ||
+ | $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$; | ||
+ | \item | ||
+ | \[\bigcup_{n=1}^N A_n=A_1+\sum_{n=2}^N A_1\compl\cdot A_{n-1}\compl | ||
+ | A_n;\] | ||
+ | \item | ||
+ | \[ | ||
+ | \left(\bigcup_{n=1}^N A_n\right)\compl=\bigcap_{n=1}^N A_n\compl,\quad | ||
+ | \left(\bigcap_{n=1}^N A_n\right)\compl=\bigcup_{n=1}^N A_n\compl; | ||
+ | \] | ||
+ | \item $A\cap A\compl=\emptyset$; | ||
+ | \item $A\cup A\compl=\Omega$; | ||
+ | \item $A\cap(B+C)=AB+AC$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Axiomy pravděpodobnostního prostoru} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | \label{kolmog_j} | ||
+ | Buď $\Omega$ prostor elementárních jevů, $\A\subset 2^\Omega$ | ||
+ | množina jevů. Požadujeme, aby $\A$ tvořila $\sigma$-algebru jevů, | ||
+ | tj. aby | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $\emptyset\in\A$; | ||
+ | \item $A\in\A\implies A\compl\in\A$; | ||
+ | \item $A_1,A_2,\dots,A_\infty\in\A\implies\bigcup_{j=1}^\infty A_j\in\A$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Ne všechny podmnožiny $\Omega$ jsou jevy. To platí pouze u~spočetných $\Omega$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{poz} | ||
+ | $\Omega\in\A$, $\bigcup_{j=1}^n A_j\in\A$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $\emptyset\in\A\implies\Omega=\emptyset\compl\in\A$; | ||
+ | \item Stačí položit $A_{n+1}=A_{n+2}=\dots=\emptyset$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{poz} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buďte $A_1,A_2,\dots,A_n,\ldots\in\A$. Potom | ||
+ | \[\bigcap_{j=1}^\infty A_j\in\A.\] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Protože $A_j\in\A$, podle axiomu 2 je $A_j\compl\in\A$, podle axiomu 3 | ||
+ | \[\bigcup_{j=1}^n A_j\compl\in\A\implies | ||
+ | \left(\bigcup_{j=1}^n A_j\compl\right)\compl\in\A\implies | ||
+ | \bigcap_{j=1}^n A_j\in\A. | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | \label{kolmog_p} | ||
+ | Pravděpodobnost $P$ je funkce $P:\A\mapsto\R$ taková, že | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $P(A)\ge 0$ pro každé $A\mapsto\A$; | ||
+ | \item $P(\Omega)=1$; | ||
+ | \item Pro každé $A_1,A_2,\dots,A_n,\ldots\in\A$ disjunktní je | ||
+ | \[P\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)=\sum_{j=1}^\infty P(A_j).\] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $P(\emptyset)=0$. | ||
+ | \item \[P\left(\sum_{j=1}^n A_j\right)=\sum_{j=1}^n P(A_j)\] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $\Omega\in\A$, $P(\Omega)=1$, | ||
+ | $\Omega\compl=\emptyset$. Protože | ||
+ | $\Omega+\emptyset+\emptyset+\dots=\Omega$, je | ||
+ | \[\sum_{1}^\infty P(\emptyset)=0\] | ||
+ | a $P(\emptyset)=0$. | ||
+ | \item Stačí zvolit $A_{n+1}=A_{n+2}=\dots=\emptyset$, potom | ||
+ | \[P\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)=\sum_{j=1}^\infty P(A_j)= | ||
+ | \sum_{j=1}^n P(A_j)+0.\] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buďte $A,B\in\A$. Pak $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | $A\cup B=A+(B\cap A\compl)$, $P(A\cap B)=P(A)+P(B\cap A\compl)$; dále | ||
+ | platí $B=B\cap A\compl+A\cap B$ a $P(B)=P(B\cap A\compl)+P(A\cap | ||
+ | B)$. Z~toho okamžitě vyplývá tvrzení věty. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap | ||
+ | C)+P(A\cap B\cap C)$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Booleova nerovnost] | ||
+ | $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{dusl} | ||
+ | \[P\left(\bigcup_{j=1}^{N,\infty} A_j\right)\le\sum_{j=1}^{N,\infty}P(A_j)\] | ||
+ | \end{dusl} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | $A\subset B\implies P(A)\le P(B)$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | $B=A+B\cap A\compl$, $P(B)=P(A)+P(B\cap A\compl)$, přičemž $P(B\cap | ||
+ | A\compl)\ge 0$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{dusl} | ||
+ | $P(A)\le 1$, neboť $A\subset\Omega$. | ||
+ | \end{dusl} | ||
+ | |||
+ | \begin{lemma}[o spojitosti] | ||
+ | Pravděpodobnost je spojitá funkce shora i zdola: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Nechť $A_n\in\A$, $A_n\nearrow A$, ($A_n\subset A_{n+1}$), | ||
+ | $A=\bigcup_{j=1}^\infty A_n$. Pak $\lim_{n\to\infty}P(A_n)=P(A)$. | ||
+ | \item Nechť $A_n\in\A$, $A_n\searrow A$, ($A_n\supset A_{n+1}$), | ||
+ | $A=\bigcap_{j=1}^\infty A_n$. Pak $\lim_{n\to\infty}P(A_n)=P(A)$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Nechť $A_n\searrow\emptyset$, dokážeme, že v~tom případě | ||
+ | $P(A_n)\to 0$ | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Existence limity plyne z~monotonie pravděpodobnosti $P(A_n)\ge | ||
+ | P(A_{n+1})$ a pozitivity $P\ge 0$. | ||
+ | \item Buď $B_n=A_n-A_{n+1}$, potom | ||
+ | \[A_n=\sum_{j=n}^\infty B_j.\] | ||
+ | Protože | ||
+ | \[A_1=\sum_{j=1}^\infty B_j,\] | ||
+ | a $B_j$ jsou disjunktní, je | ||
+ | \[P(A_1)=\sum_{j=1}^\infty P(B_j).\] | ||
+ | Řada na pravé straně konverguje, proto je | ||
+ | \[\lim_{n\to\infty}\sum_{j=n}^\infty P(B_j)=0.\] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \item Buď $A\not=\emptyset$, $A_n\searrow A\not=\emptyset$. Platí | ||
+ | $A_n=(A_n-A)+A$, $P(A_n)=P(A_n-A)+P(A)$. Potom $P(A_n-A)\to 0$ a | ||
+ | $P(A_n)\to P(A)$. | ||
+ | \item Buď $A\not=\emptyset$, $A_n\nearrow A\not=\emptyset$. Platí | ||
+ | $A=(A-A_n)+A_n$, $P(A)=P(A-A_n)+P(A_n)$. Potom $P(A-A_n)\to 0$ a | ||
+ | $P(A_n)\to P(A)$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Podmíněná pravděpodobnost} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Nechť $P(B)>0$. Pak podmíněná pravděpodobnost $A$ za předpokladu jevu | ||
+ | $B$ je definována jako | ||
+ | \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | $P(\cdot|B)$ je pravděpodobnost ve smyslu definice \ref{kolmog_p}. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item | ||
+ | \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\ge 0;\] | ||
+ | \item | ||
+ | \[P(\Omega|B)=\frac{P(\Omega\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1;\] | ||
+ | \item | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | P\left(\left.\sum_{j=1}^\infty A_j\right|B\right)&= | ||
+ | \frac{P\left(\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)\cap B\right)}{P(B)}= | ||
+ | \frac{P\left(\sum_{j=1}^\infty(A_j\cap B)\right)}{P(B)}=\\ | ||
+ | &=\frac{\sum_{j=1}^\infty P(A_j\cap B)}{P(B)}= | ||
+ | \sum_{j=1}^\infty \frac{P(A_j\cap B)}{P(B)} | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[o násobení pravděpodobnosti] | ||
+ | Buďte $A_0,A_1,\dots,A_n\in\A$ tak, že platí | ||
+ | $P(A_0\cap A_1\cap\dots\cap A_n)>0$. Pak | ||
+ | \[ | ||
+ | P(A_0\cap A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_0)P(A_1|A_0)P(A_2|A_0\cap | ||
+ | A_1)\cdots | ||
+ | P(A_n|A_0\cap\dots\cap A_{n-1}) | ||
+ | \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Platí | ||
+ | \[ | ||
+ | A_0\cap\dots\cap A_n\subset A_0\cap\dots\cap | ||
+ | A_{n-1}\subset\cdots\subset A_0 | ||
+ | \] | ||
+ | a | ||
+ | \[ | ||
+ | 0< P(A_0\cap\dots\cap A_n)\le P(A_0\cap\dots\cap A_{n-1})\le | ||
+ | \cdots\le P(A_0) | ||
+ | \] | ||
+ | Pro $n=1$ je to definice podmíněné pravděpodobnosti. Přechod $n\to | ||
+ | n+1$: | ||
+ | \[P(\underbrace{A_0\cdots A_n}_B A_{n+1})= | ||
+ | P(A_0\cdots A_n)P(A_{n+1}|A_0\cdots A_n).\] | ||
+ | Pro $P(A_0\cdots A_n)$ využijeme indukčního předpokladu. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[o úplnosti] | ||
+ | Nechť $\posloupnost{n=1}{N}{H_n}$ tvoří úplný rozklad jistého jevu, | ||
+ | tj. $P(H_n)>0$, $H_n$ jsou disjunktní a | ||
+ | \[P\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)=1.\] | ||
+ | Pak | ||
+ | \[P(A)=\sum_{j=1}^N P(A|H_n)P(H_n).\] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | P(A)&=P\left(A\cap\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)\right)+ | ||
+ | P\left(A\cap\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)\compl\right)=\\ | ||
+ | &=P\left(\sum_{j=1}^N (A\cap H_j)\right)+ | ||
+ | P\left(\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)\compl\right)= | ||
+ | \sum_{j=1}^N P(A\cap H_j) | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Bayes] | ||
+ | Nechť $\posloupnost{j=1}N{H_n}$ tvoří úplný rozklad jistého jevu a | ||
+ | $P(A)>0$. Pak | ||
+ | \[P(H_j|A)=\frac{P(A|H_j)P(H_j)}{\sum_{i=1}^N P(A|H_i)P(H_i)}.\] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \[ | ||
+ | P(H_j|A)=\frac{P(H_j\cap A)}{P(A)}= | ||
+ | \frac{P(A|H_j)P(H_j)}{\sum_{i=1}^N P(A|H_i)P(H_i)} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Stochastická nezávislost jevů} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Nechť $\mathcal C$ značí systém jevů. Jevy z~$\mathcal C$ nazýváme {\bf | ||
+ | nezávislé}, pokud pro každý konečný systém $A_1,\dots,A_n\in\mathcal | ||
+ | C$ platí $P(A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buďte $A,B$ nezávislé jevy. Potom $A$ a $B\compl$ jsou nezávislé. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Protože $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B\compl)$, je | ||
+ | $P(A\cap B\compl)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B\compl)$ | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{dusl} | ||
+ | $A\compl$ a $B\compl$ jsou nezávislé. | ||
+ | \end{dusl} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buď $P(B)>0$. Pak $A,B$ jsou nezávislé, právě když $P(A|B)=P(A)$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Buďte $A,B$ nezávislé, pak | ||
+ | \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A).\] | ||
+ | Nechť $P(A|B)=P(A)$. Potom $P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Buď $A$ jev, $B$ jev takový, že $P(B)=0$. Pak $A,B$ jsou | ||
+ | nezávislé: $0\le P(A\cap B)\le P(B)=0=P(A)P(B)$. | ||
+ | \item Buď $A\in\A$. Potom $A,\Omega$ jsou nezávislé. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Soubor, jehož každé dva prvky jsou nezávislé, nazýváme {\bf párově | ||
+ | nezávislý}. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Borelovská algebra, borelovsky měřitelné funkce} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Neprázdný systém $\S$ podmnožin množiny $X$ se nazývá {\bf algebrou}, | ||
+ | pokud platí: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $\emptyset\in\S$, | ||
+ | \item $(\forall E,F\in\S)(E\sm F\in\S)$, | ||
+ | \item $E\cup F\in\S$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[alternativní] | ||
+ | Neprázdný systém $\S$ podmnožin množiny $X$ se nazývá {\bf algebrou}, | ||
+ | pokud platí: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $(\forall E\in\S)(X\sm E\in\S)$, | ||
+ | \item $(\forall E,F\in\S)(E\cup F\in\S)$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Nechť $Z$ je libovolný systém z~$2^X$. Definujeme | ||
+ | \[\sigma(Z)=\bigcap_{\alpha\in\I}\S_\alpha,\] | ||
+ | kde $\S_\alpha$ jsou $\sigma$-algebry takové, že $Z\subset\S_\alpha$. | ||
+ | |||
+ | Množina $\sigma(Z)$ se nazývá {\bf mininální $\sigma$-algebrou} nad | ||
+ | systémem $Z$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Buď $X=\R$, $\tau=\{(a_i,b_i)|a_i<b_i\wedge a_i,b_i\in\R\}$, pak | ||
+ | $\sigma(\tau)=:\B_1$ se nazývá {\bf borelovská algebra} a $B\in\B_1$ | ||
+ | se nazývá {\bf borelovsky měřitelná}. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | {\bf Náhodná veličina} je funkce $X:\Omega\mapsto\R$ taková, že pro | ||
+ | každé $x\in\R$ platí | ||
+ | $\{\omega|X(\omega)\le x\}\in\A$, $X^{-1}((-\infty,x])\in\A$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Buď $A\in\A$. Potom funkce | ||
+ | \[ | ||
+ | \chf_A(\omega)= | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | 0&\omega\not\in A\\ | ||
+ | 1&\omega\in A | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \] | ||
+ | je {\bf charakteristická funkce $A$}. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Funkce $\chf_A$ je náhodná veličina. | ||
+ | \item Značení: $\{\omega|X(\omega)\in S\}=:\{X\in S\}$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Funkce $X:\Omega\mapsto\R$ je náhodná veličina, právě když | ||
+ | $(\forall x\in\R)(\{X<x\}\in\A)$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | |||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Operace s~náhodnými veličinami} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Sčítání: $(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)$. | ||
+ | \begin{proof}[Důkaz, že $X+Y$ je n.v.] | ||
+ | Dokážeme, že | ||
+ | $A=\{\omega|X(\omega)+Y(\omega)<c\}\in\A$ a že | ||
+ | \[A=\bigcup_{r\in\Q}(\{X(\omega)\le r\}\cap\{Y(\omega)\le c-r\}).\] | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $\supset$: triviální. | ||
+ | \item $\subset$: Nechť $\omega\in A$. Potom $X(\omega)+Y(\omega)<c\iff | ||
+ | X(\omega)<c-Y(\omega)$, takže existuje $r\in\Q$ tak, že platí | ||
+ | $X(\omega)\le r\le c-Y(\omega)$, tj. $\omega\in\bigcup$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \item Násobení konstantou: $(KX)(\omega)=K\cdot X(\omega)$. | ||
+ | \begin{proof}[Důkaz, že $KX$ je n.v.] | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Pro $K>0$ je $\{X\le c/K\}\in\A$. | ||
+ | \item Pro $K<0$ je $\{X\ge c/K\}\in\A$. | ||
+ | \item Pro $K=0$ je $\emptyset\in\A$ pro $x<0$ nebo $\Omega\in\A$ pro $c\ge 0$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \item Násobení: $(XY)(\omega)=X(\omega)\cdot Y(\omega)$. | ||
+ | \begin{proof}[Důkaz, že $XY$ je n.v.] | ||
+ | Dokážeme, že $X^2$ je n.v.: | ||
+ | \[ | ||
+ | \{X^2(\omega)\le c\}= | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \emptyset & c<0\\ | ||
+ | \{-\sqrt{c}\le X(\omega)\le\sqrt{c}\} & c\ge 0 | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | \{-\sqrt{c}\le X(\omega)\le\sqrt{c}\}= | ||
+ | \underbrace{\{X(\omega)\le\sqrt{c}\}}_{\in\A}\cap | ||
+ | \underbrace{\{\sqrt{c}\le X(\omega)\}}_{\in\A}\in\A. | ||
+ | \] | ||
+ | Dále platí, že $XY=\frac14((X+Y)^2-(X-Y)^2)$, což je podle předchozích | ||
+ | závěrů náhodná veličina. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \item Dělení: $Y\not=0$, $(X/Y)(\omega)=X(\omega)/Y(\omega)$. | ||
+ | \begin{proof}[Důkaz, že $X/Y$ je n.v.] | ||
+ | Buďte $X,Y$ náhodné veličiny, $\{Y(\omega)=0\}=\emptyset$. | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | \left\{\frac{X(\omega)}{Y(\omega)}\le c\right\}&= | ||
+ | \left\{\frac{X(\omega)}{Y(\omega)}\le c\right\}\cap \{Y>0\}+ | ||
+ | \left\{\frac{X(\omega)}{Y(\omega)}\le c\right\}\cap \{Y<0\}=\\ | ||
+ | &=\underbrace{\{X(\omega)\le c Y(\omega)\}}_{\in\A}\cap\underbrace{\{Y(\omega)>0\}}_{\in\A}+ | ||
+ | \underbrace{\{X(\omega)\ge c Y(\omega)\}}_{\in\A}\cap\underbrace{\{Y(\omega)>0\}}_{\in\A} | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \item Maximum: $\max\{X,Y\}(\omega):= | ||
+ | \max\{X(\omega),Y(\omega)\}$ | ||
+ | \begin{proof}[Důkaz, že $\max\{X,Y\}$ je n.v.] | ||
+ | \[\left\{\max\{X(\omega),Y(\omega)\}\le c\right\}= | ||
+ | \{X(\omega)\le c\}\cap\{Y(\omega)\le c\}.\] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \item Minimum: $\min\{X,Y\}:=-\max\{-X,-Y\}$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | |||
+ | \begin{lemma} | ||
+ | Každou množinu $B\in\B_1$ lze složit z~polouzavřených intervalů | ||
+ | $(a_i,b_i]$ pomocí operací $\cup$ a $-$. | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buď $X$ náhodná veličina $\Omega\mapsto\R$, $g$ funkce $\R\mapsto\R$ | ||
+ | borelovsky měřitelná. Pak $g(X)$ je náhodná veličina. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Z předpokladu vyplývá, že $g^{-1}((-\infty,c])=B$ je borelovsky | ||
+ | měřitelná. Dále platí, že libovolný interval $(a_i,b_i]$ | ||
+ | lze zapsat jako $(-\infty,b_i]-(-\infty,a_i]$. Z~nich pak lze složit | ||
+ | libovolnou borelovskou množinu (bez důkazu): | ||
+ | \[X^{-1}(B)=X^{-1}\left(\bigcupm_i(a_i,b_i]\right)= | ||
+ | \bigcupm_i | ||
+ | X^{-1}(a_i,b_i]=\bigcupm_i(X^{-1}(-\infty,b_i]-X^{-1}(-\infty,b_i]),\] | ||
+ | kde $\bigcupm$ je licensia poetica a znamená to kombinaci $\cup$ a | ||
+ | $-$. Z toho plyne, že $X^{-1}(B)\in\A$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buďte $X_i$ náhodné veličiny (spočetný počet), potom | ||
+ | \[\inf\{X_i|i\in\N\},\quad\sup\{X_i|i\in\N\},\quad | ||
+ | X=\lim_{i\to\infty}X_i\] | ||
+ | jsou náhodné veličiny. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Pro charakteristickou funkci množiny platí: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $\chf_A^2=\chf_A$; | ||
+ | \item $\chf_\Omega=1$; | ||
+ | \item $1-\chf_A=\chf_{A\compl}$; | ||
+ | \item $\chf_{A\cap B}=\chf_A\chf_B$; | ||
+ | \item $\chf_{A+B}=\chf_A+\chf_B$; | ||
+ | \item $\chf_{A\cup B}=\max(\chf_A,\chf_B)$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Distribuční funkce náhodné veličiny} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Buď $X$ náhodná veličina. Potom definujeme $F_X:\R\mapsto\R$, | ||
+ | $F_X(x)=P(X\le x)$ pro každé $x\in\R$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buď $X$ náhodná veličina, $F_X$ distribuční funkce. Pak | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $x_1\le x_2\implies F_X(x_1)\le F_X(x_2)$; | ||
+ | \item $\lim_{n\to\infty}F_X(x)=1$; | ||
+ | \item $\lim_{n\to-\infty}F_X(x)=0$; | ||
+ | \item $F_X(x)$ je zprava spojitá. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $x_1\le x_2\implies\{\omega|X\le x_1\}\subset\{X\le x_2\}$; | ||
+ | $P\{X\le x_1\}\le P\{X\le x_2\}$. | ||
+ | \item | ||
+ | \[ | ||
+ | \lim_{n\to\infty}F_X(n)= | ||
+ | \lim_{n\to\infty}P(X\le n)=P\left(\bigcup_{n=1}^n\{X\le n\}\right)= | ||
+ | P(\Omega)=1\] | ||
+ | \item | ||
+ | \[ | ||
+ | \lim_{x\to-\infty}F_X(x)= | ||
+ | \lim_{n\to\infty}P(X\le -n)=P\left(\bigcap_{n=1}^n\{X\le -n\}\right)= | ||
+ | P(\emptyset)=0 | ||
+ | \] | ||
+ | \item | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | \lim_{x\to a+}F_X(x)&=\lim_{x\to\infty}F_X\left(a+\frac1{2^n}\right)= | ||
+ | \lim_{n\to\infty} P\left(X\le a+\frac1{2^n}\right)=\\ | ||
+ | &=P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\left\{X\le a+\frac1{2^n}\right\}\right)= | ||
+ | P(X\le a)=F_X(a) | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | P(X<x)&= | ||
+ | P\left(\bigcup_{n=1}^\infty\left\{X\le x-\frac1{2^n}\right\}\right)= | ||
+ | \lim_{n\to\infty}P\left(X\le x-\frac1{2^n}\right)=\\ | ||
+ | &=\lim_{n\to\infty} F_X\left(x-\frac1{2^n}\right)=F_X(x-0) | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | P(X=a)=P(\{X\le a\}-\{X<a\})=F_X(a)-F_X(a-0)= | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | 0& F_X\text{ spoj.}\\ | ||
+ | >0& F_X\text{ diskr.}\\ | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \] | ||
+ | \[P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)\] | ||
+ | \[P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a-0)\] | ||
+ | \[P(X>a)=1-F_X(a)\] | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Buďte $X,Y$ náhodné veličiny. Definujeme {\bf sdruženou} distribuční | ||
+ | funkci $F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)=P(\{X\le x\}\cap\{Y\le y\})$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Buďte $x_1\le x_2$, $y_1\le y_2$. Pak | ||
+ | $F_{X,Y}(x_1,y_1)\le F_{X,Y}(x_2,y_2)$. | ||
+ | \item $\lim_{x\to\infty} F_{X,Y}(x,y)=F_Y(y)$, $\lim_{y\to\infty} F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)$; | ||
+ | \item $\lim_{x\to-\infty} F_{X,Y}(x,y)=0$, $\lim_{y\to-\infty} F_{X,Y}(x,y)=0$ | ||
+ | \item $F_{X,Y}$ je spojitá zprava v~každé proměnné. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $\{X\le x_1\}\cap\{Y\le y_1\}\subset\{X\le x_2\}\cap\{Y\le | ||
+ | y_2\}$. | ||
+ | \item | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | \lim_{x\to\infty}F_{X,Y}(x,y)&= | ||
+ | \lim_{n\to\infty}P(\{X\le n\}\cap\{Y\le y\})=\\ | ||
+ | &=P\left(\bigcup_{n=1}^\infty (\{X\le n\}\cap\{Y\le y\})\right)=\\ | ||
+ | &=P\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty\{X\le n\}\right) | ||
+ | \cap\{Y\le y\}\right)=P(Y\le y)=F_Y(y) | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \item | ||
+ | \[ | ||
+ | \lim_{n\to\infty} P(X<-n,Y\le y)= | ||
+ | P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\{X\le -n\}\cap\{Y\le y\}\right)=P(\emptyset)=0 | ||
+ | \] | ||
+ | \item Vyplývá z~monotonie a věty o~spojitosti pravděpodobnosti. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Sdruženou distribuční funkci lze definovat i pro $n$ náhodných | ||
+ | veličin: | ||
+ | \[ | ||
+ | F_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_n)= | ||
+ | P(X_1\le x_1,\dots,X_n\le x_n). | ||
+ | \] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Sdružená distribuční funkce je monotonní; | ||
+ | \item | ||
+ | \[F_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_{n-1},+\infty)= | ||
+ | F_{X_1,\dots,X_{n-1}}(x_1,\dots,x_{n-1}),\] | ||
+ | \[F_{X_1,\dots,X_n}(+\infty,\dots,+\infty,x_j,+\infty,\dots,+\infty)= | ||
+ | F_{X_j}(x_j);\] | ||
+ | \item $F_{X_1,\dots,X_n}(-\infty,x_2,\dots,x_n)=0$; | ||
+ | \item $F_{X_1,\dots,X_n}(+\infty,\dots,+\infty)=1$; | ||
+ | \item $\Delta^n F_{X_1,\dots,X_n}\ge 0$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Buďte $X_1,\dots,X_n$ náhodné veličiny. Řekneme, že jsou stochasticky | ||
+ | nezávislé, pokud pro každé $a_i,b_i\in\R$, $a_i<b_i$ je systém jevů | ||
+ | $\{a_i<X_i\le b_i\}$ nezávislý | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buďte $X_1,\dots,X_m$ náhodné veličiny. Pak $X_1,\dots,X_m$ jsou | ||
+ | nezávislé, právě když | ||
+ | \[F_{X_1,\dots,X_m}(x_1,\dots,x_m)=\prod_{j=1}^mF_{X_j}(x_j).\] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item ($\Rightarrow$) zvolíme $a_i=-\infty$, $b_i=x_i$: | ||
+ | \[P\left(\bigcap_{i=1}^m\{-\infty<X_i\le x_i\}\right)= | ||
+ | \prod_{i=1}^m P(-\infty<X_i\le x_i)\] | ||
+ | \item ($\Leftarrow$) Buď $a_1<b_1$, $a_2<b_2$. Potom | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | &P(a<X_1<b_1\cap a_2<X_2\le b_2)=\\ | ||
+ | &=F_{X_1,X_2}(b_1,b_2)-F_{X_1,X_2}(a_1,b_2)-F_{X_1,X_2}(b_1,a_2)+F_{X_1,X_2}(a_1,a_2)=\\ | ||
+ | &=[F_{X_1}(b_1)-F_{X_1}(a_1)][F_{X_2}(b_2)-F_{X_2}(a_2)]= | ||
+ | P(a_1<X_1\le b_1)P(a_2<X_2\le b_2). | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Aktuální verze z 1. 11. 2010, 19:29
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01PRA1_2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01PRA1_2 | Karel.brinda | 2. 11. 2010 | 13:27 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:31 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 9. 1. 2012 | 14:04 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:29 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Diskrétní náhodné veličiny | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vícerozměrná diskrétní rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Absolutně spojitá rozdělení | Valapet2 | 3. 3. 2016 | 11:51 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Funkce náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Příklady absolutně spojitých rozdělení | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:35 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Charakteristiky náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Charakteristiky vícerozměrných náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Konvergence na prostoru náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Limitní věty teorie pravděpodobnosti | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Základní pojmy ze statistiky | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Odhad parametrů rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola12.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.eps | Gauss.eps |
Image:Fisher.eps | Fisher.eps |
Image:Gamma.eps | Gamma.eps |
Image:Chi2.eps | Chi2.eps |
Image:Pravd.eps | Pravd.eps |
Image:Gauss1.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fisher.eps | Fisher.pdf |
Image:Gamma.pdf | Gamma.pdf |
Image:Chi2.pdf | Chi2.pdf |
Image:Beta.pdf | Beta.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2} \section{Úvod} \subsection{Prostor elementárních jevů, algebra jevů} \begin{define} Označme $\Omega$ prostor elementárních jevů, $\omega\in\Omega$ elementární jev, $A\subset\Omega$ jev. \end{define} \begin{define} Buďte $A,B$ jevy, potom \begin{itemize} \item $A=\Omega$ je {\bf jev jistý}. \item $A\compl$ je {\bf jev opačný} k~jevu $A$. Platí $\omega\in A\veebar\omega\in A\compl$. \item $A\cup B$ je jev, kdy nastává $A$ nebo $B$. \item Pokud $A$ a $B$ nenastávají současně, říkáme, že jde o~jevy {\bf navzájem neslučitelné}. \item Jsou-li $A,B$ neslučitelné, píšeme $+$ místo $\cup$: $A+B$. \item $A\subset B$, právě když platí $\omega\in A\implies\omega\in B$. \item $A\cap B$ ($A\cdot B$) je jev, kdy $A$ a $B$ nastávají současně. \item $\emptyset$ je {\bf jev nemožný}. \item $A=B$, právě když $A\subset B$ a $B\subset A$. \item $A-B$ je jev, kdy $A$ nastane a $B$ nenastane. \item Symetrická diference $A\sd B=(A-B)\cup(B-A)$. \end{itemize} \end{define} \begin{poz} Je-li $A\cup B=\emptyset$, pak $A$ a $B$ jsou neslučitelné. \end{poz} \begin{theorem} Nechť $A,B,C\subset\Omega$ jsou jevy, $N\in\N$ nebo $+\infty$. Pak \begin{enumerate} \item $A\subset A$; \item $A\subset B\wedge B\subset C\implies A\subset C$; \item $A\cap A=A$, $A\cup A=A$; \item $A\cup A=B\cup A$, $A\cap B=B\cap A$; \item $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$, $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$; \item $\emptyset\subset A\subset\Omega$; \item $A\cap B\subset A\subset A\cup B$; \item $\emptyset\cap A=\emptyset$, $\emptyset\cup A\subset A$; \item $\Omega\cap A=A$, $\Omega\cup A=\Omega$; \item $(A\compl)\compl=A$; \item $(A\cup B)\compl=A\compl\cap B\compl$, $(A\cap B)\compl=A\compl\cup B\compl$; \item $A\cup B=A+BA\compl$; \item $B=AB+A\compl B$; \item $A\cap(B\cup C)=AB\cup AC$, $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$; \item \[\bigcup_{n=1}^N A_n=A_1+\sum_{n=2}^N A_1\compl\cdot A_{n-1}\compl A_n;\] \item \[ \left(\bigcup_{n=1}^N A_n\right)\compl=\bigcap_{n=1}^N A_n\compl,\quad \left(\bigcap_{n=1}^N A_n\right)\compl=\bigcup_{n=1}^N A_n\compl; \] \item $A\cap A\compl=\emptyset$; \item $A\cup A\compl=\Omega$; \item $A\cap(B+C)=AB+AC$. \end{enumerate} \end{theorem} \subsection{Axiomy pravděpodobnostního prostoru} \begin{define} \label{kolmog_j} Buď $\Omega$ prostor elementárních jevů, $\A\subset 2^\Omega$ množina jevů. Požadujeme, aby $\A$ tvořila $\sigma$-algebru jevů, tj. aby \begin{enumerate} \item $\emptyset\in\A$; \item $A\in\A\implies A\compl\in\A$; \item $A_1,A_2,\dots,A_\infty\in\A\implies\bigcup_{j=1}^\infty A_j\in\A$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} Ne všechny podmnožiny $\Omega$ jsou jevy. To platí pouze u~spočetných $\Omega$. \end{remark} \begin{poz} $\Omega\in\A$, $\bigcup_{j=1}^n A_j\in\A$. \begin{proof} \begin{enumerate} \item $\emptyset\in\A\implies\Omega=\emptyset\compl\in\A$; \item Stačí položit $A_{n+1}=A_{n+2}=\dots=\emptyset$. \end{enumerate} \end{proof} \end{poz} \begin{theorem} Buďte $A_1,A_2,\dots,A_n,\ldots\in\A$. Potom \[\bigcap_{j=1}^\infty A_j\in\A.\] \begin{proof} Protože $A_j\in\A$, podle axiomu 2 je $A_j\compl\in\A$, podle axiomu 3 \[\bigcup_{j=1}^n A_j\compl\in\A\implies \left(\bigcup_{j=1}^n A_j\compl\right)\compl\in\A\implies \bigcap_{j=1}^n A_j\in\A. \] \end{proof} \end{theorem} \begin{define} \label{kolmog_p} Pravděpodobnost $P$ je funkce $P:\A\mapsto\R$ taková, že \begin{enumerate} \item $P(A)\ge 0$ pro každé $A\mapsto\A$; \item $P(\Omega)=1$; \item Pro každé $A_1,A_2,\dots,A_n,\ldots\in\A$ disjunktní je \[P\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)=\sum_{j=1}^\infty P(A_j).\] \end{enumerate} \end{define} \begin{theorem} \begin{enumerate} \item $P(\emptyset)=0$. \item \[P\left(\sum_{j=1}^n A_j\right)=\sum_{j=1}^n P(A_j)\] \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item $\Omega\in\A$, $P(\Omega)=1$, $\Omega\compl=\emptyset$. Protože $\Omega+\emptyset+\emptyset+\dots=\Omega$, je \[\sum_{1}^\infty P(\emptyset)=0\] a $P(\emptyset)=0$. \item Stačí zvolit $A_{n+1}=A_{n+2}=\dots=\emptyset$, potom \[P\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)=\sum_{j=1}^\infty P(A_j)= \sum_{j=1}^n P(A_j)+0.\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buďte $A,B\in\A$. Pak $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ \begin{proof} $A\cup B=A+(B\cap A\compl)$, $P(A\cap B)=P(A)+P(B\cap A\compl)$; dále platí $B=B\cap A\compl+A\cap B$ a $P(B)=P(B\cap A\compl)+P(A\cap B)$. Z~toho okamžitě vyplývá tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)$. \end{remark} \begin{theorem}[Booleova nerovnost] $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$. \end{theorem} \begin{dusl} \[P\left(\bigcup_{j=1}^{N,\infty} A_j\right)\le\sum_{j=1}^{N,\infty}P(A_j)\] \end{dusl} \begin{theorem} $A\subset B\implies P(A)\le P(B)$ \begin{proof} $B=A+B\cap A\compl$, $P(B)=P(A)+P(B\cap A\compl)$, přičemž $P(B\cap A\compl)\ge 0$. \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} $P(A)\le 1$, neboť $A\subset\Omega$. \end{dusl} \begin{lemma}[o spojitosti] Pravděpodobnost je spojitá funkce shora i zdola: \begin{enumerate} \item Nechť $A_n\in\A$, $A_n\nearrow A$, ($A_n\subset A_{n+1}$), $A=\bigcup_{j=1}^\infty A_n$. Pak $\lim_{n\to\infty}P(A_n)=P(A)$. \item Nechť $A_n\in\A$, $A_n\searrow A$, ($A_n\supset A_{n+1}$), $A=\bigcap_{j=1}^\infty A_n$. Pak $\lim_{n\to\infty}P(A_n)=P(A)$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Nechť $A_n\searrow\emptyset$, dokážeme, že v~tom případě $P(A_n)\to 0$ \begin{enumerate} \item Existence limity plyne z~monotonie pravděpodobnosti $P(A_n)\ge P(A_{n+1})$ a pozitivity $P\ge 0$. \item Buď $B_n=A_n-A_{n+1}$, potom \[A_n=\sum_{j=n}^\infty B_j.\] Protože \[A_1=\sum_{j=1}^\infty B_j,\] a $B_j$ jsou disjunktní, je \[P(A_1)=\sum_{j=1}^\infty P(B_j).\] Řada na pravé straně konverguje, proto je \[\lim_{n\to\infty}\sum_{j=n}^\infty P(B_j)=0.\] \end{enumerate} \item Buď $A\not=\emptyset$, $A_n\searrow A\not=\emptyset$. Platí $A_n=(A_n-A)+A$, $P(A_n)=P(A_n-A)+P(A)$. Potom $P(A_n-A)\to 0$ a $P(A_n)\to P(A)$. \item Buď $A\not=\emptyset$, $A_n\nearrow A\not=\emptyset$. Platí $A=(A-A_n)+A_n$, $P(A)=P(A-A_n)+P(A_n)$. Potom $P(A-A_n)\to 0$ a $P(A_n)\to P(A)$. \end{enumerate} \end{proof} \end{lemma} \subsection{Podmíněná pravděpodobnost} \begin{define} Nechť $P(B)>0$. Pak podmíněná pravděpodobnost $A$ za předpokladu jevu $B$ je definována jako \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\] \end{define} \begin{theorem} $P(\cdot|B)$ je pravděpodobnost ve smyslu definice \ref{kolmog_p}. \begin{proof} \begin{enumerate} \item \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\ge 0;\] \item \[P(\Omega|B)=\frac{P(\Omega\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1;\] \item \[ \begin{split} P\left(\left.\sum_{j=1}^\infty A_j\right|B\right)&= \frac{P\left(\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)\cap B\right)}{P(B)}= \frac{P\left(\sum_{j=1}^\infty(A_j\cap B)\right)}{P(B)}=\\ &=\frac{\sum_{j=1}^\infty P(A_j\cap B)}{P(B)}= \sum_{j=1}^\infty \frac{P(A_j\cap B)}{P(B)} \end{split} \] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o násobení pravděpodobnosti] Buďte $A_0,A_1,\dots,A_n\in\A$ tak, že platí $P(A_0\cap A_1\cap\dots\cap A_n)>0$. Pak \[ P(A_0\cap A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_0)P(A_1|A_0)P(A_2|A_0\cap A_1)\cdots P(A_n|A_0\cap\dots\cap A_{n-1}) \] \begin{proof} Platí \[ A_0\cap\dots\cap A_n\subset A_0\cap\dots\cap A_{n-1}\subset\cdots\subset A_0 \] a \[ 0< P(A_0\cap\dots\cap A_n)\le P(A_0\cap\dots\cap A_{n-1})\le \cdots\le P(A_0) \] Pro $n=1$ je to definice podmíněné pravděpodobnosti. Přechod $n\to n+1$: \[P(\underbrace{A_0\cdots A_n}_B A_{n+1})= P(A_0\cdots A_n)P(A_{n+1}|A_0\cdots A_n).\] Pro $P(A_0\cdots A_n)$ využijeme indukčního předpokladu. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o úplnosti] Nechť $\posloupnost{n=1}{N}{H_n}$ tvoří úplný rozklad jistého jevu, tj. $P(H_n)>0$, $H_n$ jsou disjunktní a \[P\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)=1.\] Pak \[P(A)=\sum_{j=1}^N P(A|H_n)P(H_n).\] \begin{proof} \[ \begin{split} P(A)&=P\left(A\cap\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)\right)+ P\left(A\cap\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)\compl\right)=\\ &=P\left(\sum_{j=1}^N (A\cap H_j)\right)+ P\left(\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)\compl\right)= \sum_{j=1}^N P(A\cap H_j) \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Bayes] Nechť $\posloupnost{j=1}N{H_n}$ tvoří úplný rozklad jistého jevu a $P(A)>0$. Pak \[P(H_j|A)=\frac{P(A|H_j)P(H_j)}{\sum_{i=1}^N P(A|H_i)P(H_i)}.\] \begin{proof} \[ P(H_j|A)=\frac{P(H_j\cap A)}{P(A)}= \frac{P(A|H_j)P(H_j)}{\sum_{i=1}^N P(A|H_i)P(H_i)} \] \end{proof} \end{theorem} \subsection{Stochastická nezávislost jevů} \begin{define} Nechť $\mathcal C$ značí systém jevů. Jevy z~$\mathcal C$ nazýváme {\bf nezávislé}, pokud pro každý konečný systém $A_1,\dots,A_n\in\mathcal C$ platí $P(A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)$. \end{define} \begin{theorem} Buďte $A,B$ nezávislé jevy. Potom $A$ a $B\compl$ jsou nezávislé. \begin{proof} Protože $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B\compl)$, je $P(A\cap B\compl)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B\compl)$ \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} $A\compl$ a $B\compl$ jsou nezávislé. \end{dusl} \begin{theorem} Buď $P(B)>0$. Pak $A,B$ jsou nezávislé, právě když $P(A|B)=P(A)$. \begin{proof} Buďte $A,B$ nezávislé, pak \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A).\] Nechť $P(A|B)=P(A)$. Potom $P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Buď $A$ jev, $B$ jev takový, že $P(B)=0$. Pak $A,B$ jsou nezávislé: $0\le P(A\cap B)\le P(B)=0=P(A)P(B)$. \item Buď $A\in\A$. Potom $A,\Omega$ jsou nezávislé. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Soubor, jehož každé dva prvky jsou nezávislé, nazýváme {\bf párově nezávislý}. \end{define} \subsection{Borelovská algebra, borelovsky měřitelné funkce} \begin{define} Neprázdný systém $\S$ podmnožin množiny $X$ se nazývá {\bf algebrou}, pokud platí: \begin{enumerate} \item $\emptyset\in\S$, \item $(\forall E,F\in\S)(E\sm F\in\S)$, \item $E\cup F\in\S$. \end{enumerate} \end{define} \begin{define}[alternativní] Neprázdný systém $\S$ podmnožin množiny $X$ se nazývá {\bf algebrou}, pokud platí: \begin{enumerate} \item $(\forall E\in\S)(X\sm E\in\S)$, \item $(\forall E,F\in\S)(E\cup F\in\S)$. \end{enumerate} \end{define} \begin{define} Nechť $Z$ je libovolný systém z~$2^X$. Definujeme \[\sigma(Z)=\bigcap_{\alpha\in\I}\S_\alpha,\] kde $\S_\alpha$ jsou $\sigma$-algebry takové, že $Z\subset\S_\alpha$. Množina $\sigma(Z)$ se nazývá {\bf mininální $\sigma$-algebrou} nad systémem $Z$. \end{define} \begin{define} Buď $X=\R$, $\tau=\{(a_i,b_i)|a_i<b_i\wedge a_i,b_i\in\R\}$, pak $\sigma(\tau)=:\B_1$ se nazývá {\bf borelovská algebra} a $B\in\B_1$ se nazývá {\bf borelovsky měřitelná}. \end{define} \begin{define} {\bf Náhodná veličina} je funkce $X:\Omega\mapsto\R$ taková, že pro každé $x\in\R$ platí $\{\omega|X(\omega)\le x\}\in\A$, $X^{-1}((-\infty,x])\in\A$. \end{define} \begin{define} Buď $A\in\A$. Potom funkce \[ \chf_A(\omega)= \begin{cases} 0&\omega\not\in A\\ 1&\omega\in A \end{cases} \] je {\bf charakteristická funkce $A$}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Funkce $\chf_A$ je náhodná veličina. \item Značení: $\{\omega|X(\omega)\in S\}=:\{X\in S\}$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Funkce $X:\Omega\mapsto\R$ je náhodná veličina, právě když $(\forall x\in\R)(\{X<x\}\in\A)$. \begin{proof} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Operace s~náhodnými veličinami} \begin{enumerate} \item Sčítání: $(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)$. \begin{proof}[Důkaz, že $X+Y$ je n.v.] Dokážeme, že $A=\{\omega|X(\omega)+Y(\omega)<c\}\in\A$ a že \[A=\bigcup_{r\in\Q}(\{X(\omega)\le r\}\cap\{Y(\omega)\le c-r\}).\] \begin{enumerate} \item $\supset$: triviální. \item $\subset$: Nechť $\omega\in A$. Potom $X(\omega)+Y(\omega)<c\iff X(\omega)<c-Y(\omega)$, takže existuje $r\in\Q$ tak, že platí $X(\omega)\le r\le c-Y(\omega)$, tj. $\omega\in\bigcup$. \end{enumerate} \end{proof} \item Násobení konstantou: $(KX)(\omega)=K\cdot X(\omega)$. \begin{proof}[Důkaz, že $KX$ je n.v.] \begin{enumerate} \item Pro $K>0$ je $\{X\le c/K\}\in\A$. \item Pro $K<0$ je $\{X\ge c/K\}\in\A$. \item Pro $K=0$ je $\emptyset\in\A$ pro $x<0$ nebo $\Omega\in\A$ pro $c\ge 0$. \end{enumerate} \end{proof} \item Násobení: $(XY)(\omega)=X(\omega)\cdot Y(\omega)$. \begin{proof}[Důkaz, že $XY$ je n.v.] Dokážeme, že $X^2$ je n.v.: \[ \{X^2(\omega)\le c\}= \begin{cases} \emptyset & c<0\\ \{-\sqrt{c}\le X(\omega)\le\sqrt{c}\} & c\ge 0 \end{cases} \] \[ \{-\sqrt{c}\le X(\omega)\le\sqrt{c}\}= \underbrace{\{X(\omega)\le\sqrt{c}\}}_{\in\A}\cap \underbrace{\{\sqrt{c}\le X(\omega)\}}_{\in\A}\in\A. \] Dále platí, že $XY=\frac14((X+Y)^2-(X-Y)^2)$, což je podle předchozích závěrů náhodná veličina. \end{proof} \item Dělení: $Y\not=0$, $(X/Y)(\omega)=X(\omega)/Y(\omega)$. \begin{proof}[Důkaz, že $X/Y$ je n.v.] Buďte $X,Y$ náhodné veličiny, $\{Y(\omega)=0\}=\emptyset$. \[ \begin{split} \left\{\frac{X(\omega)}{Y(\omega)}\le c\right\}&= \left\{\frac{X(\omega)}{Y(\omega)}\le c\right\}\cap \{Y>0\}+ \left\{\frac{X(\omega)}{Y(\omega)}\le c\right\}\cap \{Y<0\}=\\ &=\underbrace{\{X(\omega)\le c Y(\omega)\}}_{\in\A}\cap\underbrace{\{Y(\omega)>0\}}_{\in\A}+ \underbrace{\{X(\omega)\ge c Y(\omega)\}}_{\in\A}\cap\underbrace{\{Y(\omega)>0\}}_{\in\A} \end{split} \] \end{proof} \item Maximum: $\max\{X,Y\}(\omega):= \max\{X(\omega),Y(\omega)\}$ \begin{proof}[Důkaz, že $\max\{X,Y\}$ je n.v.] \[\left\{\max\{X(\omega),Y(\omega)\}\le c\right\}= \{X(\omega)\le c\}\cap\{Y(\omega)\le c\}.\] \end{proof} \item Minimum: $\min\{X,Y\}:=-\max\{-X,-Y\}$. \end{enumerate} \begin{lemma} Každou množinu $B\in\B_1$ lze složit z~polouzavřených intervalů $(a_i,b_i]$ pomocí operací $\cup$ a $-$. \end{lemma} \begin{theorem} Buď $X$ náhodná veličina $\Omega\mapsto\R$, $g$ funkce $\R\mapsto\R$ borelovsky měřitelná. Pak $g(X)$ je náhodná veličina. \begin{proof} Z předpokladu vyplývá, že $g^{-1}((-\infty,c])=B$ je borelovsky měřitelná. Dále platí, že libovolný interval $(a_i,b_i]$ lze zapsat jako $(-\infty,b_i]-(-\infty,a_i]$. Z~nich pak lze složit libovolnou borelovskou množinu (bez důkazu): \[X^{-1}(B)=X^{-1}\left(\bigcupm_i(a_i,b_i]\right)= \bigcupm_i X^{-1}(a_i,b_i]=\bigcupm_i(X^{-1}(-\infty,b_i]-X^{-1}(-\infty,b_i]),\] kde $\bigcupm$ je licensia poetica a znamená to kombinaci $\cup$ a $-$. Z toho plyne, že $X^{-1}(B)\in\A$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buďte $X_i$ náhodné veličiny (spočetný počet), potom \[\inf\{X_i|i\in\N\},\quad\sup\{X_i|i\in\N\},\quad X=\lim_{i\to\infty}X_i\] jsou náhodné veličiny. \end{theorem} \begin{theorem} Pro charakteristickou funkci množiny platí: \begin{enumerate} \item $\chf_A^2=\chf_A$; \item $\chf_\Omega=1$; \item $1-\chf_A=\chf_{A\compl}$; \item $\chf_{A\cap B}=\chf_A\chf_B$; \item $\chf_{A+B}=\chf_A+\chf_B$; \item $\chf_{A\cup B}=\max(\chf_A,\chf_B)$. \end{enumerate} \end{theorem} \subsection{Distribuční funkce náhodné veličiny} \begin{define} Buď $X$ náhodná veličina. Potom definujeme $F_X:\R\mapsto\R$, $F_X(x)=P(X\le x)$ pro každé $x\in\R$. \end{define} \begin{theorem} Buď $X$ náhodná veličina, $F_X$ distribuční funkce. Pak \begin{enumerate} \item $x_1\le x_2\implies F_X(x_1)\le F_X(x_2)$; \item $\lim_{n\to\infty}F_X(x)=1$; \item $\lim_{n\to-\infty}F_X(x)=0$; \item $F_X(x)$ je zprava spojitá. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item $x_1\le x_2\implies\{\omega|X\le x_1\}\subset\{X\le x_2\}$; $P\{X\le x_1\}\le P\{X\le x_2\}$. \item \[ \lim_{n\to\infty}F_X(n)= \lim_{n\to\infty}P(X\le n)=P\left(\bigcup_{n=1}^n\{X\le n\}\right)= P(\Omega)=1\] \item \[ \lim_{x\to-\infty}F_X(x)= \lim_{n\to\infty}P(X\le -n)=P\left(\bigcap_{n=1}^n\{X\le -n\}\right)= P(\emptyset)=0 \] \item \[ \begin{split} \lim_{x\to a+}F_X(x)&=\lim_{x\to\infty}F_X\left(a+\frac1{2^n}\right)= \lim_{n\to\infty} P\left(X\le a+\frac1{2^n}\right)=\\ &=P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\left\{X\le a+\frac1{2^n}\right\}\right)= P(X\le a)=F_X(a) \end{split} \] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \[ \begin{split} P(X<x)&= P\left(\bigcup_{n=1}^\infty\left\{X\le x-\frac1{2^n}\right\}\right)= \lim_{n\to\infty}P\left(X\le x-\frac1{2^n}\right)=\\ &=\lim_{n\to\infty} F_X\left(x-\frac1{2^n}\right)=F_X(x-0) \end{split} \] \[ P(X=a)=P(\{X\le a\}-\{X<a\})=F_X(a)-F_X(a-0)= \begin{cases} 0& F_X\text{ spoj.}\\ >0& F_X\text{ diskr.}\\ \end{cases} \] \[P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)\] \[P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a-0)\] \[P(X>a)=1-F_X(a)\] \end{remark} \begin{define} Buďte $X,Y$ náhodné veličiny. Definujeme {\bf sdruženou} distribuční funkci $F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)=P(\{X\le x\}\cap\{Y\le y\})$. \end{define} \begin{theorem} \begin{enumerate} \item Buďte $x_1\le x_2$, $y_1\le y_2$. Pak $F_{X,Y}(x_1,y_1)\le F_{X,Y}(x_2,y_2)$. \item $\lim_{x\to\infty} F_{X,Y}(x,y)=F_Y(y)$, $\lim_{y\to\infty} F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)$; \item $\lim_{x\to-\infty} F_{X,Y}(x,y)=0$, $\lim_{y\to-\infty} F_{X,Y}(x,y)=0$ \item $F_{X,Y}$ je spojitá zprava v~každé proměnné. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item $\{X\le x_1\}\cap\{Y\le y_1\}\subset\{X\le x_2\}\cap\{Y\le y_2\}$. \item \[ \begin{split} \lim_{x\to\infty}F_{X,Y}(x,y)&= \lim_{n\to\infty}P(\{X\le n\}\cap\{Y\le y\})=\\ &=P\left(\bigcup_{n=1}^\infty (\{X\le n\}\cap\{Y\le y\})\right)=\\ &=P\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty\{X\le n\}\right) \cap\{Y\le y\}\right)=P(Y\le y)=F_Y(y) \end{split} \] \item \[ \lim_{n\to\infty} P(X<-n,Y\le y)= P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\{X\le -n\}\cap\{Y\le y\}\right)=P(\emptyset)=0 \] \item Vyplývá z~monotonie a věty o~spojitosti pravděpodobnosti. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Sdruženou distribuční funkci lze definovat i pro $n$ náhodných veličin: \[ F_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_n)= P(X_1\le x_1,\dots,X_n\le x_n). \] \end{define} \begin{theorem} \begin{enumerate} \item Sdružená distribuční funkce je monotonní; \item \[F_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_{n-1},+\infty)= F_{X_1,\dots,X_{n-1}}(x_1,\dots,x_{n-1}),\] \[F_{X_1,\dots,X_n}(+\infty,\dots,+\infty,x_j,+\infty,\dots,+\infty)= F_{X_j}(x_j);\] \item $F_{X_1,\dots,X_n}(-\infty,x_2,\dots,x_n)=0$; \item $F_{X_1,\dots,X_n}(+\infty,\dots,+\infty)=1$; \item $\Delta^n F_{X_1,\dots,X_n}\ge 0$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{define} Buďte $X_1,\dots,X_n$ náhodné veličiny. Řekneme, že jsou stochasticky nezávislé, pokud pro každé $a_i,b_i\in\R$, $a_i<b_i$ je systém jevů $\{a_i<X_i\le b_i\}$ nezávislý \end{define} \begin{theorem} Buďte $X_1,\dots,X_m$ náhodné veličiny. Pak $X_1,\dots,X_m$ jsou nezávislé, právě když \[F_{X_1,\dots,X_m}(x_1,\dots,x_m)=\prod_{j=1}^mF_{X_j}(x_j).\] \begin{proof} \begin{enumerate} \item ($\Rightarrow$) zvolíme $a_i=-\infty$, $b_i=x_i$: \[P\left(\bigcap_{i=1}^m\{-\infty<X_i\le x_i\}\right)= \prod_{i=1}^m P(-\infty<X_i\le x_i)\] \item ($\Leftarrow$) Buď $a_1<b_1$, $a_2<b_2$. Potom \[ \begin{split} &P(a<X_1<b_1\cap a_2<X_2\le b_2)=\\ &=F_{X_1,X_2}(b_1,b_2)-F_{X_1,X_2}(a_1,b_2)-F_{X_1,X_2}(b_1,a_2)+F_{X_1,X_2}(a_1,a_2)=\\ &=[F_{X_1}(b_1)-F_{X_1}(a_1)][F_{X_2}(b_2)-F_{X_2}(a_2)]= P(a_1<X_1\le b_1)P(a_2<X_2\le b_2). \end{split} \] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem}